1、12 太阳与行星间的引力3 万有引力定律学考 选考太阳与行星间的引力a a学习目标1.知道太阳与行星间引力的方向和表达式.2.了解万有引力定律发现的思路和过程，知道重物下落与天体运动的统一性.3.知道万有引力是一种存在于所有物体之间的吸引力.4.知道万有引力定律公式的适用范围，会用万有引力定律公式解决简单的引力计算问题.考试要求万有引力定律 c c一、太阳与行星间的引力1.太阳对行星的引力：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即 F .mr22.行星对太阳的引力：太阳与行星的地位相同，因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力2规律相同，即 F .Mr23.
2、太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律 F F，所以有 F ，写成等式就是 F G .Mmr2 Mmr2二、月地检验1.猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律.2.推理：根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的 .16023.结论：地球上物体所受的地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同(填“相同”或“不同”)的规律.三、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1和 m2的乘积成正比、与它们之间距离 r 的二次方成反比.2.
3、表达式： F G .m1m2r23.引力常量 G：由卡文迪许测得， G6.6710 11 _Nm2/kg2.1.判断下列说法的正误.(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间.()(2)引力常量是牛顿首先测出的.()(3)物体间的万有引力与它们间的距离成反比.()(4)根据万有引力定律表达式可知，质量一定的两个物体若距离无限靠近，它们间的万有引力趋于无限大.()2.两个质量都是 1 kg 的物体(可看成质点)，相距 1 m 时，两物体间的万有引力 F_ N，一个物体的重力 F_ N，万有引力 F 与重力 F的比值为_.(已知引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，重力加速度
4、 g10 m/s 2)答案 6.6710 11 10 6.6710 12【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】质点间引力的计算3一、对太阳与行星间引力的理解1.两个理想化模型(1)将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动.(2)将天体看成质点，且质量集中在球心上.2.推导过程例 1 根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力 F ，行mr2星对太阳的引力 F ，其中 M、 m、 r 分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，Mr2下列说法正确的是( )A.由 F 和 F ，得 F F m MMr2 mr2B.F 和 F大小相等，是对平衡力C.F 和 F大小相等，是同一
5、个力D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力答案 D解析 F和 F 大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为 D.【考点】太阳与行星间引力的推导【题点】太阳与行星间引力的理解二、月地检验1.已知地球半径 R 地 6 400 km，月球绕地球做圆周运动的半径 r60 R 地 ，运行周期 T27.34天2.3610 6 s，求月球绕地球做圆周运动的向心加速度 a 月.答案 根据向心加速度公式，有： a 月 r 2 r4 2T2即 a 月 3.84108 m/s22.7210 3 m/s243.142(2.36106)22.地
6、球表面物体自由下落的加速度 g 一般取多大？ a 月 与 g 的比值是多大？答案 g9.8 m/s 2， .a月g 2.7210 3 m/s29.8 m/s2 13 6003.根据万有引力公式及牛顿第二定律推算，月球做匀速圆周运动的向心加速度是地面附近自由落体加速度 g 的多少倍？比较 2、3 结论说明什么？答案 根据万有引力定律 F G ， F ，所以月球轨道处的向心加速度约是地面附近自m1m2r2 1r2由落体加速度的 .说明地球表面的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力.1602月地检验的推理与验证(1)月地检验的目的：检验维持月球绕地球运动的力与使地面附近物体下落的力是否为同一种性质的
7、力，是否都遵从“平方反比”的规律.(2)推理：月心到地心的距离约为地球半径的 60 倍，如果月球绕地球运动的力与使地面附近物体下落的力是同一性质的力，则月球绕地球做圆周运动的向心加速度应该大约是地面附近物体自由下落时加速度的 .1602(3)验证：根据已知的月地距离 r，月球绕地球运动的周期 T，由 a 月 r，计算出的月4 2T2球绕地球运转的向心加速度 a 月 ，近似等于 ，则证明了地球表面的重力与地球吸引月球g602的力是相同性质的力.例 2 “月地检验”的结果说明( )A.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力B.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种
8、性质的力C.地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关，即 G mgD.月球所受地球的引力只与月球质量有关答案 A解析 地面上的物体所受地球的引力和月球所受地球的引力是同一种性质的力.5三、万有引力定律如图所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的.(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？为什么通常两个物体间感受不到万有引力，而太阳对行星的引力可以使行星围绕太阳运转？(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？答案 (1)任意两个物体间都存在着万有引力.但由于地球上物体的质量一般很小(相比较天体质量)，地球上两个物体间的万有引力远小于地面对物体的最大静摩擦力，通
9、常感受不到，但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用.(2)相等.它们是一对相互作用力.1.万有引力定律表达式 F G ，式中 G 为引力常量. G6.6710 11 Nm2/kg2，由英国m1m2r2物理学家卡文迪许在实验室中比较准确地测出.测定 G 值的意义：(1)证明了万有引力定律的存在；(2)使万有引力定律有了真正的实用价值.2.万有引力定律的适用条件(1)在以下三种情况下可以直接使用公式 F G 计算：m1m2r2求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的 r 表示两质点间的距离.求两个均匀球体间的万有引力：公式中的 r 为两
10、个球心间的距离.一个质量分布均匀的球体与球外一个质点的万有引力： r 指质点到球心的距离.(2)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据 F G 得出 r0 时 F的结论而违背公式的物理含义.因为，此时由于 r0，物体m1m2r2已不再能看成质点，万有引力公式已不再适用.(3)当物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出物体上每一个质点与6另一个物体上所有质点间的万有引力，然后求合力.例 3 对于万有引力定律的表达式 F G ，下列说法中正确的是( )m1m2r2A.牛顿发现万有引力时，给出了引力常量的值B.由万有引力定律公式 F G ，可得
11、 G ，所以引力常量 G 与两物体之间距离的平方m1m2r2 Fr2m1m2成正比，与两物体质量的乘积成反比，其大小与单位制的选择有关C.m1与 m2之间的万有引力，总是大小相等，方向相反，是一对作用力和反作用力D.当 r 趋近于 0 时， F 趋向无穷大答案 C解析 牛顿发现了万有引力定律，但并未给出引力常量的值，一百多年后卡文迪许才第一次在实验室里比较准确地测出了引力常量的值，引力常量是适用于任何物体间的普适量，与物体的质量及距离都无关，故 A、B 错； m1与 m2之间的万有引力是一对作用力和反作用力，C正确；当 r 趋于 0 时，无论是球体还是其他形状的两个物体，都不能看成质点，故公式
12、不成立，D 错误.例 4 如图 1 所示，两球间的距离为 r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为 m1、 m2，半径大小分别为 r1、 r2，则两球间的万有引力大小为( )图 1A.G B.Gm1m2r2 m1m2r12C.G D.Gm1m2r1 r22 m1m2r1 r2 r2答案 D解析 两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为 G ，故选 D.m1m2r1 r2 r2四、万有引力和重力的关系1.近似关系：如果忽略地球自转，则万有引力和重力的关系为 mg ， g 为地球表面的重GMmR2力加速度.2.重力与高度的关系：若物体距离地面的高度为 h，则 m
13、g G (R 为地球半径， gMmR h27为离地面 h 高度处的重力加速度).所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小.例 5 在离地面高度等于地球半径的高度处，重力加速度的大小是地球表面的重力加速度大小的( )A.2 倍 B.1 倍 C. 倍 D. 倍12 14答案 D解析 由“平方反比”规律知， g ，故 2 2 .1r2 gg地 ( RR h) (R2R) 14例 6 火星半径是地球半径的 ，火星质量大约是地球质量的 ，那么地球表面上质量为 50 12 19kg 的宇航员(在地球表面的重力加速度 g 取 10 m/s2)(1)在火星表面上受到的重力是多少？(2)若宇
14、航员在地球表面能跳 1.5 m 高，那他在火星表面能跳多高？答案 (1)222.2 N (2)3.375 m解析 (1)在地球表面有 mg G ，得 g GMmR2 MR2同理可知，在火星表面上有 g GMR 2即 g g m/s2G19M12R2 4GM9R2 49 409宇航员在火星表面上受到的重力G mg50 N222.2 N.409(2)在地球表面宇航员跳起的高度 Hv022g在火星表面宇航员跳起的高度 hv022g综上可知， h H 1.5 m3.375 m.gg 10409【考点】万有引力和重力的关系【题点】利用“万有引力重力”计算重力加速度81.(对万有引力定律的理解)关于万有引
15、力和万有引力定律的理解正确的是( )A.不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力B.只有能看做质点的两物体间的引力才能用 F 计算Gm1m2r2C.由 F 知，两物体间距离 r 减小时(没有无限靠近)，它们之间的引力增大Gm1m2r2D.引力常量的大小首先是牛顿测出来的，且约等于 6.671011 Nm2/kg2答案 C解析 任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A 错；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用 F 来计算，B 错；物体间的万有引力与它们间距离 r 的二次方成Gm1m2r2反比，故 r 减小，它们间的引力增大，C 对；引力常量 G 是由卡文迪许首先精确测出的，D错.【
16、考点】万有引力定律的理解【题点】万有引力定律的理解2.(万有引力公式的简单应用)两个质量分布均匀的球体，两球心相距 r，它们之间的万有引力为 108 N，若它们的质量、球心间的距离都增加为原来的 2 倍，则它们之间的万有引力为( )A.108 N B.0.25108 NC.4108 N D.104 N答案 A解析 原来的万有引力为 F G ，后来变为 F G G ，即 F F10 8 N，故Mmr2 2M2m2r2 Mmr2选项 A 正确.【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】质量分布均匀的球体间引力的计算3.(重力加速度的计算)设地球表面重力加速度为 g0，物体在距离地心 4R(R 是地球
17、的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为 g，则 为( )gg0A.1 B. C. D.19 14 116答案 D解析 地球表面处的重力加速度和距离地心 4R 处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：9地面上： G mg0mMR2距离地心 4R 处： G mgmM4R2联立两式得 ( )2 ，故 D 正确.gg0 R4R 116【考点】万有引力和重力的关系【题点】利用“万有引力重力”计算重力加速度一、选择题考点一 万有引力定律的理解1.关于引力常量 G，下列说法中正确的是( )A.牛顿没有测出引力常量 G，因为 G 的测量无实用价值B.引力常量 G 的大小与两物体质量的乘积成反比
18、，与两物体间距离的平方成正比C.引力常量 G 在数值上等于两个质量都是 1 kg 的可视为质点的物体相距 1 m 时的相互吸引力D.引力常量 G 是不变的，其数值大小由卡文迪许测出，与单位制的选择无关答案 C解析 牛顿提出了万有引力之后的 100 年中由于 G 值没有测出，而只能进行定性分析， G 值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值，选项 A 错误；引力常量是一个常数，其大小与质量以及两物体间的距离无关，选项 B 错误；根据万有引力定律可知，引力常量 G 在数值上等于两个质量都是 1 kg 的可视为质点的物体相距 1 m 时的相互吸引力，选项 C 正确；引力常量是定值，其数值大小由卡文迪
19、许测出，但其大小与单位制的选择有关，选项 D 错误.【考点】万有引力定律的理解【题点】引力常量的理解2.(2018浙江 6 月学考)2018 年 6 月 5 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“风云二号H 星”.假设该卫星质量为 m，在离地面高度为 h 的轨道上绕地球做匀速圆周运动.已知地球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，则地球对卫星的万有引力大小为( )A.G B.GMmh2 MmR h10C.G D.GMmR2 MmR h2答案 D解析 根据万有引力公式可知 F G ，因此答案为 D.MmR h23.地球的质量是月球质量的 81 倍，若地球吸引月球的力为 F，则月球吸引地球的力的大
20、小为( )A. B.FF81C.9F D.81F答案 B考点二 万有引力定律的简单应用4.要使两物体间的万有引力减小到原来的 ，下列办法不正确的是( )14A.使两物体的质量各减小一半，距离不变B.使其中一个物体的质量减小到原来的 ，距离不变14C.使两物体间的距离增大到原来的 2 倍，质量不变D.两物体的质量和距离都减小到原来的14答案 D解析 万有引力定律的表达式为 F G ，根据该公式可知，使两物体的质量各减小一半，Mmr2距离不变，则万有引力变为原来的 ，A 正确；使其中一个物体的质量减小到原来的 ，距离14 14不变，则万有引力变为原来的 ，B 正确；使两物体间的距离增大到原来的 2
21、 倍，质量不变，14则万有引力变为原来的 ，C 正确；两物体的质量和距离都减小到原来的 ，则万有引力大小14 14不变，D 错误.【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】万有引力大小的分析与计算5.某物体在地面上受到地球对它的万有引力为 F.若此物体受到的引力减小到 ，则此物体距F4离地面的高度应为( R 为地球半径)( )A.2R B.4R C.R D.8R答案 C11解析 根据万有引力定律有 F G ， F G ，解得 h R，选项 C 正确.MmR2 14 MmR h2【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】万有引力大小的分析与计算6.两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引
22、力为 F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球 2 倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为( )A.2F B.4F C.8F D.16F答案 D解析 两个小铁球之间的万有引力为 F G G .实心小铁球的质量为mm2r2 m24r2m V r3，大铁球的半径是小铁球的 2 倍，则大铁球的质量 m与小铁球的质量43m 之比为 8，故两个大铁球间的万有引力为 F G 16 F.故选 D.mm r 3r3 m mr 27.地球质量大约是月球质量的 81 倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为(
23、)A.19 B.91 C.110 D.101答案 C解析 设月球质量为 m，则地球质量为 81m，地月间距离为 r，飞行器质量为 m0，当飞行器距月球球心的距离为 r时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则 G G mm0r 2，所以 9， r10 r， r r110，故选项 C 正确.81mm0r r 2 r rr【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】万有引力大小的分析与计算8.如图 1 所示，三颗质量均为 m 的人造地球卫星等间隔分布在半径为 r 的圆轨道上，设地球质量为 M，半径为 R，下列说法正确的是( )12图 1A.地球对一颗卫星的引力大小为GMmr R2B.一颗卫星对地球的引力
24、大小为GMmr2C.两颗卫星之间的引力大小为3Gm2r2D.三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2答案 B解析 地球与一颗卫星间的引力大小为 ，A 错误，B 正确.由几何关系可知两卫星之间的GMmr2距离为 r，两卫星之间的引力为 ，C 错误.三颗卫星对地球引力的合力大小为3Gmm3r2 Gm23r2零，D 错误.【考点】万有引力大小的分析与计算【题点】万有引力大小的分析与计算考点三 重力加速度的计算9.地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，若高空中某处的重力加速度为 ，则该处距地g2球表面的高度为( )A.( 1) R B.R2C. R D.2R2答案 A解析 万有引力近似等于重力
25、，设地球的质量为 M，物体质量为 m，物体距地面的高度为h，分别列式 mg， G m ，联立得 2R2( R h)2，GMmR2 MmR h2 g2解得 h( 1) R，选项 A 正确.2【考点】万有引力和重力的关系【题点】万有引力和重力及重力加速度的关系10.(2018余姚中学高二第二学期期中考试)某地区的地下发现了天然气资源，如图 2 所示，在水平地面 P 点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气.假设该地区岩石均匀分布且密度为 ，天然气的密度远小于 ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为 g；由于空腔的存在，现测得 P 点处的重力加速度大小为 kg(k1).已知引力
26、常量为 G，球形空腔的球心深度为 d，则此球形空腔的体积是( )13图 2A. B.kgdG kgd2GC. D.1 kgdG 1 kgd2G答案 D解析 如果将空腔填满岩石，地面质量为 m 的物体的重力为 mg，没有填满时是 kmg，故空腔中填满的岩石所引起的引力为(1 k)mg；根据万有引力定律：(1 k)mg G ，解得： V Vmd2，本题选 D.1 kgd2G二、非选择题11.(万有引力定律的应用)火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的 .一位19宇航员连同宇航服在地球上的质量为 100 kg，则在火星上其质量为多少？重力为多少？(设地面上重力加速度 g9.8 m/s 2
27、，星球对物体的引力等于物体的重力)答案 100 kg 436 N解析 质量是物体本身的属性，在不同的星球上物体质量不变，还是 100 kg.由 G 重 G 得，在火星表面物体重力与地球表面物体重力之比 MmR2 G重 火G重 地 M火M地 R地 2R火 2 19 22149所以物体在火星上的重力 G 重火 1009.8 N436 N.49【考点】万有引力和重力的关系【题点】万有引力和重力及重力加速度的关系12.(万有引力定律的应用)某行星的质量是地球质量的一半，半径也是地球半径的一半.某运动员在地球上能举起 250 kg 的杠铃，在行星上最多能举起质量为多少的杠铃？答案 125 kg解析 该运动员在地球上所能举起的杠铃的重力与他在行星上所能举起的杠铃的重力相等，而重物的重力近似等于万有引力在地球上： m1g 地 G ，在行星上： m2g 行 G ，M地 m1R地 2 M行 m2R行 214因为 m1g 地 m2g 行 ，所以 G G ，M地 m1R地 2 M行 m2R行 2所以 m2 ( )2m1 250 kg125 kg.M地M行 R行R地 21
