1、1第 2 讲 不等式选讲考情考向分析 本部分主要考查绝对值不等式的解法求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想热点一 含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a 或 f(x)0) a0.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)5 x1 的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为 x|x1，求 a 的值解 (1)当 a3 时，不等式 f(x)5 x1 即为|2x3|
2、5 x5 x1， 1，|2x 3|2解得 x2 或 x1.不等式的解集为 x|x1 或 x2(2)由 f(x)0，得 5 x0，|2x a|解得Error! 或Error!又 a0，不等式的解集为Error!，由题意得 1，a3解得 a3.思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤求零点；划区间、去绝对值符号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法跟踪演练 1 (2018河北省衡水金卷模拟)已知函数 f(x)|2 x1| x1|.(1)解
3、不等式 f(x)3；(2)若函数 g(x) ，若对于任意的 x1R，都存在 x2R，使得|2x 2 018 a| |2x 2 019|f(x1) g(x2)成立，求实数 a 的取值范围解 (1)依题意，得 f(x)Error!由 f(x)3，得Error!或Error!或Error!解得1 x1.即不等式 f(x)3 的解集为 .x| 1 x 1(2)由(1)知， f(x)min f ，(12) 32g(x) |2x 2 018 a| |2x 2 019| | a1|，|2x 2 018 a 2x 2 019|则| a1| ，32解得 a ，12 52即实数 a 的取值范围为 .12， 52热
4、点二 绝对值不等式恒成立(存在)问题3定理 1：如果 a， b 是实数，则| a b| a| b|，当且仅当 ab0 时，等号成立定理 2：如果 a， b， c 是实数，那么| a c| a b| b c|，当且仅当( a b)(b c)0时，等号成立例 2 (2018江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数 f(x)| x1|2 x3|.(1)解不等式 f(x)a 恒成立 f(x)mina； f(x)a 有解 f(x)maxa； f(x)a 无解 f(x)max a； f(x)1，且当 x 时，都有 f(x) g(x)，求 k 的取值范围k3， 13)解 (1)当 k3 时， f(x)|3 x1
5、3 x3|Error!故不等式 f(x)4 可化为4Error!或 Error!或Error!解得 x0 或 x ，43所求不等式的解集为Error!.(2)当 x 时，k3， 13)由 k1，得 3x11，故1| a b|.(1)解 f(x)|3 x1|3 x1|1，1 时， f(x)3 x13 x16 x，13由 6x0， |a b|.|ab 1|真题体验1(2017全国)已知函数 f(x) x2 ax4， g(x)| x1| x1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；(2)若不等式 f(x) g(x)的解集包含1,1，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，
6、不等式 f(x) g(x)等价于x2 x| x1| x1|40.当 x1 时，式化为 x2 x40，从而 10， b0， a3 b32，证明：(1)(a b)(a5 b5)4；(2)a b2.证明 (1)( a b)(a5 b5) a6 ab5 a5b b6( a3 b3)22 a3b3 ab(a4 b4)4 ab(a4 b42 a2b2)4 ab(a2 b2)24.(2)因为( a b)3 a33 a2b3 ab2 b323 ab(a b)2 (a b)3a b242 ，3a b34所以( a b)38，(当且仅当 a b 时，等号成立)因此 a b2.8押题预测1已知函数 f(x)| x2
7、2 x a|， aR.(1)当 a1 时，解不等式 f(x)4；(2)若 x0，使 f(x0)| x02|1，若 x(1,1)，使 f(x) x2 mx3 成立，求 m 的取值范围解 (1) f(x)| x1| ，|x m| |m 1|由 f(x)2，得 2，|m 1|11 m12 或 m12， m 的取值范围是 m|m1 或 m3(2) m1，当 x(1,1)时， f(x) m1，不等式 f(x) x2 mx3，即 m1 x2 mx3， m(1 x) x22，即 m .x2 21 x令 g(x) x2 21 x 1 x2 21 x 31 x(1 x) 2.31 x00；(2)若关于 x 的
8、不等式 f(x)2 a25 a 的解集为 R，求实数 a 的取值范围解 (1)不等式 f(x) x0 可化为| x1| x|x2|，当 x( x2)，解得 x3，即3x2，解得 xx2，解得 x3，即 x3.综上所述，不等式 f(x) x0 的解集为 x|33(2)由不等式 f(x)2 a25 a，可得| x1| x2|2 a25 a.| x1| x2| 3，|x 1 x 2|2 a25 a3，即 2a25 a30，解得 a 或 a3.1212实数 a 的取值范围是 3，)( ， 125(2018辽宁省部分重点中学协作体模拟)已知函数 f(x) (a0)|x a| |x1a|(1)当 a2 时
9、求不等式 f(x)3 的解集；(2)证明： f(m) f 4.(1m)(1)解 当 a2 时， f(x)| x2| ，|x12|原不等式等价于Error!或Error! 或Error!解得 x .114 14所以不等式的解集为Error!.(2)证明 f(m) f | m a| (1m) |m 1a| | 1m a| | 1m 1a| (|m a| |1m a|) (|m 1a| | 1m 1a|)2 2 4|m1m| (|m| 1|m|)(当且仅当 m1 且 a1 时等号成立)B 组 能力提高6(2018榆林模拟)已知函数 f(x)|3 x1|2 x1| a.(1)求不等式 f(x)a 的
10、解集；(2)若恰好存在 4 个不同的整数 n，使得 f(n)a，得|3 x1|2 x1|，不等式两边同时平方，得 9x26 x14 x24 x1，即 5x210x，解得 x2.所以不等式 f(x)a 的解集为(，0)(2，)(2)设 g(x)|3 x1|2 x1|Error!作出函数 g(x)的图象，如图所示，13因为 g(0) g(2)0， g(3)2|x|；(2)若 f(x) a22 b23 c2对任意 xR 恒成立，求证： ac2 bc .78(1)解 由 f(x)2|x|，得 x2| x2|2| x|，即Error! 或Error!或Error!解得 x2 或 02 或 x2|x|的解
11、集为(，1)(2，)(2)证明 当 x2 时， f(x) x2 x22 2224；当 x2 时， f(x) x2 x2 2 ，(x12) 74 74所以 f(x)的最小值为 .74因为 f(x) a22 b23 c2对任意 xR 恒成立，所以 a22 b23 c2 ，74又 a22 b23 c2 a2 c22( b2 c2)2 ac4 bc，所以 ac2 bc .(当且仅当 a b c 时，等号成立)788设函数 f(x)| x | x |.a 1 a(1)当 a1 时，解不等式 f(x) ；12(2)若对任意 a0,1，不等式 f(x) b 的解集不为空集，求实数 b 的取值范围解 (1)当
12、 a1 时，不等式 f(x) 等价于| x1| x| .12 1214当 x1 时，不等式化为 x1 x ，无解；12当1 x0 时，不等式化为 x1 x ，12解得 x0；14当 x0 时，不等式化为 x1 x ，12解得 x0.综上所述，不等式 f(x) 的解集为 .12 14， )(2)不等式 f(x) b 的解集不为空集， b f(x)max， a0,1， f(x)| x | x | x x |a 1 a a 1 a| | ，a 1 a a 1 a f(x)max .a 1 a对任意 a0,1，不等式 f(x) b 的解集不为空集， b min，a 1 a令 g(a) ，a 1 a g2(a)12 12 12 .a 1 a a1 a (a 12)2 14当 a 时， g(a)单调递增，当 a 时， g(a)单调递减，当且仅当 a0 或 a10，12 12， 1时， g(a)min1， b 的取值范围为(，1
