1、1第一部分 专题六 第三讲 定点、定值、存在性问题A 组1平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)， B(1,3)，若点 C 满足 1 2 (O 为原点)，其中 1， 2R，且 1 21，则点 C 的轨迹是( A )OC OA OB A直线 B椭圆 C圆 D双曲线解析 设 C(x， y)，因为 1 2 ，所以( x， y) 1(3,1) 2(1,3)，OC OA OB 即Error! 解得Error!又 1 21，所以 1，即 x2 y5，所以点 C 的轨y 3x10 3y x10迹为直线故选 A2过双曲线 x2 1 的右支上一点 P，分别向圆 C1：( x4) 2 y24 和圆y215C2：
2、( x4) 2 y21 作切线，切点分别为 M， N，则| PM|2| PN|2的最小值为( B )A10 B13 C16 D19解析 由题意可知，| PM|2| PN|2(| PC1|24)(| PC2|21)，因此|PM|2| PN|2| PC1|2| PC2|23(| PC1| PC2|)(|PC1| PC2|)32(| PC1| PC2|)32| C1C2|313.故选 B3已知 F1， F2分别是双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，且| F1F2|2，若 Px2a2 y2b2是该双曲线右支上的一点，且满足| PF1|2| PF2|，则 PF1F2面积的最大值是( B )A1 B
3、 43C D253解析 Error!| PF1|4 a，| PF2|2 a，设 F1PF2 ，cos ，16a2 4a2 424a2a 5a2 14a22 S2 PF1F2( 4a2asin )21216 a4(1 )25a4 10a2 116a4 9( a2 )2 ，169 59 169当且仅当 a2 时，等号成立，故 S PF1F2的最大值是 .59 43故选 B4已知双曲线 M 的焦点 F1， F2在 x 轴上，直线 x3 y0 是双曲线 M 的一条渐近线，7点 P 在双曲线 M 上，且 0，如果抛物线 y216 x 的准线经过双曲线 M 的一个焦点，PF1 PF2 那么| | |( B
4、 )PF1 PF2 A21 B14 C7 D0解析 设双曲线方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2直线 x3 y0 是双曲线 M 的一条渐近线，7 ，ba 73又抛物线的准线为 x4， c4又 a2 b2 c2.由得 a3.设点 P 为双曲线右支上一点，由双曲线定义得 6| PF1| |PF2|又 0，PF1 PF2 ，PF1 PF2 在 Rt PF1F2中| |2| |28 2PF1 PF2 联立，解得| | |14.PF1 PF2 5已知直线 y k(x2)( k0)与抛物线 C： y28 x 相交于 A、 B 两点， F 为 C 的焦点，若| FA|2| FB|，则 k 的值为
5、( D )A B 13 23C D23 2233解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x10， x20，| FA| x12，| FB| x22， x122 x24， x12 x22.由Error! ，得 k2x2(4 k28) x4 k20， x1x24， x1 x2 4.8 4k2k2 8k2由Error! ，得 x x220， x21， x14，2 45， k2 ， k .8k2 89 2236已知斜率为 的直线 l 与抛物线 y22 px(p0)交于位于 x 轴上方的不同两点 A， B，12记直线 OA， OB 的斜率分别为 k1， k2，则 k1 k2的取值范围是(2
6、，).解析 设直线 l： x2 y t，联立抛物线方程消去 x 得 y22 p(2y t)y24 py2 pt0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 16 p28 pt0t2 p， y1 y24 p， y1y22 pt0t2，即 k1 k2的取值范围是(2，)4pt7已知 F1， F2分别是双曲线 3x2 y23 a2(a0)的左、右焦点， P 是抛物线 y28 ax 与双曲线的一个交点，若| PF1| PF2|12，则抛物线的准线方程为 x2.解析 将双曲线方程化为标准方程得 1，抛物线的准线为 x2 a，联立x2a2 y23a2Error!x3 a，即点 P 的横坐标为 3a.
7、而由Error!| PF2|6 a，又易知 F2为抛物线的焦点，| PF2|3 a2 a6 a，得 a1，抛物线的准线方程为 x2.8设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点， M 为抛物线 C 的准线与 x 轴的交点，若 tan AMB2 ，则| AB|8.2解析 依题意作出图象如图所示，4设 l： x my1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!得，y24 my40， y1 y24 m， y1y24， x1x2 1， x1 x2 m(y1 y2)y214 y2424 m22.tan AMBtan( AMF BMF)，
8、2 ，y1x1 1 y2x2 11 y1x1 1 y2x2 1 22 ，y1 my2 2 y2 my1 2 x1 1 x2 1 y1y2 2y1 y24 m2，24 4 m2， m21，m2 1 2| AB| AF| BF| x11 x214 m248.9(2018抚州一模)已知动圆 C 与圆 x2 y22 x0 外切，与圆 x2 y22 x240内切(1)试求动圆圆心 C 的轨迹方程；(2)过定点 P(0,2)且斜率为 k(k0)的直线 l 与(1)中轨迹交于不同的两点 M， N，试判断在 x 轴上是否存在点 A(m,0)，使得以 AM， AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数 m
9、 的范围；若不存在，请说明理由解析 (1)由 x2 y22 x0 得( x1) 2 y21，由 x2 y22 x240 得( x1)2 y225，设动圆 C 的半径为 R，两圆的圆心分别为 F1(1,0)， F2(1,0)，则|CF1| R1，| CF2|5 R，所以| CF1| CF2|6，根据椭圆的定义可知，点 C 的轨迹为以 F1， F2为焦点的椭圆，所以 c1， a3，所以 b2 a2 c2918，所以动圆圆心 C 的轨迹方程为 1.x29 y28(2)存在直线 l 的方程为 y kx2，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， MN 的中点为E(x0， y0)假设存在点 A(m
10、,0)，使得以 AM， AN 为邻边的平行四边形为菱形，则 AE MN，由Error! 得(89 k2)x236 kx360，x1 x2 ，所以 x0 ，36k9k2 8 18k9k2 85y0 kx02 ，169k2 8因为 AE MN，所以 kAE ，1k即 ，169k2 8 0 18k9k2 8 m 1k所以 m ， 2k9k2 8 29k 8k当 k0 时，9 k 2 12 ，8k 98 2所以 mb0)经过点 A(0，1)，且离心率为 .x2a2 y2b2 22()求椭圆 E 的方程；()经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P， Q(均异于点 A)，证明
11、：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.解析 ()由题意知 ， b1，结合 a2 b2 c2，解得 a ，所以，椭圆的方ca 22 2程为 y21.x22()证明：由题设知，直线 PQ 的方程为 y k(x1)1( k2)，代入 y21，得x22(12 k2)x24 k(k1) x2 k(k2)0.由已知 0，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， x1x20，6则 x1 x2 ， x1x2 .4k k 11 2k2 2k k 21 2k2从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和kAP kAQ y1 1x1 y2 1x2 kx1 2 kx1 kx2 2 kx22 k(2 k)(1x1 1
12、x2)2 k(2 k)x1 x2x1x22 k(2 k)4k k 12k k 22 k2( k1)2.2设点 P 是曲线 C： x22 py(p0)上的动点，点 P 到点(0,1)的距离和它到焦点 F 的距离之和的最小值为 .54(1)求曲线 C 的方程；(2)若点 P 的横坐标为 1，过 P 作斜率为 k(k0)的直线交 C 于点 Q，交 x 轴于点 M，过点 Q 且与 PQ 垂直的直线与 C 交于另一点 N，问是否存在实数 k，使得直线 MN 与曲线 C 相切？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由解析 (1)依题意知 1 ，解得 p .p2 54 12所以曲线 C 的方程为 x2 y.(2)由题意直线 PQ 的方程为： y k(x1)1，则点 M(1 ，0)1k联立方程组Error!，消去 y 得 x2 kx k10，得 Q(k1，( k1) 2)所以得直线 QN 的方程为 y( k1) 2 (x k1)代入曲线方程 y x2中，得1kx2 x1 (1 k)20.1k 1k解得 N(1 k，(1 k )2)1k 1k7所以直线 MN 的斜率 kMN 1 k 1k 2 1 1k k 1 1k . 1 k 1k 2k过点 N 的切线的斜率 k2(1 k )1k由题意有 2(1 k ) 1 k 1k 2k 1k解得 k . 152故存在实数 k 使命题成立 152
