1、1第 20 讲 相似图形基础满分 考场零失误类型一 相似三角形的性质与判定的应用1.(2018重庆)制作一块 3 m2 m 的长方形广告牌的成本是 120 元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍,则扩大后长方形广告牌的成本是(A)A.360 元 B.720 元 C.1 080 元 D.2 160 元2.(2018临沂)如图,利用标杆 BE 测量建筑物的高度.已知标杆 BE 高 1.2 m,测得 AB=1.6 m,BC=12.4 m,则建筑物 CD 的高是(A)A.9.3 m B.10.5 mC.12.4 m D.14 m3.(2018随州)如图,平行于 B
2、C 的直线 DE 把ABC 分成面积相等的两部分,则 的值为(A)A.1 B. +122.21.24.(2018江西,14,6 分)如图,在ABC 中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD 是ABC 的平分线,2BD 交 AC 于点 E.求 AE 的长.类型二 相似变换(位似)5.(2018福建,20,8 分)求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求:根据给出的ABC 及线段 AB,A(A=A),以线段 AB为一边,在给出的图形上用尺规作出ABC,使得ABCABC,不写作法,保留作图痕迹;在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知,求证和证明过程.能力升级 提分真功夫6.
3、(2018长春)孙子算经是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1 丈=10 尺,1 尺=10 寸),则竹竿的长为(A)3A.五丈 B.四丈五尺C.一丈 D.五尺7.(2018台湾)如图,ABC、FGH 中,D、E 两点分别在 AB、AC 上,F 点在 DE 上,G、H 两点在 BC 上,且 DEBC,FGAB,FHAC,若 BGGHHC=465, 则ADE 与FGH 的面积比为何?(A
4、)A.21 B.32C.52 D.948.(2018晋城三模)勾股定理与黄金分割是几何中的双宝,前者好比黄金,后者堪称珠玉,生活中到处可见黄金分割的美.下图是一种贝壳的俯视图,点 C 分线段 AB 近似黄金分割,已知AB=10 cm,ACBC,则 AC 的长约为 cm(结果精确到 0.1 cm). 9.(2018株洲)如图,RtABM 和 RtADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD,其中 AM=AN.(1)求证:RtABMRtAND;(2)设线段 MN 与线段 AD 相交于 T,若 AT= AD,求 tanABM 的值.14410.(2018嘉兴)我们定义:如果一个三角形一条边上的高等
5、于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”.(1)概念理解:如图 1,在ABC 中,AC=6,BC=3,ACB=30,试判断ABC 是不是“等高底”三角形,请说明理由;(2)问题探究:如图 2,ABC 是“等高底”三角形,BC 是“等底”,作ABC 关于 BC 所在直线的对称图形得到ABC,连接 AA交直线 BC 于点 D.若点 B 是AAC 的重心,求 的值;(3)应用拓展:如图 3,已知 l1l 2,l1与 l2之间的距离为 2.“等高底”ABC 的“等底”BC 在直线 l1上,点 A 在直线 l2上,有一边的长是 BC 的 倍.将ABC 绕点 C 按顺时
6、针方向旋转 45得到2ABC,AC 所在直线交 l2于点 D,求 CD 的值.5预测猜押 把脉新中考11.(2019改编预测)如图,四边形 ABCD 和 BEFG 均为正方形,则 = .(结果不取近似值) 12.(2019改编预测)如图所示,将一个大正方形分割成几个相同的小正方形,小正方形的顶点称为格点,连接格点而成的三角形称为格点三角形,请在图(1)、(2)、(3)、(4)中分别画出四个互不全等的格点三角形,要求所画三角形与格点三角形ABC 相似但与ABC 不全等.13.(2019改编预测)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形,ABC 的顶点都在格点上,建立如图所示的
7、平面直角坐标系.(1)将ABC 向左平移 7 个单位长度后再向下平移 3 个单位长度,请画出两次平移后的A1B1C1,若 M 为ABC 内的一点,其坐标为(a,b),直接写出两次平移后点 M 的对应点 M1的坐标;(2)以原点 O 为位似中心,将ABC 缩小,使变换后得到的A 2B2C2与ABC 对应边的比为 12.请在网格内画出在第三象限内的A 2B2C2,并写出点 A2的坐标.614.(2019改编预测)如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(0,6),B(8,0).点 P 从 A 点出发,以每秒 1 个单位的速度沿 AO 方向运动,同时,点 Q 从 O 点出发,以每秒 2 个单位的速度沿
8、OB方向运动,当 Q 点到达 B 点时,P、Q 两点同时停止运动.(1)求运动时间 t 的取值范围;(2)整个运动过程中,以点 P、O、Q 为顶点的三角形与 RtAOB 有几次相似?请直接写出相应的 t 值;(3)t 为何值时,POQ 的面积最大?最大值是多少?7答案精解精析基础满分1.C 2.B 3.C 4.解析 BD 平分ABC,ABD=CBD.ABCD,ABD=D,ABECDE.CBD=D, = .BC=CD.AB=8,CA=6,CD=BC=4, = ,AE=4.84 6-5.解析 如图,ABC即为所求作的三角形.已知:如图,ABCABC, = = =k,AD=DB,AD=DB.求证:
9、=k. 证明:AD=DB,AD=DB,AD= AB,AD= AB,12 12 = = ,又 = ,12128 = ,ABCABC,A=A,CADCAD, = =k.能力升级6.B 7.D 8.答案 6.29.解析 (1)证明:AD=AB,AM=AN,AMB=AND=90,RtABMRtAND(HL).(2)由 RtABMRtAND 得DAN=BAM,DN=BM,BAM+DAM=90,DAN+ADN=90,DAM=ADN,NDAM,AMTDNT, = ,AT= AD, = ,14 13tanABM= = = .1310.解析 (1)ABC 是“等高底”三角形.理由:如图 1,过 A 作 ADBC
10、 于 D,则ADC 是直角三角形,ADC=90,ACB=30,AC=6,AD= AC=3,AD=BC=3,即ABC 是“等高底”三角形.12(2)ABC 是“等高底”三角形,BC 是“等底”,AD=BC,ABC 关于 BC 所在直线的对称图形是ABC,ADC=90,点 B 是AAC 的重心,BC=2BD,设 BD=x,则 AD=BC=2x,CD=3x,由勾股定理得 AC= x,139 = = .132 132(3)当 AB= BC 时,()如图 2,作 AEBC 于 E,DFAC 于 F,2“等高底”ABC 的“等底”为 BC,l1l 2,l1与 l2之间的距离为 2,AB= BC,2BC=A
11、E=2,AB=2 ,BE=2,即 EC=4,AC=2 ,2 5ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC,DCF=45,设 DF=CF=x,l 1l 2,ACE=DAF, = = ,即 AF=2x,12AC=3x=2 ,5x= ,CD= x= .23522310()如图 3,此时ABC 是等腰直角三角形,ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC,ACD 是等腰直角三角形,CD= AC=2 .2 2当 AC= BC 时,2()如图 4,此时ABC 是等腰直角三角形,ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC,ACl 1,CD=AB=BC=2.()如图 5,作 AEBC
12、于 E,则 AE=BC,AC= BC= AE,ACE=45,2 2ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC 时,点 A在直线 l1上,ACl 2,即直线 AC 与 l2无交点,10综上所述,CD 的值为 ,2 ,2.23102预测猜押11.答案 2212.解析 如图.13.解析 (1)所画图形如图所示,其中A 1B1C1即为所求,M 1的坐标为(a-7,b-3).(2)所画图形如图所示,其中A 2B2C2即为所求,点 A2的坐标为(-1,-4).14.解析 (1)点 B 的坐标为(8,0),OB=8,点 Q 从 O 出发,以每秒 2 个单位的速度沿 OB 方向运动,当 Q 点到达 B 点时,P、Q 两点同时停止运动,t4,则运动时间 t 的取值范围为 0t4.(2)由题意得,AP=t,OP=6-t,OQ=2t,当 RtPOQRtAOB 时, = ,即 = ,解得 t= .6-6 28 125当 RtPOQRtBOA 时,11= ,即 = ,解得 t= .6-8 26 1811故当 t= 或 时,以点 P、O、Q 为顶点的三角形与 RtAOB 相似,即相似两次.125 1811(3)POQ 的面积= OQOP= 2t(6-t)=-t2+6t=-(t-3)2+9,12 12当 t=3 时,POQ 的面积最大,最大值是 9.
