1、1题型练 4 大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列 an的前 n 项和为 Sn,满足(1 -q)Sn+qan=1,且 q(q-1)0 .(1)求 an的通项公式;(2)若 S3,S9,S6成等差数列,求证: a2,a8,a5成等差数列 .22.已知等差数列 an的首项 a1=1,公差 d=1,前 n 项和为 Sn,bn= .1(1)求数列 bn的通项公式;(2)设数列 bn前 n 项和为 Tn,求 Tn.3.(2018 浙江,20)已知等比数列 an的公比 q1,且 a3+a4+a5=28,a4+2 是 a3,a5的等差中项 .数列 bn满足 b1=1,数列( bn+1-bn)an的前
2、 n 项和为 2n2+n.(1)求 q 的值;(2)求数列 bn的通项公式 .34.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,公比为 q 的等比数列 bn的首项是 ,且12a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列 an,bn的通项公式 an,bn;(2)求数列 的前 n 项和 Tn.1+1+ 1+145.已知数列 an满足 a1= ,且 an+1=an- (nN *).12 2(1)证明:1 2( nN *);+1(2)设数列 的前 n 项和为 Sn,证明: (nN *).2 12(+2) 12(+1)6.已知数列 an的首项为 1,Sn为数列 an的前 n 项和, Sn+1
3、=qSn+1,其中 q0,nN *.(1)若 2a2,a3,a2+2 成等差数列,求数列 an的通项公式;(2)设双曲线 x2- =1 的离心率为 en,且 e2= ,证明: e1+e2+en .22 53 4-33-156题型练 4 大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解 当 n=1 时,由(1 -q)S1+qa1=1,a1=1.当 n2 时,由(1 -q)Sn+qan=1,得(1 -q)Sn-1+qan-1=1,两式相减,得 an=qan-1.又 q(q-1)0,所以 an是以 1 为首项, q 为公比的等比数列,故 an=qn-1.(2)证明 由(1)可知 Sn= ,又 S3+S
4、6=2S9,1-1-所以 ,1-31-+1-61-=2(1-9)1-化简,得 a3+a6=2a9,两边同除以 q,得 a2+a5=2a8.故 a2,a8,a5成等差数列 .2.解 (1) 在等差数列 an中, a1=1,公差 d=1,S n=na1+ d= ,b n=(-1)2 2+2 22+.(2)bn= =2 ,T n=b1+b2+b3+bn=2 +22+= 2(+1) (1- 1+1) 112+ 123 + 134=2 + =2 故 Tn=1(+1) (1-12 +1213+1314 1 1+1) (1- 1+1)=2+1. 2+1.3.解 (1)由 a4+2 是 a3,a5的等差中项,
5、得 a3+a5=2a4+4,所以 a3+a4+a5=3a4+4=28,解得 a4=8.由 a3+a5=20,得 8 =20,(+1)解得 q=2 或 q= ,因为 q1,所以 q=2.12(2)设 cn=(bn+1-bn)an,数列 cn前 n 项和为 Sn,由 cn= 解得 cn=4n-1.1,=1,-1,2,由(1)可知 an=2n-1,所以 bn+1-bn=(4n-1)(12)-1.7故 bn-bn-1=(4n-5) ,n2,(12)-2bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5) +(4n-9) +7 +3.(12)-2 (12)
6、-3 12设 Tn=3+7 +11 +(4n-5) ,n2,12 (12)2 (12)-2Tn=3 +7 +(4n-9) +(4n-5) ,12 12 (12)2 (12)-2 (12)-1所以 Tn=3+4 +4 +4 -(4n-5) ,12 12 (12)2 (12)-2 (12)-1因此 Tn=14-(4n+3) ,n2,(12)-2又 b1=1,所以 bn=15-(4n+3)(12)-2.4.解 (1)设 an公差为 d,由题意得 解得 故 an=3n-1,bn=1+2=8,1+2=3,1+2=6, 1=2,=3,=12, (12).(2) +22n+1, 1+1+ 1+1=13(1-
7、 1+1)+ 1+1=13(1- 1+1)T n= + (22n+13(12-15) +(15-18) ( 13-1- 13+2)+8(1-4)1-4 =13(12- 13+2)+133-8)=13(22+3- 13+2)52.5.证明 (1)由题意得 an+1-an=- 0,即 an+1 an,故 an 由 an=(1-an-1)an-1,得 an=(1-an-1)(1-an-2 12.2)(1-a1)a10.由 00,故 q=2.所以 an=2n-1(nN *).(2)证明 由(1)可知, an=qn-1.所以双曲线 x2- =1 的离心率 en=22 1+2=1+2(-1).由 e2= ,解得 q=1+2=53 43.因为 1+q2(k-1)q2(k-1),所以 qk-1(kN *).1+2(-1)于是 e1+e2+en1+q+qn-1= ,-1-1故 e1+e2+en4-33-1.
