1、1专题对点练 13 等差、等比数列与数列的通项及求和1.已知各项都为正数的数列 an满足 a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0.a2n(1)求 a2,a3;(2)求 an的通项公式 .2.(2018北京,文 15)设 an是等差数列,且 a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求 an的通项公式;(2)求 + .ea1+ea2 ean3.(2018全国 ,文 17)等比数列 an中, a1=1,a5=4a3.(1)求 an的通项公式;(2)记 Sn为 an的前 n项和,若 Sm=63,求 m.4.在等差数列 an中, a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列
2、an的通项公式;(2)设数列 an+bn是首项为 1,公比为 2的等比数列,求 bn的前 n项和 Sn.25.(2018天津,文 18)设 an是等差数列,其前 n项和为 Sn(nN *);bn是等比数列,公比大于 0,其前n项和为 Tn(nN *).已知 b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求 Sn和 Tn;(2)若 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数 n的值 .6.在等差数列 an中, a7=8,a19=2a9.(1)求 an的通项公式;(2)设 bn= ,求数列 bn的前 n项和 Sn.1nan7.已知 an是各项均为正数的等比数列,且
3、a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列 an的通项公式;(2)bn为各项非零的等差数列,其前 n项和为 Sn.已知 S2n+1=bnbn+1,求数列 的前 n项和 Tn.bnan8.已知数列 an是等差数列,其前 n项和为 Sn,数列 bn是公比大于 0的等比数列,且 b1=-2a1=2,a3-b2=-1,S3-2b3=7.(1)求数列 an和 bn的通项公式;(2)设 cn= ,求数列 cn的前 n项和 Tn.(-1)n-1anbn3专题对点练 13答案1.解 (1)由题意得 a2= ,a3= .12 14(2)由 -(2an+1-1)an-2an+1=0得 2an+1(an+1)=a
4、n(an+1).a2n因为 an的各项都为正数,所以 .an+1an =12故 an是首项为 1,公比为 的等比数列,12因此 an= .12n-12.解 (1)设等差数列 an的公差为 d,a 2+a3=5ln 2, 2a1+3d=5ln 2.又 a1=ln 2,d= ln 2.a n=a1+(n-1)d=nln 2.(2)由(1)知 an=nln 2. =enln 2= =2n,ean eln 2n 是以 2为首项,2 为公比的等比数列 .ean +ea1+ea2 ean=2+22+2n=2n+1-2. + =2n+1-2.ea1+ea2 ean3.解 (1)设 an的公比为 q,由题设得
5、 an=qn-1.由已知得 q4=4q2,解得 q=0(舍去), q=-2或 q=2.故 an=(-2)n-1或 an=2n-1.(2)若 an=(-2)n-1,则 Sn= .由 Sm=63得( -2)m=-188,此方程没有正整数解 .1-(-2)n3若 an=2n-1,则 Sn=2n-1.由 Sm=63得 2m=64,解得 m=6.综上, m=6.4.解 (1)设等差数列 an的公差是 d.由已知( a3+a8)-(a2+a7)=2d=-6,解得 d=-3,a 2+a7=2a1+7d=-23,解得 a1=-1, 数列 an的通项公式为 an=-3n+2.(2)由数列 an+bn是首项为 1
6、,公比为 2的等比数列,a n+bn=2n-1,b n=2n-1-an=3n-2+2n-1,S n=1+4+7+(3n-2)+(1+2+22+2n-1)= +2n-1.n(3n-1)25.解 (1)设等比数列 bn的公比为 q.由 b1=1,b3=b2+2,可得 q2-q-2=0.因为 q0,可得 q=2,故 bn=2n-1.所以, Tn= =2n-1.1-2n1-2设等差数列 an的公差为 d.由 b4=a3+a5,可得 a1+3d=4.由 b5=a4+2a6,可得 3a1+13d=16,从而 a1=1,d=1,故an=n.所以, Sn= .n(n+1)2(2)由(1),有T1+T2+Tn=
7、(21+22+2n)-n= -n=2n+1-n-2.2(1-2n)1-2由 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得, +2n+1-n-2=n+2n+1,n(n+1)2整理得 n2-3n-4=0,解得 n=-1(舍),或 n=4.所以, n的值为 4.6.解 (1)设等差数列 an的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d.因为 a7=8,所以 a1+6d=8.4又 a19=2a9,所以 a1+18d=2(a1+8d),解得 a1=2,d=1,所以 an的通项公式为 an=n+1.(2)bn= ,1nan= 1n(n+1)=1n- 1n+1所以 Sn= + .(1-12)+(12-13)
8、(1n- 1n+1)= nn+17.解 (1)设 an的公比为 q,由题意知 a1(1+q)=6, q=a1q2,a21又 an0,解得 a1=2,q=2,所以 an=2n.(2)由题意知 S2n+1= =(2n+1)bn+1,(2n+1)(b1+b2n+1)2又 S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以 bn=2n+1.令 cn= ,则 cn= ,bnan 2n+12n因此 Tn=c1+c2+cn= + .32+522+723 2n-12n-1+2n+12n又 Tn= + ,两式相减得 Tn= ,12 322+523+724 2n-12n +2n+12n+1 12 32+(12+122+
9、12n-1)-2n+12n+1所以 Tn=5- .2n+52n8.解 (1)设数列 an的公差为 d,数列 bn的公比为 q,q0,b 1=-2a1=2,a3-b2=-1,S3-2b3=7,a 1=-1,-1+2d-2q=-1,3(-1)+3d-22q2=7,解得 d=2,q=2.a n=-1+2(n-1)=2n-3,bn=2n.(2)cn= ,(-1)n-1anbn =(-1)n-1(2n-3)2nT n= + ,-12 -122+323-524 (-1)n-2(2n-5)2n-1 +(-1)n-1(2n-3)2nTn=- + ,12 122-123+324 (-1)n-2(2n-5)2n +(-1)n-1(2n-3)2n+1 Tn=- +(-1)n-1 =- ,32 12-12+122-123 12n-1+(-1)n-1(2n-3)2n+1 12+ -121-(-12)n-11-(-12) +(-1)n-1(2n-3)2n+1T n=- .59+29(-12)n-1+(-1)n-1(2n-3)32n
