1、12.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课时过关能力提升1.已知 a=(2,-3),b=(1,-2),且 ca,bc =1,则 c的坐标为( )A.(3,-2) B.(3,2)C.(-3,-2) D.(-3,2)解析: 设 c=(x,y),则有 2-3=0,-2=1,解得 故 c=(-3,-2).=-3,=-2.答案: C2.已知 m=(a,b),向量 n与 m垂直,且 |m|=|n|,则 n的坐标为( )A.(b,-a) B.(-a,b)C.(-a,b)或( a,-b) D.(b,-a)或( -b,a)答案: D3.已知点 A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),则四边形
2、 ABCD是( )A.梯形 B.矩形C.菱形 D.正方形解析: 由已知得 =(3,-2), =(4,6), =(-3,2), 所以 ,且 =0,=即 ,所以四边形 ABCD 是矩形 .答案: B4.已知向量 a=(cos ,sin ),b=(3,0),则 |2a-b|的最大值为( )A.4 B.2 C.25 D.52 2解析: |2a-b|= ,(2-)2=4-43+9=13-12因此当 cos=-1时, |2a-b|取得最大值 5.答案: D5.在 Rt ABC中, C= ,AC=3,取点 D使 =2 ,则 等于( )2 A.3 B.4 C.5 D.62解析: 以 C为原点,分别以 CA,C
3、B所在直线为 x轴、 y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设 CB=a,C (0,0),A(3,0),B(0,a).设 D点坐标为( m,n), =2 ,即( m,n-a)=2(3-m,-n),得 m=2,n= .3 (3,0)=6,故选 D.=(2,3)答案: D6.已知 O为坐标原点, =(3,1), =(-1,2), ,则满足 的向量 的 , += 坐标为 . 答案: (11,6)7.设 O为原点,已知点 A(a,0),B(0,a)(a0),点 P在线段 AB上,且 =t (0 t1),则 的最 大值为 . 解析: ( )= ( +t )= +t =a2+t(a,0)(-a,a)=a2+
4、t(-a2+0)=+2 =(1-t)a2. 0 t1, 01 -t1, 的最大值为 a2.答案: a28.以原点及点 A(5,2)为顶点作等腰直角三角形 OAB,使 B=90,求点 B和向量 的坐标 .解: 如图,设点 B的坐标为( x,y),则 =(x,y), =(x-5,y-2). 3 ,x (x-5)+y(y-2)=0,即 x2+y2-5x-2y=0.| |=| |,x 2+y2=(x-5)2+(y-2)2,即 10x+4y=29.解方程组 2+2-5-2=0,10+4=29, 得1=72,1=-32或 2=32,2=72. 点 B的坐标为 ;(72,-32)或 (32,72)当点 B的
5、坐标为 时, ;(72,-32) =(-32,-72)当点 B的坐标为 时, .(32,72) =(-72,32)综上,点 B的坐标为 ,(72,-32),=(-32,-72)或点 B的坐标为 .(32,72),=(-72,32)9.已知 a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),且 |ka+b|= |a-kb|(k0).3(1)用 k表示数量积 ab;(2)求 ab的最小值,并求此时 a,b的夹角 .解: (1)由 |ka+b|= |a-kb|,3得( ka+b)2=3(a-kb)2,k 2a2+2kab+b2=3a2-6kab+3k2b2. (k2-3)a2+8kab+(1-
6、3k2)b2=0.| a|=1,|b|=1,k 2-3+8kab+1-3k2=0, ab= .22+28 =2+144(2)由(1),得 ab= ,由函数的单调性的定义 ,易知 f(k)= 在(0,1上2+14 =14(+1) 14(+1)单调递减,在1, + )上单调递增,故当 k=1时,ab 的最小值为 f(1)= (1+1)= .此时 a,b的夹角14 12为 ,则 cos = ,= 60.|=121=1210.如图, =(6,1), =(x,y), =(-2,- 3), . (1)求 x与 y的关系式;(2)若 ,求 x,y的值及四边形 ABCD的面积 .解: (1) =(6,1)+(
7、x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),=+ =- =(-x-4,2-y). =(x,y),x (2-y)-(-x-4)y=0,x 与 y的关系式为 x+2y=0.(2)因为 =(6,1) +(x,y)=(x+6,y+1), =(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3).=+ =+ , =0,即( x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.又由(1)的结论 x+2y=0,得(6 -2y)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.化简,得 y2-2y-3=0.y= 3或 y=-1. 当 y=3时, x=-6,于是 =(-6,3), =(0,4), =(-8,0). | |=4,| |=8. 5S 四边形 ABCD= | |=16.12| 当 y=-1时, x=2,于是有 =(2,-1), =(8,0), =(0,-4), | |=8,| |=4. S 四边形 ABCD= | |=16.12|综上, 四边形 ABCD的面积为 16.=-6,=3或 =2,=-1,
