1、1规范答题示例 4 空间角的计算问题典例 4 (15 分)(2017浙江)如图，已知四棱锥 PABCD， PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， BC AD， CD AD， PC AD2 DC2 CB， E 为 PD 的中点(1)证明： CE平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值审题路线图方法一 (1) 取 PA的 中 点 为 F， 连 接 EF， FB 证 明 四 边 形 BCEF为 平 行 四 边 形 CE BFCE 平 面 PAB规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板方法一 (1)证明 如图，设 PA 的中点为 F，连接 EF， FB.因为
2、E， F 分别为 PD， PA 中点，所以 EF AD 且 EF AD，12又因为 BC AD， BC AD，12所以 EF BC 且 EF BC，所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CE BF.4 分因为 BF平面 PAB， CE平面 PAB，因此 CE平面 PAB.6 分(2)解 分别取 BC， AD 的中点为 M， N，连接 PN 交 EF 于点 Q，连接第一步找平行：通过三角形中位线，找出线线平行进而得到线面平行第二步找夹角：通过作辅助线及线线、线面及面面之间的关系找到夹角第三步找关系：由图形找出各线段之间的长度关系，进而求得夹角的2MQ.因为 E， F， N 分别是 PD， P
3、A， AD 的中点，所以 Q 为 EF 的中点，在平行四边形 BCEF 中， MQ CE.由 PAD 为等腰直角三角形得 PN AD.由 DC AD， N 是 AD 的中点得 BN AD，又 PN BN N， PN， BN平面 PBN，所以 AD平面 PBN.9 分由 BC AD 得 BC平面 PBN，又 BC平面 PBC，那么平面 PBC平面 PBN.过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH.MH 是 MQ 在平面 PBC 上的投影，所以 QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角.12 分设 CD1.在 PCD 中，由 PC2， CD1， PD 得 CE ，2 2在 PBN
4、中，由 PN BN1， PB 得 QH ，314在 Rt MQH 中， QH ， MQ ，14 2所以 sin QMH ，28所以直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 .15 分28正弦值.第四步得结论：得到所求夹角的正弦值.审题路线图方法二 (1) 取 AD中 点 为 O， 连 接 OB， OP AD 平 面 OPB 以 O为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 各 点 的 坐 标 求 平 面 PAB的 法 向 量 n和 CE 的 坐 标CE n 0 得 出 结 论(2) 求 平 面 PBC的 法 向 量 m 利 用 sin |cos CE ， m |求 线 面 角
5、的 正 弦 值3规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板方法二 (1)证明 设 AD 的中点为 O，连接 OB， OP. PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， OP AD. BC AD OD，且 BC OD，12四边形 BCDO 为平行四边形，又 CD AD， OB AD， OP OB O， OP， OB平面 OPB， AD平面 OPB.2 分过点 O 在平面 POB 内作 OB 的垂线 OM，交 PB 于 M，以 O 为原点， OB 所在直线为 x 轴， OD 所在直线为 y 轴， OM 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图.4 分设 CD1，则有 A(0，1,0
6、)， B(1,0,0)， C(1,1,0)， D(0,1,0)设 P(x,0， z)(z0)，由 PC2， OP1，得Error! 解得 x ， z .12 32即 P ， E 为 PD 的中点，(12， 0， 32) E .(14， 12， 34)设平面 PAB 的法向量为 n( x1， y1， z1)， ， (1,1,0) ，AP ( 12， 1， 32) AB Error! 即Error!解得Error!令 y1，得 n(1，1， ).7 分3而 ， n0，CE ( 54， 12， 34) CE 又 CE平面 PAB， CE平面 PAB.10 分(2)解 设平面 PBC 的法向量为 m(
7、 x2， y2， z2)， (0,1,0)， ，BC BP ( 32， 0， 32)第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出点坐标第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量.第四步求夹角：计算向量的夹角第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.4Error! 即Error!令 x21，得 m(1,0， ).13 分3设直线 CE 与平面 PBC 所成的角为 ，则 sin |cos ， m| .CE |CE m|CE |m| 28故直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .15 分28评分细则 (1)方法一第(1
8、)问中证明 CE平面 PAB 缺少条件扣 1 分，第(2)问中证明 PN AD和 BN AD 各给 1 分(2)方法二中建系给 2 分，两个法向量求出 1 个给 3 分，没有最后结论扣 1 分，法向量取其他形式同样给分跟踪演练 4 (2018全国)如图，四边形 ABCD 为正方形， E， F 分别为 AD， BC 的中点，以DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF BF.(1)证明：平面 PEF平面 ABFD；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值(1)证明 由已知可得 BF PF， BF EF，PF EF F， PF， EF平面 PEF，所以 BF平面
9、PEF.又 BF平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.(2)解 方法一 如图，作 PH EF，垂足为 H.由(1)得， PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点， 的方向为 y 轴正方向，| |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系HF BF H xyz.由(1)可得， DE PE.又 DP2， DE1，所以 PE .35又 PF1， EF2，所以 PE PF.所以 PH ， EH .32 32则 H(0,0,0)， P ， D ，(0， 0，32) ( 1， 32， 0) ， .DP (1， 32， 32) HP (0， 0， 32)又 为平面 ABFD 的法向量，HP 设 DP 与平面 ABFD 所成的角为 ，则 sin .|HP DP |HP |DP |343 34所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .34方法二 过点 P 作 PH EF，垂足为 H，连接 DH.由(1)可得 PH平面 ABFD，所以 PDH 即为 DP 与平面 ABFD 所成的角设 PD2 a，则 PH a，所以 sin PDH ，32 PHDP 34即 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .34
