1、1组合增分练 8 解答题型综合练 A1.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 .cosA-2cosCcosB =2c-ab(1)求 的值;sinCsinA(2)若 cos B= ,b=2,求 ABC 的面积 S.142.随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式 .某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了 50 人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表 .年龄(单位:岁) 15,25) 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75频 数 5 10 15 10 5 5赞成人数 5 10 12 7 2 1(1)若
2、以“年龄”45 岁为分界点,由以上统计数据完成下面 22 列联表,并判断是否有 99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关;年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合 计赞成不赞成合计(2)若从年龄在25,35)和55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取 6 人进行追踪调查,并给予其中 3 人“红包”奖励,求 3 人中至少有 1 人年龄在55,65)的概率 .参考数据如下:附临界值表:P(K2 k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K
3、2的观测值: k= (其中 n=a+b+c+d).n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)23.如图,在梯形 ABCD 中, BAD= ADC=90,CD=2,AD=AB=1,四边形 BDEF 为正方形,且平面 BDEF平面 ABCD.(1)求证: DF CE.(2)若 AC 与 BD 相交于点 O,则在棱 AE 上是否存在点 G,使得平面 OBG平面 EFC?并说明理由 .4.已知抛物线 y2=8x 与垂直 x 轴的直线 l 相交于 A,B 两点,圆 C:x2+y2=1 分别与 x 轴正、负半轴相交于点 P,N,且直线 AP 与 BN 交于点 M.(1)求证:点 M 恒在抛
4、物线上;(2)求 AMN 面积的最小值 .5.设 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f(x).(1)求 g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论 g(x)与 g 的大小关系;(1x)(3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)0 成立 .1a6.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数),x= 3sin -cos ,y=3-2 3sin cos -2cos2 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 sin m.( - 4)= 22(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)若曲线 C1与曲线 C2有公共点
5、,求实数 m 的取值范围 .7.已知函数 f(x)=|x+2|-m,mR,且 f(x)0 的解集为 -3,-1.(1)求 m 的值;(2)设 a,b,c 为正数,且 a+b+c=m,求 的最大值 .3a+1+ 3b+1+ 3c+13组合增分练 8 答案1.解 (1)由正弦定理,设 =k,则 ,asinA= bsinB= csinC 2c-ab =2ksinC-ksinAksinB =2sinC-sinAsinB所以 ,即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B.cosA-2cosCcosB =2sinC-sinAsinB化简可得 sin(A+B)=2sin
6、(B+C).又 A+B+C=,所以 sin C=2sin A.因此 =2.sinCsinA(2)由 =2 得 c=2a.sinCsinA由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 及 cos B= ,b=2,14得 4=a2+4a2-4a2 ,14解得 a=1.从而 c=2.又因为 cos B= ,且 06.635,50(103-2710)220303713所以有 99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关 .(2)按照分层抽样方法可知55,65)抽取 6 =2(人),25,35)抽取 6 =4(人) .510+5 1010+5在上述抽取的 6 人中,年龄在55,65)有 2 人
7、,年龄在25,35)有 4 人 .年龄在55,65)记为(A,B);年龄在25,35)记为(a,b,c,d),则从 6 人中任取 3 名的所有情况为:(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,B,d),(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d)共 20 种情况,其中至少有一人年龄在55,65)岁的情况有:(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,B,d),(A,
8、a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),共 16种情况 .记至少有一人年龄在55,65)岁为事件 A,则 P(A)= .1620=45 至少有一人年龄在55,65)岁之间的概率为 .453.(1)证明 连接 EB, 在梯形 ABCD 中, BAD= ADC=90,CD=2,AD=AB=1,BD= ,BC= ,2 2BD 2+BC2=CD2,BC BD. 平面 BDEF平面 ABCD,平面 BDEF平面 ABCD=BD,BC 平面 BDEF,BC DF
9、.DF EB,EB BC=B,DF 平面 BCE.4CE 平面 BCE,DF CE.(2)解 棱 AE 上存在点 G, ,使得平面 OBG平面 EFC.AGGE=12AB DC,AB=1,DC=2, . ,OG CE.AOOC=12 AGGE=12EF OB,OB平面 EFC,OG平面 EFC,OB 平面 EFC,OG平面 EFC.OB OG=O, 平面 OBG平面 EFC.4.(1)证明 设 A(x1,y1),B(x1,-y1)(x10),由题意, P(1,0),N(-1,0),直线 AP 的方程为( x1-1)y=y1(x-1),直线 BN 的方程为( x1+1)y=-y1(x+1),联立
10、,解得 x= ,y=- .1x1 y1x1 =8x1,y 2=8x,y21即点 M 恒在抛物线上 .(2)解 由(1)可得 AMN 面积 S= |NP|(|y1|+|yM|)=|y1|+ =|y1|+ 4 ,12 |y1x1| |8y1| 2当且仅当 y1=2 ,即 A(1,2 )时取等号, AMN 面积的最小值为 4 .2 2 25.解 (1)由题设知 f(x)=ln x,g(x)=ln x+ ,1xg (x)= ,令 g(x)=0,得 x=1.x-1x2当 x(0,1)时, g(x)0,故(1, + )是 g(x)的单调增区间 .因此, x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而
11、是最小值点 .所以最小值为 g(1)=1.(2)g =-ln x+x.(1x)设 h(x)=g(x)-g =2ln x-x+ ,(1x) 1x则 h(x)=- .(x-1)2x2当 x=1 时, h(1)=0,即 g(x)=g ,(1x)当 x(0,1)(1, + )时, h(x)h(1)=0,即 g(x)g ,(1x)当 x1 时, h(x)0 成立 g(a)-1 ,1a 1a即 ln a1,从而得 0ae.6.解 (1)曲线 C1的参数方程为 消去参数,可得 y=x2(-x= 3sin -cos ,y=3-2 3sin cos -2cos2 ,2 x2) .曲线 C2的极坐标方程为 sin
12、 m,直角坐标方程为 x-y+m=0.( - 4)= 22(2)联立直线与抛物线可得 x2-x-m=0, 曲线 C1与曲线 C2有公共点,m=x 2-x= ,(x-12)2-14- 2 x2, - m6 .1457.解 (1)由题意, |x+2| mm 0,-m-2 x m-2,由 f(x)0 的解集为 -3,-1,得 解得 m=1.-m-2= -3,m-2= -1, (2)由(1)可得 a+b+c=1,由柯西不等式可得(3 a+1+3b+1+3c+1)(12+12+12)( )2,3a+1+ 3b+1+ 3c+1则 3 ,3a+1+ 3b+1+ 3c+1 2当且仅当 ,3a+1= 3b+1= 3c+1即 a=b=c= 时等号成立,13故 的最大值为 3 .3a+1+ 3b+1+ 3c+1 2
