1、1习题课 带电粒子在组合场和叠加场中的运动研究学考明确要求考试要求知识内容 带电粒子在组合场和叠加场中的运动选考 d发展要求1.会计算洛伦兹力的大小，并能判断其方向。2掌握带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动，并能解决确定圆心、半径、运动轨迹、周期、运动时间等相关问题。3能分析计算带电粒子在叠加场中的运动。4能够解决速度选择器、磁流体发电机、质谱仪等磁场的实际应用问题。基 础 梳 理1带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法三步法(1)画轨迹：先确定圆心，再画出运动轨迹，然后用几何方法求半径。(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动
2、的时间与周期相联系。(3)用规律：用牛顿第二定律列方程： qvB m ，及圆周运动的规律的一些基本公式。v2r2带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图 1 所示)图 1(2)平行边界(存在临界条件，如图 2 所示)图 2(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图 3 所示)2图 33带电粒子在有界磁场中运动，往往出现临界条件，可以通过对轨迹圆放大的方法找到相切点如图 2(c)图。注意找临界条件，注意挖掘隐含条件。典 例 精 析【例 1】 如图 4 所示，在半径为 R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应mv0Bq强度为 B，圆弧顶点 P
3、有一速率为 v0的带正电的粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为 m，电荷量为 q，粒子重力不计。若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间。图 4解析 设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为 r，由牛顿第二定律得qv0B mv20r所以 r R带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为 ，如图所示。 2t 2Rv0 m2qB答案 m2qB圆周运动的半径和周期：质量为 m、电荷量为 q、速率为 v 的带电粒子，在磁感应强度为 B的匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为 r ，周期为 T 。mvqB 2 rv 2 mqB即 学 即 练1如图 5 所示，在 x0， y0 的空
4、间有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于 xOy 平3面向里，大小为 B，现有四个质量及电荷量均相同的带电粒子，由 x 轴上的 P 点以不同的初速度平行于 y 轴射入此磁场，其出射方向如图所示，不计重力的影响，则( )图 5A初速度最小的粒子是沿方向射出的粒子B初速度最大的粒子是沿方向射出的粒子C在磁场中运动时间最长的是沿方向射出的粒子D在磁场中运动时间最长的是沿方向射出的粒子解析 显然图中四条圆弧中对应的半径最大，由半径公式 R 可知，质量和电荷量相mvqB同的带电粒子在同一个磁场中做匀速圆周运动的速度越大，半径越大，A、B 错；根据周期公式 T 知，当圆弧对应的圆心角为 时，带电粒子在磁
5、场中运动的时间为 t ，2 mqB mqB圆心角越大则运动时间越长，圆心均在 x 轴上，由半径大小关系可知的圆心角为 ，且最大，故在磁场中运动时间最长的是沿方向射出的粒子，D 对，C 错。答案 D基 础 梳 理处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路：1弄清叠加场的组成。2进行受力分析。3确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。4画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。(1)当带电粒子在叠加场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。(2)当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿定律分别列方程求解。(3)当带电粒子做复
6、杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。5记住三点：(1)受力分析是基础；(2)运动过程分析是关键；(3)根据不同的运动过程及物理模型，选择合适的规律列方程。4典 例 精 析【例 2】 一带电微粒在如图 6 所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动，求：图 6(1)该带电微粒的电性？(2)该带电微粒的旋转方向？(3)若已知圆的半径为 r，电场强度的大小为 E，磁感应强度的大小为 B，重力加速度为 g，则线速度为多少？解析 (1)微粒在重力场、匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，微粒受到的重力和电场力是一对平衡力，重力竖直向下，所以电场力竖直向上，与电场方向相反，故可知微
7、粒带负电荷。(2)磁场方向向外，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可判断微粒的旋转方向为逆时针(四指所指的方向与带负电的微粒的运动方向相反)。(3)由微粒做匀速圆周运动可知电场力和重力大小相等，得： mg qE微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动的半径为： r mvqB联立得 vgBrE答案 (1)负电荷 (2)逆时针 (3)gBrE当带电粒子在叠加场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。即 学 即 练2如图 7，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒 a、 b、 c 电荷量相等，质量分别为 ma、 mb、
8、mc，已知在该区域内， a 在纸面内做匀速圆周运动， b 在纸面内向右做匀速直线运动， c 在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是( )5图 7A ma mb mc B mb ma mcC mc ma mb D mc mb ma解析 由题意知，三个带电微粒受力情况： mag qE， mbg qE qvB， mcg qvB qE，所以mbmamc，故 B 正确，A、C、D 错误。答案 B基 础 梳 理1这类问题往往是粒子依次通过几个并列的场，如电场与磁场并列；其运动性质随区域场的变化而变化。2解题时要弄清楚场的性质、场的方向、强弱、范围等。3要进行正确的受力分析，确定带电粒子的运动状态。4
9、分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹是解题的关键。5解题技巧：组合场中电场和磁场是各自独立的，计算时可以单独使用带电粒子在电场或磁场中的运动公式来列式处理。电场中常有两种运动方式：加速或偏转；而匀强磁场中，带电粒子常做匀速圆周运动。典 例 精 析【例 3】 如图 8 所示，平面直角坐标系 xoy 中，第象限存在沿 y 轴负方向的匀强电场，第象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B。一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子从 y 轴正半轴上的 M 点以速度 v0垂直于 y 轴射入电场，经 x 轴上的 N点与 x 轴正方向成 60角射入磁场，最后从 y 轴负半轴上的 P 点与
10、y 轴正方向成 60角射出磁场，不计粒子重力，求：图 8(1)粒子在磁场中运动的轨道半径 R；(2)匀强电场的场强大小 E。6甲解析 (1)因为粒子在电场中做类平抛运动，设粒子过 N 点时的速度为 v，把速度 v 分解如图甲所示。根据平抛运动的速度关系，粒子在 N 点进入磁场时的速度 v vxcos 602 v0。v0cos 60乙如图乙所示，分别过 N、 P 点作速度方向的垂线，相交于 Q 点，则 Q 是粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，根据牛顿第二定律得qvBmv2R所以 RmvqB代入 v2 v0得粒子在磁场中运动的轨道半径R2mv0qB(2)粒子在电场中做类平抛运动，设加速度为 a，运
11、动时间为 t由牛顿第二定律： qE ma设沿电场方向的分速度为 vy at粒子在电场中 x 轴方向做匀速直线运动，由图乙根据粒子在磁场中的运动轨迹可以得出：粒子在 x 轴方向的位移： Rsin 30 Rcos 30 v0t又 vy v0tan 60由可以解得 E 。 3 3 v0B2答案 (1) (2)2mv0qB 3 3 v0B27即 学 即 练3(20164 月浙江选考)如图 9 所示为离子探测装置示意图。区域、区域长均为L0.10 m，高均为 H0.06 m。区域可加方向竖直向下、电场强度为 E 的匀强电场；区域可加方向垂直纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场，区域的右端紧贴着可探测带
12、电粒子位置的竖直屏。质子束沿两板正中间以速度 v1.010 5 m/s 水平射入，质子荷质比近似为 1.010 8 C/kg。(忽略边界效应，不计重力)qm图 9(1)当区域加电场、区域不加磁场时，求能在屏上探测到质子束的外加电场的最大值Emax；(2)当区域不加电场、区域加磁场时，求能在屏上探测到质子束的外加磁场的最大值Bmax；(3)当区域加电场 E 小于(1)中的 Emax，质子束进入区域和离开区域的位置等高，求区域中的磁场 B 与区域中的电场 E 之间的关系式。解析 (1)质子在电场中做类平抛运动，vy atqEmaxLmvtan vyv qEmaxLmv2质子达到区域右下端时有 ta
13、n ，H2L L2解得 Emax 200 V/m。Hmv23qL2(2)质子在磁场中运动有 R ，mvqBmax根据几何关系有 R2( R )2 L2，H2解得 Bmax 5.510 3 T。mvHq(L2 H24)(3)质子运动轨迹如图所示。8设质子进入磁场时的速率为 v，sin ，由几何关系可知 sin ，vyv atv EqmLvv EqLmvv L2RL2mvBq BqL2mv解得 B 。2Ev答案 见解析1如图 10 所示，带负电的粒子以速度 v 从粒子源 P 处射出，若图中匀强磁场范围足够大(方向垂直纸面向里)，则带电粒子的可能轨迹是( )图 10A a B b C c D d解析
14、 粒子的出射方向必定与它的运动轨迹相切，故轨迹 a、 c 均不可能，根据左手定则判断，选项 D 正确。答案 D2如图 11 所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，匀强电场的方向竖直向下，有一正离子恰能以速率 v 沿直线从左向右水平飞越此区域。下列说法正确的是( )图 11A若一电子以速率 v 从右向左飞入，则该电子将沿直线运动B若一电子以速率 v 从右向左飞入，则该电子将向下偏转C若一电子以速率 v 从左向右飞入，则该电子将向下偏转9D若一电子以速率 v 从左向右飞入，则该电子将沿直线运动解析 若电子从右向左飞入，电场力向上，洛伦兹力也向上，所以电子上偏，选项 A、B 错误；若电子从左向右飞入，电
15、场力向上，洛伦兹力向下。由题意，对正电荷有 qE Bqv，会发现 q 被约去，说明等号的成立与 q 无关，包括 q 的大小和正负，所以一旦满足了E Bv，对任意不计重力的带电粒子都有电场力大小等于洛伦兹力大小，显然对于电子两者也相等，所以电子从左向右飞入时，将做匀速直线运动，选项 C 错误，D 正确。答案 D3如图 12 所示是粒子速度选择器的原理图，如果粒子所具有的速率 v E/B，那么( )图 12A带负电粒子沿 ab 方向从左侧进入场区，将向上偏转B带负电粒子必须沿 ba 方向从右侧进入场区，才能沿直线通过C不论粒子电性如何，沿 ab 方向从左侧进入场区，都能沿直线通过D不论粒子电性如何
16、，沿 ba 方向从右侧进入场区，都能沿直线通过解析 按四个选项要求让粒子进入，洛伦兹力与电场力等大反向抵消了的就能沿直线匀速通过磁场。答案 C4半径为 r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从 A 点以速度 v0垂直磁场方向射入磁场中，并从 B 点射出， AOB120，如图 13 所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为 ( )图 13A. B. 2 r3v0 23 r3v0C. D. r3v0 3 r3v0解析 从 弧所对圆心角 60，知 t T ，但题中已知条件不够，没有此选项，16 m3qB10另想办法找规律表示， t 由匀速圆周运动 t ，从题图分析有
17、 R r，则：3 R r r，则 t ，故 D 正确。3 3 33 3 r3v0答案 D1运动电荷进入磁场(无其他场)中，可能做的运动是( )A匀速圆周运动 B平抛运动C自由落体运动 D匀加速直线运动解析 若运动电荷平行磁场方向进入磁场，则电荷做匀速直线运动，若运动电荷垂直磁场方向进入磁场，则电荷做匀速圆周运动，A 正确，D 错误；由于电荷的重力不计，故电荷不可能做平抛运动或自由落体运动，B、C 错误。答案 A2.如图 1 所示圆形区域内，有垂直于纸面方向的匀强磁场，一束质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率，沿着相同的方向，对准圆心 O 射入匀强磁场，又都从该磁场中射出，这些粒子在磁场中
18、的运动时间有的较长，有的较短，若带电粒子在磁场中只受磁场力的作用，则在磁场中运动时间越长的带电粒子( )图 1A速率一定越小B速率一定越大C在磁场中通过的路程越长D在磁场中的周期一定越大解析 根据公式 T 可知，粒子的比荷相同，它们进入匀强磁场2 mBq后做匀速圆周运动的周期相同，选项 D 错误；如图所示，设这些粒子在磁场中的运动圆弧所对应的圆心角为 ，则运动时间 t T，360在磁场中运动时间越长的带电粒子，圆心角越大，运动半径越小，根据 r 可知，速率一定越小，选项 A 正确，B 错误；当圆心角趋近 180时，粒子在磁场mvBq中通过的路程趋近于 0，所以选项 C 错误。11答案 A3如图
19、 2 所示，有一混合正离子束先后通过正交电磁场区域和匀强磁场区域，如果这束正离子束在区域中不偏转，进入区域后偏转半径 R 相同，则它们具有相同的( )图 2A电荷量 B质量C速度 D重力加速度解析 正交电磁场区域实际上是一个速度选择器，这束正离子在区域中均不偏转，说明它们具有相同的速度，故 C 正确。答案 C4如图 3 所示，正方形容器处于匀强磁场中，一束电子从孔 a 垂直于磁场沿 ab 方向射入容器中，一部分从 c 孔射出，一部分从 d 孔射出，容器处于真空中，则下列结论中正确的是( )图 3A从两孔射出的电子速率之比 vc vd12B从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比 tc td12C
20、从两孔射出的电子在容器中运动的加速度大小之比 ac ad 12D从两孔射出的电子在容器中运动的角速度之比 c d21解析 因为 r ，从 a 孔射入，经 c， d 两孔射出的粒子的轨道半径分别为正方形边长和mvqB边长，所以 ，A 错误；粒子在同一匀强磁场中的运动周期 T 相同，因为12 vcvd rcrd 21 2 mqBtc ， td ，所以 ，B 正确；因为向心加速度 an ，所以 ，C 错误；T4 T2 tctd 12 qvBm acad vcvd 21因为 ，所以 相同，D 错误。2T答案 B5(2017浙江桐乡模拟)一质量为 m，带电量为 q 的粒子由静止开始经过一电场加速后，再沿
21、磁场方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场。已知加速电压为 U，则下列说法正确的是( )A粒子进入磁场的速率与加速电压成正比12B粒子一定沿着电场线的方向做匀加速直线运动C粒子在磁场中受到洛伦兹力为 qB2qUmD粒子从电场出来时动能为 qU解析 带电粒子先经过电场加速后有 qU mv2，解得速度 v ，A 错误，D 正确；因电12 2qUm场性质没确定，不能判断粒子的运动性质，B 错误；粒子沿着磁场方向进入磁场不受洛伦兹力的作用，C 错误。答案 D6如图 4 所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、 b、 c，以不同的速率对准圆心 O 沿着 AO 方向射入磁场
22、，其运动轨迹如图。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是( )图 4A a 粒子动能最大B b 粒子速率最大C c 粒子在磁场中运动时间最长D它们在磁场中运动的时间 tatbtc解析 三个质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率垂直进入匀强磁场中，则由于运动半径的不同，导致运动轨迹也不同。因此运动轨迹对应的半径越大，则粒子的速率也越大。而运动周期相同，运动时间由圆弧对应的圆心角决定。粒子在磁场中做匀速圆周运动，故洛伦兹力提供向心力则有 Bqv m ， R 。由于带电粒子的 B、 q、 m 均相同，所v2R mvqB以 R 与 v 成正比，因此轨迹圆弧半径越大，则运动速率越大，由题图知
23、 c 粒子速率最大，A、B 错误，粒子运动周期为 T ，由于带电粒子的 B、 q、 m 均相同，所以周期相同，2 mqB则轨迹圆弧对应的圆心角越大，则运动时间越长，由题图知 a 粒子在磁场中运动的时间最长，故 tatbtc，C 错误，D 正确。答案 D7如图 5 所示，在真空中匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场方向垂直于纸面向里，3 个油滴 a、 b、 c 带有等量同种电荷，其中 a 静止， b 向右匀速运动， c 向左匀速运动。比较它们重力的关系，正确的是( )13图 5A Ga最大 B Gb最小C Gc最小 D Gb最大解析 由 a 静止可以判定它不受洛伦兹力作用，它所受的重力与电场力平衡，
24、如右图所示，由电场力方向向上可知， a 一定带负电，因 3 个油滴带有同种电荷，所以 b、 c 也一定带等量的负电，所受电场力相同，大小都为 F qE，由于 b、 c 在磁场中做匀速运动，它们还受到洛伦兹力作用，受力如图所示，由平衡条件得Ga qE， Gb qE F1， Gc qE F2，所以有 GcGaGb，故 B 正确。答案 B8.带电粒子以初速度 v0从 a 点进入匀强磁场，如图 6 所示，运动中经过 b 点， Oa Ob。若撤去磁场加一个与 y 轴平行的匀强电场，带电粒子仍以速度 v0从 a 点进入电场，仍能通过b 点，则电场强度 E 和磁感应强度 B 的比值为( )图 6A v0 B
25、.1v0C2 v0 D.v02解析 设 Oa Ob d，因带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，所以圆周运动的半径正好等于 d 即 d ，得 B 。如果换成匀强电场，带电粒子做类平抛运动，那么有 dmv0qB mv0qd ( )2，得 E ，所以 2 v0。选项 C 正确。12 qEm dv0 2mv20qd EB答案 C9如图 7 所示，质量为 m，带电荷量 q 的小球从 P 点静止释放，下落一段距离后进入正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里，则小球在通过正交的电场和磁场区域时的运动情况是( )14图 7A一定做曲线运动 B轨迹一定是抛物线 C可能做匀速直线运动 D
26、可能做匀加速直线运动解析 小球从 P 点静止释放，下落一段距离后进入正交的匀强电场和匀强磁场中后一定会受到电场力和洛伦兹力。电场力和重力会对小球做正功，洛伦兹力不做功。小球的动能会增加，即速度变大，且速度的方向也会发生变化。洛伦兹力也会变大，方向也会改变。小球运动的速度和加速度的大小、方向都会改变。所以运动情况是一定做曲线运动。答案 A10如图 8 所示，空间存在水平向里、磁感应强度的大小为 B 的匀强磁场，磁场内有一绝缘的足够长的直杆，它与水平面的倾角为 ，一带电荷量为 q、质量为 m 的带电小球套在直杆上，从 A 点由静止沿杆下滑，小球与杆之间的动摩擦因数为 mgcos ，支持力 N 反向
27、，且速度越增加支持力 N 越大，摩擦力 f 也随着增加，最后出现 mgsin f，之后小球做匀速下滑；所以只有选项 C 正确。答案 C11如图 9 所示，长方体玻璃水槽中盛有 NaCl 的水溶液，在水槽左、右侧壁内侧各装一导体片，使溶液中通入沿 x 轴正向的电流 I，沿 y 轴正向加恒定的匀强磁场 B。图中 a、 b 是垂直于 z 轴方向上水槽的前后两内侧面，则( )15图 9A a 处电势高于 b 处电势 B a 处离子浓度大于 b 处离子浓度C溶液的上表面电势高于下表面的电势D溶液的上表面处的离子浓度大于下表面处的离子浓度解析 电流向右，正离子向右运动，磁场的方向是竖直向上的，根据左手定则
28、可以判断，正离子受到的洛伦兹力的方向是向前，即向 a 处运动，同理，可以判断负离子受到的洛伦兹力的方向也是指向 a 处的，所以 a 处整体不带电， a 的电势和 b 的电势相同，故 A 错误；由于正负离子都向 a 处运动，所以 a 处的离子浓度大于 b 处离子浓度，故 B 正确；离子都向 a 处运动，并没有上下之分，所以溶液的上表面电势等于下表面的电势，溶液的上表面处的离子浓度也等于下表面处的离子浓度，故 C、D 错误。答案 B12(2018绍兴适应性考试)为研究某种材料的荧光特性，兴趣小组的同学设计了图示 10装置：让质子经过 MN 两金属板之间的电场加速后，进入有界匀强磁场，磁场的宽度L0
29、.25 m，磁感应强度大小 B0.01 T，以出射小孔 O 为原点，水平向右建立 x 轴，在0.4 m x0.6 m 区域的荧光屏上涂有荧光材料，(已知质子的质量 m1.610 27 kg，电量 q1.610 19 C，进入电场时的初速度可略)图 10(1)要使质子能打在荧光屏上，加速电压的最小值是多少？(2)当质子打中荧光屏时的动能超过 288 eV，可使荧光材料发光。对于不同的加速电压，荧光屏上能够发光的区域长度是多少？解析 (1)质子经电场加速，由动能定理 qU mv2012进入磁场后做匀速圆周运动，有 qvB mv2r联立解得 Uqr2B22m16从点 O 运动到 x0.4 m 处，圆
30、周运动半径 r0.2 m代入数据得 U1200 V。(2)由题意， 当 Ekmin288 eV 时对应电场力做功最小值 qUmin，则 Umin288 V根据 U 得 rmin0.24 mqr2B22m对应 x12 rmin0.48 m， x20.6 m经检验：此时质子已经穿出磁场边界线，不能打到荧光屏上了，以磁场边界计算，有rmax L0.25 m，即 x22 rmax0.5 m能够发光的区域长度 x x2 x10.02 m。答案 (1)200 V (2)0.02 m13(20183 月温州选考模拟)如图 11 为某种质谱议结构的截面示意图。该种质谱仪由加速电场、静电分析器、磁分析器及收集器
31、组成。静电分析器中存在着径向的电场，其中圆弧 A 上每个点的电势都相等。磁分析器中存在一个边长为 d 正方形区域匀强磁场。离子源不断地发出电荷量为 q、质量为 m、初速度不计的离子，离子经电压为 U 的电场加速后，从狭缝 S1沿垂直于 MS1的方向进入静电分析器，沿圆弧 A 运动并从狭缝 S2射出静电分析器，而且垂直于 MS2的方向进入磁场中，最后进入收集器。已知圆弧 A 的半径为 ，磁场的磁感d2应强度 B ，忽略离子的重力、离子之间的相互作用力、离子对场的影响和场的边缘2mUqd2效应。求：图 11(1)离子到达狭缝 S1的速度大小；(2)静电分析器中等势线 A 上各点的电场强度 E 的大小；(3)离子离开磁场的位置。解析 (1)由动能定理可知： qU mv2，得 v12 2qUm(2)根据牛顿第二定律： Eq mv2d/217得： E 2mv2dq 4Ud(3)由 qvB ，得 r dmv2r轨迹如右图所示，根据勾股定理：(r) 2 2 x2，解得 x ，所以离子从 MN 边距 M 点 的位置离开(r d2) 3d2 3d2答案 (1) (2) (3)见解析2qUm 4Ud
