1、1第 2 讲 三角恒等变换与解三角形考情考向分析 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.和三角函数的图象、性质有关的参数的范围问题热点一 三角恒等变换1三角求值“三大类型”“给角求值” “给值求值” “给值求角” 2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin 2 cos 2 tan 45等(2)项的拆分与角的配凑：如 sin2 2cos 2 (sin 2 cos 2 )cos 2 ， ( ) 等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦例
2、 1 (1)若 cos ，则 cos 等于( )( 3) 45 ( 3 2 )A. B C. D2325 2325 725 725答案 D解析 cos ，( 3) 452cos sin( 3) 2 ( 3)sin ，( 6 ) 45cos 12sin 2 .( 3 2 ) ( 6 ) 725(2)已知 sin ，sin( ) ， ， 均为锐角，则 等于( )55 1010A. B. C. D.512 3 4 6答案 C解析 因为 ， 均为锐角，所以 c，所以 BC，则 C 为锐角，所以 cos C .63则 sin Asin( B C)sin Bcos Ccos Bsin C ，32 63 1
3、2 33 32 36所以 ABC 的面积 S bcsin A1248 24 8 .32 36 2 3热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状例 3 (2018天津)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 bsin A acos.(B 6)(1)求角 B 的大小；(2)设 a2， c3，求 b 和 sin(2A B)的值解 (1)在 ABC 中，由正弦定理 ，可得asin A bsin Bbsin A asin B.又由 bsin A acos ，得 asin B a
4、cos ，(B 6) (B 6)即 sin Bcos ，所以 tan B .(B 6) 3又因为 B(0，)，所以 B . 3(2)在 ABC 中，由余弦定理及 a2， c3， B ， 36得 b2 a2 c22 accos B7，故 b .7由 bsin A acos ，可得 sin A .(B 6) 217因为 a0，得 sin A2sin B.根据正弦定理，得 a2 b.2(2018全国)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin( )_.答案 12解析 sin cos 1，cos sin 0， 2 2得 12(sin cos cos sin )11，sin cos cos
5、 sin ，12sin( ) .123(2018全国改编) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 ABC 的面积为8，则 C_.a2 b2 c24答案 4解析 S absin C 12 a2 b2 c24 2abcos C4 abcos C，12sin Ccos C，即 tan C1.又 C(0，)， C . 44(2018全国) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 bsin C csin B4 asin Bsin C， b2 c2 a28，则 ABC 的面积为_答案 233解析 bsin C csin B4 asin Bsin C，
6、由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又 sin Bsin C0，sin A .12由余弦定理得 cos A 0，b2 c2 a22bc 82bc 4bccos A ， bc ，32 4cos A 833 S ABC bcsin A .12 12 833 12 233押题预测1在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 cos A ，sin B cos C，并23 5且 a ，则 ABC 的面积为_2押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的
7、重点答案 52解析 因为 00，53 23并结合 sin2Ccos 2C1，得 sin C ，cos C .56 16于是 sin B cos C .556由 a 及正弦定理 ，得 c .2asin A csin C 3故 ABC 的面积 S acsin B .12 522设函数 f(x)sin 2 sin xcos x(xR)(2x 6) 3(1)求函数 f(x)的最小正周期及 f 的值；( 4)(2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g(x)的图象，试求 g(x)在12上的最小值0， 2押题依据 三角函数是高考的热点问题，是解答题的重要考查题型利用三角恒等变换将函数转化
8、为“一角一函数”的形式是解决此类问题的关键，换元法与整体代换法是最基本的解决方法考查重点是三角函数的图象与性质，有时会与解三角形问题进行综合考查解 (1) f(x)sin 2 sin xcos x(2x 6) 3 sin 2x cos 2x sin 2x32 12 3 cos 2x sin 2xcos .12 32 (2x 3)所以函数 f(x)的最小正周期 T ，22f cos .( 4) (2 4 3) 32(2)g(x) f cos (x12) 2(x 12) 3cos .(2x 6)因为 x ，所以 2x .0， 2 6 6， 76所以当 2x ，即 x 时， g(x)取得最小值， 6
9、 51210此时 g(x)min1.3已知 f(x)sin( x ) 满足 f f(x)，若其图象向左( 0， | |0，2tan 2tan 3tan 2 31 tan2 2tan 12(tan 3tan ) 2 ，12 tan 3tan 3当且仅当 tan ，即 tan ， 时等号成立故选 D.3tan 3 3方法二 为锐角，sin 0，cos 0，2tan 3tan 2 2sin cos 3cos 2sin 2 4sin2 3cos 22sin cos sin2 3cos22sin cos 2 ，12(sin cos 3cos sin ) 12 sin cos 3cos sin 3当且仅当
10、 ，sin cos 3cos sin 即 时等号成立故选 D. 36(2018浙江省台州中学统考)已知 sin cos 且 ，则 sin 12 (0， 2)2 _， 的值为_cos 2sin( 4)13答案 34 142解析 由 sin cos ，得 sin cos ，12 12两边平方得(sin cos )212sin cos 1sin 2 ，14则 sin 2 .34因为 ，所以 sin 0，cos 0，(0， 2)则 sin cos ，sin cos 2 1 sin 272联立解得 cos ，7 14则 cos 2 2cos 2 1 ，74又由 sin cos 得， sin ，12 2
11、( 4) 12则 sin ，( 4) 24所以 .cos 2sin( 4) 7424 1427(2018杭州模拟)设 ABC 内切圆与外接圆的半径分别为 r 与 R，且 sin Asin Bsin C234，则 cos C_；当 BC1 时， ABC 的面积为_答案 14 31516解析 sin Asin Bsin C234，由正弦定理得 a b c234.令 a2 t， b3 t， c4 t，则 cos C ，4t2 9t2 16t212t2 14sin C .154当 BC1 时， AC ，32 S ABC 1 .12 32 154 31516148(2018温州市适应性测试)在 ABC
12、中， AD 为边 BC 上的中线， AB1， AD5， B45，则 sin ADC_， AC_.答案 210 113解析 在 ABD 中，由正弦定理得 ，ABsin ADB ADsin B则 sin ADB ，ABsin BAD 1225 210则 sin ADCsin( ADB)sin ADB .210在 ABD 中，由余弦定理得AD2 AB2 BD22 ABBDcos B，即 521 2 BD22 BDcos 45，解得 BD4 (舍负)，则 BC2 BD8 ，2 2在 ABC 中，由余弦定理得AC2 AB2 BC22 ABBCcos B1 2(8 )2218 cos 45113，2 2所
13、以 AC .1139(2018浙江)已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P .(35， 45)(1)求 sin( )的值；(2)若角 满足 sin( ) ，求 cos 的值513解 (1)由角 的终边过点 P ，(35， 45)得 sin .45所以 sin( )sin .45(2)由角 的终边过点 P ，得 cos .(35， 45) 35由 sin( ) ，得 cos( ) .513 1213由 ( ) ，得 cos cos( ) cos( )cos sin( )sin ，15所以 cos 或 cos .5665 166510(2018浙江省重点中学
14、联考)在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知2bcos C2 a c.3(1)求 B 的大小；(2)若 2 ，且| |1，求 ABC 面积的最大值CA CB CM CM 解 (1)由 2bcos C2 a c 及正弦定理，3得 2sin Bcos C2sin A sin C，3即 2sin Bcos C2sin( B C) sin C，32sin Ccos B sin C，3 C(0，)，sin C0，cos B ，32又 B(0，)， B . 6(2)由条件知， M 为 AB 的中点，在 BCM 中，由余弦定理可得cos B ，BM2 BC2 12BMBC
15、32 BM2 BC21 BMBC2 BMBC，3 BMBC2 ，当且仅当 BM BC 时等号成立3又 S ABC BCBAsin BCBM1 ，12 6 12 32 ABC 面积的最大值是 1 .32B 组 能力提高11已知 2sin 1cos ，则 tan 等于( )A 或 0 B. 或 043 43C D.43 43答案 A解析 因为 2sin 1cos ，所以 4sin cos 1 2sin 2 ， 2 2 (1 2sin2 2) 2解得 sin 0 或 2cos sin ，即 tan 0 或 2， 2 2 2 216又 tan ，2tan 21 tan2 2当 tan 0 时，tan
16、0； 2当 tan 2 时，tan . 2 4312在锐角 ABC 中，角 A 所对的边为 a， ABC 的面积 S ，给出以下结论：a24sin A2sin Bsin C；tan Btan C2tan Btan C；tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；tan Atan Btan C 有最小值 8.其中正确结论的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 D解析 由 S absin C，得 a2 bsin C，a24 12又 ，得 sin A2sin Bsin C，故正确；asin A bsin B由 sin A2sin Bsin C，得 sin(B C)sin Bcos
17、 Ccos Bsin C2sin Bsin C，两边同时除以 cos Bcos C，可得 tan Btan C2tan Btan C，故正确；因为 tan(A B) ，tan A tan B1 tan Atan B且 tan(A B)tan( C)tan C，所以 tan C，tan A tan B1 tan Atan B整理移项得 tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，故正确；由 tan Btan C2tan Btan C，tan Atan( B C) ，tan B tan Ctan Btan C 1且 tan A，tan B，tan C 都是正数，得 tan Ata
18、n Btan C tan Btan Ctan B tan Ctan Btan C 117 tan Btan C ，2tan Btan Ctan Btan C 1 2tan Btan C2tan Btan C 1设 mtan Btan C1，则 m0，tan Atan Btan C2m 12m2 444 8 ，(m1m) m1m当且仅当 mtan Btan C11，即 tan Btan C2 时取“” ，此时 tan Btan C2，tan Btan C4，tan A4，所以 tan Atan Btan C 的最小值是 8，故正确，故选 D.13(2018北京)若 ABC 的面积为 (a2 c2
19、 b2)，且 C 为钝角，则 B_；34的取值范围是_ca答案 (2，) 3解析 由余弦定理得 cos B ，a2 c2 b22ac a2 c2 b22 accos B又 S (a2 c2 b2)，34 acsin B 2accos B，tan B ，12 34 3又 B(0，)， B . 3又 C 为钝角， C A ，23 20 ，33 1tan A 3 2，即 2.ca12 32 3 ca18 的取值范围是(2，)ca14如图，在 ABC 中， D 为边 BC 上一点， AD6， BD3， DC2.(1)如图 1，若 AD BC，求 BAC 的大小；(2)如图 2，若 ABC ，求 ADC
20、 的面积 4解 (1)设 BAD ， DAC .因为 AD BC， AD6， BD3， DC2，所以 tan ，tan ，12 13所以 tan BACtan( ) 1.tan tan 1 tan tan12 131 1213又 BAC(0，)，所以 BAC . 4(2)设 BAD .在 ABD 中， ABC ， AD6， BD3. 4由正弦定理得 ，解得 sin .ADsin 4 BDsin 24因为 ADBD，所以 为锐角，从而 cos .1 sin2144因此 sin ADCsin sin cos cos sin ( 4) 4 4 .22(24 144) 1 74所以 ADC 的面积 S ADDCsin ADC12 62 (1 )12 1 74 32 7
