1、1回扣 3 三角函数、三角恒等变换与解三角形1三种三角函数的性质函数 ysin x ycos x ytan x图象单调性在Error! Error!(kZ) 上单调递增；在Error!Error!(kZ) 上单调递减在2 k，2 k(kZ)上单调递增；在2 k，2 k(kZ)上单调递减在Error!Error!(kZ)上单调递增对称性对称中心：( k，0)(kZ)；对称轴：x k( kZ)2对称中心：(kZ)；(2 k ， 0)对称轴：x k( kZ)对称中心：(kZ)(k2， 0)2函数 y Asin(x )( 0， A0)的图象(1)“五点法”作图2设 z x ，令 z0， ， ，2，求出
2、相应的 x的值与 y的值，描点、连线可2 32得(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口(3)图象变换ysin x ysin( x ) 向 左 0或 向 右 0倍 纵 坐 标 不 变y Asin(x ) 纵 坐 标 变 为 原 来 的 AA0倍 横 坐 标 不 变3准确记忆六组诱导公式对于“ ， kZ”的三角函数值与 角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号k2看象限4三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin 2 cos 2 tan 45等(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(3)弦、切互化：一般是切化
3、弦(4)灵活运用辅助角公式 asin bcos sin( ) .a2 b2 (其 中 tan ba)5正弦定理及其变形 2 R(2R为 ABC外接圆的直径)asin A bsin B csin C变形： a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C.sin A ，sin B ，sin C .a2R b2R c2Ra b csin Asin Bsin C.6余弦定理及其推论、变形a2 b2 c22 bccos A， b2 a2 c22 accos B，c2 a2 b22 abcos C.推论：cos A ，cos B ，b2 c2 a22bc a2 c2 b22accos C
4、.a2 b2 c22ab变形： b2 c2 a22 bccos A， a2 c2 b22 accos B，a2 b2 c22 abcos C.37面积公式S ABC bcsin A acsin B absin C.12 12 121利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号2在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略 x的取值范围3求函数 f(x) Asin(x )的单调区间时，要注意 A与 的符号，当 0)的最小正周期是 T，将其图象向左平移 T个单位长度后，得到14的图象如图所示，则函数 ysin x ( 0)的单调递增区间是( )A. (kZ)7k6 724
5、， 7k6 724B. (kZ)7k3 724， 7k3 724C. (kZ)7k3 712， 7k3 712D. (kZ)7k6 724， 7k6 2124答案 A解析 方法一 由已知图象知， ysin x ( 0)的最小正周期是 2 ，所以712 767 ，解得 ，所以 ysin x.2 76 127 127由 2k x2 k 得到单调递增区间是 (kZ)2 127 2 7k6 724， 7k6 724方法二 因为 T ，所以将 ysin x ( 0)的图象向左平移 T个单位长度后，2 14所对应的解析式为 ysin .(x2 )由图象知， ，所以 ，(712 2 ) 32 127所以 y
6、sin x.由 2k x2 k 得到单调递增区间是127 2 127 2(kZ)7k6 724， 7k6 7249已知 f(x)sin x cos x(xR)，函数 y f(x )的图象关于直线 x0 对称，则3 的值可以是( )A. B. C. D.2 6 3 4答案 B解析 已知 f sin x cos x2sin ，(x) 3 (x3)y f 2sin 关于直线 x0 对称，(x ) (x 3)所以 f(0)2sin 2，( 3)所以 k， kZ， k， kZ，3 2 6当 k0 时， ，故选 B.610已知函数 f(x)2cos( x )1 ，其图象与直线 y1 相邻两个( 0， |
7、|0对 x 恒成立，则 的取值范围是( )43 ( 8， 4)A. B.12， 0 ( 8， 24C. D.12， 8) 0， 12答案 B解析 由已知得函数 f(x)的最小正周期为 ，则 ，43 328当 x 时， x ，(8， 4) 32 ( 316 ， 38 )因为 f(x)0，即 cos ，(32x )12所以Error! (kZ)，解得 2 k 2 k( kZ)，748 24又| |0， 0，00)和 g(x)3cos(2 x )的图象的对称中心完全相( x6)同，若 x ，则 f(x)的取值范围是_0，2答案 32， 3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相
8、同，故 2，所以 f(x)3sin ，(2x6)那么当 x 时， 2 x ，0，2 6 6 569所以 sin 1，故 f(x) .12 (2x 6) 32， 313在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，角 B为锐角，且 sin2B8sin Asin C，则 的取值范围为_ba c答案 (63， 255)解析 因为 sin2B8sin Asin C，由正弦定理可知，b28 ac，所以 cos Ba2 c2 b22ac a c2 2ac b22aca c2 54b214b2 5(0,1)，4a c2b2令 t ， t0，则 0 51，ba c 4t2解得 t2 ，即 t
9、 .23 45 (63， 255)14.如图，在平面四边形 ABCD中， AD1， CD2， AC ，cos BAD ，sin CBA7714，则 BC的长为_216答案 3解析 因为 cos BAD ，714故 sin BAD ，1 ( 714)2 32114在 ADC中运用余弦定理，可得 cos CAD ，1 7 427 277则 sin CAD ，1 (277)2 21710所以 sin BACsin( BAD CAD) ，32114 277 714 217 63 314 32在 ABC中运用正弦定理，可得 BC 3.BCsin BAC 7sin CBA 32 7 62115在 ABC中
10、，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 cos C(cos A sin A)cos 3B0.(1)求角 B的大小；(2)若 a2， b ，求 ABC的面积7解 (1)由已知得cos( A B)cos Acos B sin Acos B0，3即 sin Asin B sin Acos B0，因为 sin A0，3所以 sin B cos B0，3又 cos B0，所以 tan B ，3又 0B，所以 B .3(2)因为 sin B ，cos B ， b ，32 12 7所以 ，asin A bsin B 732 2213又 a2，所以 sin A ，321 217因为 ab，所
11、以 cos A .277因为 A B C，所以 sin Csin( A B)sin Acos Bcos Asin B ，32114所以 S ABC absin C .12 33216已知函数 f(x) sin xcos xsin 2x (xR)312(1)当 x 时，求函数 f(x)的最小值和最大值；12， 512(2)设 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 c ， f(C)2，若向量3m(1， a)与向量 n(2， b)共线，求 a， b的值11解 (1)函数 f(x) sin xcos xsin 2x (xR)，312 f(x) sin 2x 32 1 cos 2x2 12 sin 2x cos 2x132 12sin 1.(2x6) x ， 2 x ，12 512 3 6 23 sin 1，32 (2x 6)1 sin 12 ，32 (2x 6) f(x)的最小值是 1 ，最大值是 2.32(2) f(C)sin 12，(2C6)sin 1，(2C6)0 C， 2C ，6 61162 C ，解得 C .6 2 3向量 m(1， a)与向量 n(2， b)共线， b2 a0，即 b2 a.由余弦定理，得 c2 a2 b22 abcos ，3即 a2 b2 ab3.由得 a1， b2.
