1、11.1.7 柱、锥、台和球的体积1 若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )A.1 3 4 B.1 3 2C.1 2 4 D.1 4 2解析： 设球的半径为 R,则 V 圆锥 = R2(2R)= R3,V 圆柱 = R22R=2 R3,V 球 = R3.所以 V 锥 V 柱 V 球 = 2 =1 3 2.23 43答案： B2 正方体的内切球的体积为 36,则此正方体的表面积是 ( )A.216 B.72 C.108 D.648解析： 设内切球半径为 R,则 R3=36,解得 R=3.于是正方体棱长为 6,表面积为 662=216.答案： A3
2、在三棱台 ABC-A1B1C1中, ABA 1B1=1 2,则三棱锥 A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为( )A.1 1 1 B.1 1 2C.1 2 4 D.1 4 4解析： 由棱锥的体积公式即可推知选项 C 正确 .答案： C4 一空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )A.2 +2 B.4 +2 C.2 + D.4 +3 3233 233解析： 该空间几何体为正四棱锥和圆柱的组合体 .如图 .由题意知,圆柱的底面半径为 1,高为 2.2正四棱锥的底面边长为 ,侧棱长为 2,高为 .2 22-12=3所以 V= 122+ ( )2 =2 + .13 2 3
3、233答案： C5 如图 ,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6 B.9 C.12 D.18解析： 由三视图可推知,几何体的直观图如图,可知 AB=6,CD=3,PC=3,CD 垂直平分 AB,且 PC平面ACB,故所求几何体的体积为 3=9.13(1263)答案： B6 如图 ,在三棱锥 A-BCD 中, VA-BPQ=2,VC-APQ=6,VC-DPQ=12,则 VA-BCD等于( )A.20 B.24 C.28 D.56解析： 由 ,-=-=26=13所以 .-=133所以 VB-PDQ= VC-PDQ=4,13因而 VA-BCD=2
4、+6+12+4=24.答案： B 7 已知某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 ( )A. B.3 C. D.683 103解析： 将三视图还原为实物图求体积 .由三视图可知,此几何体(如图)是底面半径为 1,高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的,14所以 V= 124=3 .34答案： B8 如图 ,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位:cm),则该三棱锥的外接球的体积等于 .解析： 该三棱锥可以看作是一个长、宽、高分别等于 1 cm,2 cm,3 cm 的长方体的一部分,其外接球就是长方体的外接球 .4长方体的体对角线长为 (cm),此即为外接球的直径 2R,于是外接球体积
5、12+22+32=14V= (cm3).43(142)3=7143答案： cm371439 某圆台的体积为 52,上、下底面面积之比为 1 9,则截得该圆台的圆锥的体积为 . 解析： 设圆台的上、下底面半径分别为 r,R,则 rR= 1 3.设圆锥的高为 h,圆台的高为 h,则 ,- =13所以 h= h.而 V 台 = h(r2+Rr+R2)=52,23 13所以 h =52.3 (192+132+2)所以 h R2=52.323 139所以 R2h= =162.528126所以 V 锥 = R2h= 162=54.13 13答案： 5410 圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水,若放入三
6、个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是 . 解析： 设球的半径为 r cm,则由 3V 球 +V 水 =V 柱 ,得6r r2=8 r2+3 r3,解得 r=4.43答案： 4 cm 11 正方形 ABCD 的边长为 1,分别取边 BC,CD 的中点 E,F,连接 AE,EF,AF,以 AE,EF,FA 为折痕,折叠这个正方形,使 B,C,D 重合于一点 P,得到一个三棱锥如图,求此三棱锥的体积 .5解 因为 D= C= B=90,所以翻折后 APE= EPF= APF=90.所以 Rt PEF 可以看作是三棱锥的底面,而 AP 可以看作是三棱锥的高 .比较发现: AP=1,PE PF,PE=PF= ,12故 VA-PEF= S PEFAP= 1= .13 13121212 124 12 直角梯形的一个内角为 45,下底长为上底长的,此梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的旋转体的表面积为(5 + ),求此旋转体的体积 .2解 画出旋转体的轴截面如图,设 BC=a,则 DC= a,2AE=a,ED=2a,AC=3a.S 表 = a2+2 a2a+ a a=(5+ ),2 2得 a=1,故 V= a22a+ a a2= a3= .13 73 73
