1、12.3.1 圆的标准方程1 圆 (x-3)2+(y+2)2=13 的周长是( )A. B.2 C.2 D.2 13 13 3解析： 该圆的半径为 ,故周长为 2 =2 .13 13 13答案： B2 圆 (x-2)2+(y+3) 2=2 上的点与点(0, -5)的最大距离为( )A. B.2 C.4 D.32 2 2 2解析： 圆心为(2, -3),点(0, -5)与圆心的距离为 =2 ,又圆的半径为 ,故(2-0)2+(-3+5)2 2 2所求最大距离为 2 =3 .2+2 2答案： D3 从点 P(3,b)向圆( x+2)2+(y+2)2=1 作切线,则切线长的最小值为( )A.5 B.
2、4 C.5.5 D.2 6解析： 切线长 d= ,故当 b=-2 时, d(3+2)2+(+2)2-1=2+4+28=(+2)2+24取最小值 2 .6答案： D4 三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为 x2+y2=R2(R 为地球半径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为( )A.x2+y2=2R2 B.x2+y2=4R2C.x2+y2=8R2 D.x2+y2=9R2解析： 由题意知卫星距地面高度为 R,则方程为 x2+y2=4R2.故选 B.答案： B5 方程 y=- 表示的曲线是 ( )12-2A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D
3、.半个圆解析： 由方程可得 y2=12-x2,于是 x2+y2=12,但 y0,故该方程表示的曲线是一个半圆,即圆x2+y2=12 位于 x 轴下方的部分 .答案： D6 圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4),B(0,-2),则圆 C 的方程为 .解析： 设圆心 C(a,b),则 2-7=0,2+(+4)2=2+(+2)2.2即 且 |AC|=|BC|=r= .=2,=-3, 5故( x-2)2+(y+3)2=5 为所求 .答案： (x-2)2+(y+3)2=57 圆 (x-3)2+(y+1)2=1 关于直线 x+2y-3=0 对称的圆的方程是 . 解析
4、： 关于直线 x+2y-3=0 对称的两圆半径相等,圆心连线被直线 x+2y-3=0 垂直平分 .设所求圆的方程为( x-a)2+(y-b)2=1.由题意得+1-3( -12)=-1,+32 +2-12 -3=0.解得=195,=35.故所求圆的方程为 =1.(-195)2+(-35)2答案： =1(-195)2+(-35)28 已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(4,0),端点 A 在圆 x2+y2=1 上运动,则线段 AB 的中点的轨迹方程为 . 答案： (x-2)2+y2=9 若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 y= x(x0)相切,试求这个圆的标准方程 .33解 由题意可
5、设圆的圆心为(1, b)(b0).根据该圆与直线 y= x 相切,得 =133| 33-|43b= ,故所求圆的方程为 (x-1)2+(y- )2=1.|33-|=233 3(=- 33舍去 ) 310 已知点 A(0,2)和圆 C:(x-6)2+(y-4)2= ,一条光线从点 A 出发射到 x 轴上后沿圆的切线方向365反射,求这条光线从点 A 到切点所经过的路程 .解 设反射光线与圆相切于点 D,点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为 A1(0,-2),则光线从点 A 到切点所走的路程为 |A1D|.3在 Rt A1CD 中, |A1D|2=|A1C|2-|CD|2=(-6)2+(-2-4)
6、2- .365=3245所以 |A1D|= ,即光线从 A 点到切点所经过的路程是 .1855 185511 已知点 P 是圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 上的任意一点,点 A(-1,0),B(1,0),试求 |PA|2+|PB|2的最大值和最小值 .分析： 利用数形结合,转化为求圆 C 上的点与原点距离的最值 .解 设 P(x,y),则有 |PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2x2+2y2+2=2( )2+2=22+22+2=2|OP|2+2,(-0)2+(-0)2由题意得 |OP|的最大值是 |OC|+r=5+1=6,最小值是 |OC|-r=5-1=4.
7、所以 |PA|2+|PB|2的最大值是 262+2=74,最小值是 242+2=34. 12 有一种大型商品 ,A,B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍,已知 A,B 两地距离 10 千米,顾客选 A 或 B 地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求 A,B 两地售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点 .解 如图,以 A,B 所确定的直线为 x 轴, A,B 中点 O 为坐标原点,建立直角坐标系,则 A(-5,0),B(5,0).设某地 P 的坐标为( x,y),且 P 地居民选择 A 地购买商品便宜并设 A 地的运费为 3a 元 /千米, B地的运费为 a 元 /千米 .价格 +每单位距离运费 到 A 地的距离价格 +每单位距离运费 到 B 地的距离,即 3a a ,(+5)2+2 (-5)2+2a 0, 3 ,(+5)2+2(-5)2+2即 +y2 .(+254)2 (154)2 以点 C 为圆心, 为半径的圆是这两地购货的分界线 .(-254,0) 154圆 C 内的居民从 A 地购货便宜 .圆 C 外的居民从 B 地购货便宜 .圆 C 上的居民从 A,B 两地购货的总费用相等,因此,可随意从 A,B 两地之一购货 .
