1、1专题对点练 19 统计与统计案例1.我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准 x(单位:吨),用水量不超过x 的部分按平价收费,超过 x 的部分按议价收费 .为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了 100 名居民某年的月用水量(单位:吨),将数据按照0,0 .5),0.5,1),4,4.5分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图 .(1)求直方图中 a 的值;(2)已知该市有 80 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,并说明理由;(3)若该市政府希望
2、使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x(单位:吨),估计 x 的值,并说明理由 .2.为迎接即将举行的集体跳绳比赛,高一年级对甲、乙两个代表队各进行了 6 轮测试,测试成绩(单位:次 /分钟)如下表:轮次 一 二 三 四 五 六甲 73 66 82 72 63 76乙 83 75 62 69 75 68(1)补全茎叶图,并指出乙队测试成绩的中位数和众数;(2)试用统计学中的平均数、方差知识对甲、乙两个代表队的测试成绩进行分析 .23.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响 .对近 8 年的年宣传费
3、 xi和年销售量 yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值 .x y w (xi- )28i=1 x(wi- )28i=1 w(xi- )(yi-8i=1 x)y (wi- )(yi- )8i=1 w y46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8表中 wi= wi.xi,w=188i=1(1)根据散点图判断 y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类x型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润 z 与 x
4、,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? 年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据( u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 . = ni=1(ui-u)(vi-v)ni=1(ui-u)2 , =v- u34.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关,先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制),剔除平均分在 30 分以下的学生后,共有男生 300 名,女生 200 名 .现采用分层抽样的方法,从中抽取了 1
5、00 名学生,按性别分为两组,并将两组学生成绩分为 6 组,得到如下所示频数分布表 .分数段 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100男 3 9 18 15 6 9女 6 4 5 10 13 2(1)估计男、女生各自的成绩平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表),从计算结果看,判断数学成绩与性别是否有关;(2)规定 80 分以上为优分(含 80 分),请你根据已知条件作出 22 列联表,并判断是否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“数学成绩与性别有关” .优 分 非优分 合 计男生女生合计 100附表及公式P(K2 k0) 0.100 0.0
6、50 0.010 0.001k0 2.706 3.841 6.635 10.828K2= ,其中 n=a+b+c+d.n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)4专题对点练 19 答案1.解 (1)由频率分布直方图,可得(0 .08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)0.5=1,解得a=0.30.(2)由频率分布直方图可知,100 名居民每人月用水量不低于 3 吨的频率为(0 .12+0.08+0.04)0.5=0.12.由以上样本频率分布,可以估计全市 80 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 800 0000.12=96 000.(3
7、) 前 6 组的频率之和为(0 .08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)0.5=0.880.85,而前 5 组的频率之和为(0 .08+0.16+0.30+0.40+0.52)0.5=0.730.85, 2.5 x3.由 0.3(x-2.5)=0.85-0.73,解得 x=2.9.因此,估计月用水量标准为 2.9 吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准 .2.解 (1)补全茎叶图如下:乙队测试成绩的中位数为 72,众数为 75.(2) =72,x甲 =63+66+72+73+76+826(63-72)2+(66-72)2+(72-72)2+(73-72)2+(76-72)2
8、+(82-72)2=39;s2甲 =16=72,x乙 =62+68+69+75+75+836(62-72)2+(68-72)2+(69-72)2+(75-72)2+(75-72)2+(83-72)2=44.s2乙 =16因为 ,所以甲、乙两队水平相当,但甲队发挥较稳定 .x甲 =x乙 ,s2甲 s2乙3.解 (1)由散点图可以判断 y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 .x(2)令 w= ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程 .x因为 =68,d= 8i=1(wi-w)(yi-y)8i=1(wi-w)2 =108.81.6=563-686.8=100.6,c=y
9、-dw所以 y 关于 w 的线性回归方程为 =100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为 =100.6+68 .y y x(3) 由(2)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值 =100.6+68 =576.6,y 49年利润 z 的预报值 =576.60.2-49=66.32.z 根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值=0.2(100.6+68 )-x=-x+13.6 +20.12.z x x所以当 =6.8,即 x=46.24 时, 取得最大值 .x=13.62 z故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大 .4.解 (1) =450.05+550.15+650
10、.3+750.25+850.1+950.15=71.5.x男=450.15+550.10+650.125+750.25+850.325+950.05=71.5.x女从男、女生各自的成绩平均分来看,并不能判断数学成绩与性别有关 .(2)由频数分布表可知,在抽取的 100 名学生中,“男生组”中的优分有 15 人,“女生组”中的优分有 15 人,据此可得 22 列联表如下:优 分 非优分 合 计男生 15 45 60女生 15 25 40合计 30 70 1005可得 K2= 1 .79.100(1525-1545)260403070 1.792.706, 不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“数学成绩与性别有关” .
