1、1124 分项练 4 平面向量与数学文化1(2018贵阳模拟)如图，在 ABC 中， BE 是边 AC 的中线， O 是 BE 边的中点，若 a，AB b，则 等于( )AC AO A. a b12 12B. a b12 14C. a b14 12D. a b14 14答案 B解析 在 ABC 中， BE 是 AC 边上的中线， ，AE 12AC O 是 BE 边的中点， ( )，AO 12AB AE ，AO 12AB 14AC 2 a， b，AB AC a b.AO 12 142已知向量 a(2,4)，| b|2，| a2 b|8，则 a 在 a b 方向上的投影为( )A. B.435 3
2、28C. D.557 131010答案 D解析 由 a(2,4)，| b|2，| a2 b|8，可知| a| 2 ，22 42 5(a2 b)2 a24 b24 ab64，则 ab7，所以 a 在 a b 方向上的投影为aa b|a b| a2 aba2 b2 2ab .20 720 4 2 7 1310103若两个非零向量 a， b 满足| a|1，| b|2，|2 a b|2 ，则 a 与 b 的夹角为( )3A. B. C. D. 6 4 3 23答案 C解析 设 a， b 的夹角为 ， 0，则由| a|1，| b|2，|2 a b|2 ，3得(2 a b)212，即(2 a)24 ab
3、 b244 ab412，所以 ab1，所以 cos ，所以 .12 34(2018上饶模拟)设 D， E 为正三角形 ABC 中 BC 边上的两个三等分点，且 BC2，则 等于( )AD AE A. B. C. D.49 89 269 263答案 C解析 如图，3| | |2， ， 60，AB AC AB AC D， E 是边 BC 的两个三等分点， AD AE (AB 13BC ) (AC 13CB ) (23AB 13AC ) (13AB 23AC ) | |2 | |2 4 22 4 .29AB 59AB AC 29AC 29 59 12 29 2695(2018东北三省三校模拟)非零向
4、量 a， b 满足： ， a(a b)0，则 a b|a b| |a|与 b 夹角的大小为( )A135 B120 C60 D45答案 A解析 非零向量 a， b 满足 a(a b)0，所以 a2 ab，由 可得，|a b| |a|a22 ab b2 a2，解得| b| |a|，2设 a b 与 b 的夹角为 ，则 cos a bb|a b|b| ab |b|2|a|b| ，|a|2 2|a|22|a|2 22又 0，180， 135.6(2018东北师大附中模拟)孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为：有 5 个人
5、分 60 个橘子，他们分得的橘子数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少个橘子这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是( )A15 B16 C18 D21答案 C解析 设第一个人分到的橘子个数为 a1，由题意得 S55 a1 360，解得 a16，542则 a5 a1(51)361218.7(2018南昌模拟)在周易中，长横“ ”表示阳爻，两个短横 “ ”表示阴爻有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有 238(种)组合方法，这便是系辞传所4说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦” 有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有
6、八种情况所谓的“算卦” ，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是( )A. B. C. D.17 516 916 58答案 B解析 在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件的总数为 n2 664，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为 mC 20，36所以这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是 P .mn 2064 5168(2018新乡模拟)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是：今有 3 人坐一辆车，有 2 辆车是空的；2
7、人坐一辆车，有 9 个人需要步行问人与车各多少？如图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出 S 的值为( )A31 B33 C35 D39答案 D解析 结合题中所给的程序框图运行程序如下：首先初始化数据： n1，第一次循环： n n23， S3 n9， T2 n1319，满足 S0 且Error!x2 y2 122xy即 x2 y21 且Error!面积为 1 ， 4因为统计能与 1 构成锐角三角形三边的数对( x， y)的个数 m113，所以 1 ，所以 .113500 4 38712511(2018南平质检)我国古代著名的数学著作有周髀算经 、 九章算术 、 孙子算经 、五曹算
8、经 、 夏侯阳算经 、 孙丘建算经 、 海岛算经 、 五经算术 、 缀术 、 缉古算机等 10 部算书，被称为“算经十书” 某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少” ；乙：“甲比丙多” ；丙：“我比丁多” ；丁：“丙比乙多” ，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( )A乙甲丙丁 B甲丁乙丙C丙甲丁乙 D甲丙乙丁答案 D解析 由题意可列表格如下：甲 乙
9、丙 丁甲说 丁乙乙说 甲丙丙说 丙丁丁说 丙乙对于选项 A，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对；对于选项 B，丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对；对于选项 C，乙说的对，但乙不是最少的，不符合；对于选项 D，甲说的对，也正好是最少的，符合，选 D.712已知在三角形 ABC 中， AB0 得， t 的最大值为 3，9故判断框应填入的是 t4？，即 m4.15(2018湘潭模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体(记为 ABCD A1B1C1D1)的粮仓，宽 3 丈(即 AD3 丈)，长 4
10、 丈 5 尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，一丈为 10 尺，则下列判断正确的是_(填写所有正确结论的序号)该粮仓的高是 2 丈；异面直线 AD 与 BC1所成角的正弦值为 ；31313长方体 ABCD A1B1C1D1的外接球的表面积为 平方丈1334答案 解析 由题意，因为 10 0002.73045 AA1，解得 AA120(尺)2(丈)，故正确；异面直线 AD 与 BC1所成角为 CBC1，则 sin CBC1 ，故错误，222 32 21313此长方体的长、宽、高分别为 4.5 丈、3 丈、2 丈，故其外接球的表面积为4 2 ( 平方丈)，(4.52 32 222 ) 1334所以是正确的16(2018咸阳模拟)已知圆的半径为 1， A， B， C， D 为该圆上四个点，且 ，则AB AC AD ABC 面积的最大值为_答案 1解析 如图所示，由 知，四边形 ABDC 为平行四边形，AB AC AD 又 A， B， C， D 四点共圆，四边形 ABDC 为矩形，即 BC 为圆的直径，10 ABC 的面积 S ABAC 12 12 AB2 AC22 AD2，14当 AD 是圆的直径时， ABC 的面积最大当 AB AC 时， ABC 的面积取得最大值 41.14
