1、12.3.2 圆的一般方程1 曲线 x2+y2+2 x-2 y=0 关于( )2 2A.直线 x=2 对称 B.直线 y=-x 对称C.点( -2,2)中心对称 D.点( -2,0)中心对称解析： 将圆方程化为标准方程得( x+ )2+(y- )2=4.圆心( - )在直线 y=-x 上,故圆关于直线2 2 2, 2y=-x 对称 .故选 B.答案： B2 若方程 a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0 表示圆,则 a 的值是( )A.-1 B.2 C.-1 或 2 D.1解析： 由 可得 a=-1 或 a=2(舍) .2=+2,(22)2-420,答案： A3 过原点的直线与圆 x2+y2
2、+4x+3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( )A.y= x B.y=- x C.y= x D.y=- x3 333 33解析： 设直线方程为 y=kx,因为圆心( -2,0)到直线 kx-y=0 的距离等于圆的半径 1,所以=1,解得 k= .又因为切点在第三象限,所以 k=- 舍去 .所以所求直线的方程为|-2-0|2+1 33 33y= x.33答案： C4 点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=1 D.(x+2)2+(y-1)2=1解
3、析： 设圆上任意一点的坐标为( x1,y1),其与点 P 连线的中点为( x,y),则代入 x2+y2=4,得(2 x-4)2+(2y+2)2=4,化简得( x-2)2+(y+1)2=1.=1+42 ,=1-22 ,即 1=2-4,1=2+2,答案： A5 圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是( )A.36 B.18 C.6 D.52 2来源 :学 科 网 2解析： x2+y2-4x-4y-10=0(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为 3 .由点到直线的距离公式2得圆心到直线的距离为 =5 ,由数形结合思想可得
4、:该圆上的点到已知直线的距离的最小值为 2102 2,最大值为 8 ,故所求距离之差为 6 .2 2 2答案： C6 已知 A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点,则这四点( )A.共线 B.不共面 C.共圆 D.不共圆解析： 设经过 A,B,C 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有 解1+16+4+=0,4+9-2+3+=0,16+25+4-5+=0,得 所以经过 A,B,C 三点的圆的方程为 x2+y2-2x+2y-23=0,将点 D(4,3)的坐标代入上述=-2,=2,=-23,方程有 42+32-24+23-23=0,所以点 D 在此圆上,故
5、A,B,C,D 四点共圆 .答案： C7 已知 A(-2,0),B (0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点,则 ABC 的面积的最大值为( )A.3- B.4- C. D.3+2 26- 22 2解析： 要使 ABC 的面积最大,即要求点 C 到 AB 的距离最大,亦即求圆上的点到直线 AB 距离的最大值,应为圆心到直线 AB 的距离 d 与半径 r 之和 .由于圆心 C(1,0)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d 为,即 C 到 AB 的距离的最大值为 +1,故 ABC 的面积的最大值为 |AB|1-0+2|2 =322 322=3+ .(322+1) 2答案： D
6、8 设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程是 . 解析： 直线 AB 与点 P 和圆心所确定的直线垂直,由点斜式可得 .答案： x+y-4=09 圆 x2+y2-2x-K2+2K-2=0 的面积的最小值是 . 解析： 圆的方程可化为( x-1)2+y2=K2-2K+3,因此其半径为 ,圆的面积 S=(2-2+3)2=(K2-2K+3) =(K-1)2+2,故当 K=1 时,圆的面积最小,最小值为 2 .2-2+3答案： 210 判断下列方程表示什么图形 .(1)x2+y2=0;3(2)x2+y2-2x-2y-3=0;(3)x2+y2+2ax+2
7、by=0.解 (1)因为 x2+y2=0,所以 x=0,且 y=0.即方程表示一个点(0,0) .(2)原方程可化为( x-1)2+(y-1)2=5,即方程表示圆心为(1,1),半径为 的圆 .5(3)原方程可化为( x+a)2+(y+b)2=a2+b2,当 a=b=0 时,方程表示一个点(0,0);当 a2+b20 时,方程表示圆心为( -a,-b),半径为 的圆 .2+211 已知过点 M(-1,1)的直线 l 被圆 C:x2+y2-2x+2y-14=0 所截得的弦长为 4 ,求直线 l 的方程 .3解 由圆的方程可求得圆心 C 的坐标为(1, -1),半径为 4,因为直线 l 被圆 C
8、所截得的弦长为 4 ,3所以圆心 C 到直线 l 的距离为 2.(1)若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=-1,此时点 C 到 l 的距离为 2,可求得弦长为 4,符合题意 .3(2)若直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y-1=k(x+1),即 kx-y+k+1=0,因为圆心 C 到直线 l 的距离为 2,所以 =2,所以 k2+2k+1=k2+1,|+1+1|2+1所以 k=0,所以直线 l 的方程为 y=1.综上(1)(2)可得:直线 l 的方程为 x=-1 或 y=1. 12某圆拱桥的示意图如图,该圆拱的跨度 AB 是 16 m,拱高 OP 是 4 m
9、,在建造时,每隔 2 m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2P2的长度 .分析： 建立适当的坐标系,以线段 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点 O 为坐标原点建立直角坐标系,设出圆的一般方程,代入点的坐标即可求出 .解 以线段 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点 O 为坐标原点建立直角坐标系,那么点 A,B,P 的坐标分别为( -8,0),(8,0),(0,4),4设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 点 A,B,P 在所求的圆上,则代入坐标得(-8)2-8+=0,82+8+=0,42+4+=0, 解得 =0,=12,=-64. 圆拱所在的圆的方程为 x2+y2+12y-64=0.将点 P2的横坐标 x=2 代入圆的方程,解得 y1=-6-4 (舍)或 y2=-6+4 .6 6答:支柱 A2P2的长为(4 -6) m.6
