1、11.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1若圆锥的底面直径为 6,高是 4,则它的侧面积为( )A.12 B.24 C.15 D.30解析： 由已知得圆锥的母线长 l= =5,42+32于是它的侧面积 S 侧 =35 =15 .答案： C2已知圆台的上、下底面半径和高的比为 1 4 4,母线长为 10,则该圆台的侧面积为( )A.672 B.224 C.100 D. 5443解析： 圆台的轴截面如图,设上底半径为 r,则下底半径为 4r,高为 4r.因为母线长为 10,所以在轴截面等腰梯形中,10 2=(4r)2+(4r-r)2,解得 r=2,所以 S 圆台侧=( r+4r)10=100 .
2、答案： C3若正三棱锥的斜高是高的 倍,则该棱锥的侧面积是底面积的( )233A. B.2倍 C.倍 D.3倍解析： 设该正三棱锥的底面边长为 a,高为 h,斜高为 h,则 h= h.233因为 h2+ =(h)2,(36)2所以 h2+ ,(36)2=(233)2所以 h2= a2,即 h= a.14 12又 S 侧 = 3ah= 3a h= a2,S 底 = a2,所以 S 侧 =2S 底 .12 12 233 32 34答案： B4已知长方体的一个顶点上三条棱的长分别是 3,4,5,且它的 8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )A.25 B.50 C.125 D.都不对2解析：
3、 因为长方体的体对角线的长是球的直径,所以可求得这个球的直径是 ,然后代入球的表面50积公式 S=4 R2即可 .答案： B5若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )A. B. C. D.1+22 1+44 1+2 1+42解析： 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则由题设知 h=2 r,所以 S 全 =2 r2+(2 r)2=2 r2(1+2), S 侧 =h2=(2 r)2=4 2r2.所以 .全侧 =1+22答案： A6已知某三棱锥的三视图如图,则该三棱锥的表面积是 ( )A.28+6 B.30+65 5C.56+12 D.60+125 5解析： 根据三
4、棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为此几何体是底面为直角三角形,高为 4的三棱锥,因此表面积为 S=(2+3)4+ 45+4(2+3)+2 =30+6 .12 541-5 5答案： B7已知正四棱台两底面边长分别为 4 cm,8 cm,侧棱长为 8 cm,则它的侧面积为 . 解析： 作出正四棱台的一个侧面如图,设 E,F分别为 AD,BC的中点,过 D作 DG BC于点 G.3由题知 AD=4 cm,BC=8 cm,CD=8 cm,得 DE=2 cm,FC=4 cm,则 GC=2 cm,在 Rt DGC中, DG= =2 (cm),82-22 15即斜高为 2 cm,所以所求侧面积为 (16+
5、32)2 =48 (cm2).1512 15 15答案： 48 cm2158正方体的表面积与其内切球表面积的比为 . 解析： 设正方体的棱长为 a,则其表面积 S1=6a2,而其内切球的半径为 ,2故内切球表面积 S2=4 = a2,(2)2从而 S1S 2=6 .答案： 6 9如图 ,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,将该正方体沿对角面 BB1D1D切成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,则所得四棱柱的表面积为 . 解析： 由题意可知,组成的棱柱是直四棱柱,且满足条件的直四棱柱只有一种,即组成新的四棱柱的表面积是由原来的正方体中的四个相同的正方形的面积和两个对角面的面
6、积组成 .四棱柱的全面积等于侧面积与两个底面面积之和,则所得的四棱柱的全面积为 4a2+ aa2=(4+2 )a2.2 2答案： (4+2 )a2210一个几何体的三视图如图,若图中圆的半径为 1,等腰三角形的腰长为 3,则该几何体的表面积为 . 4解析： 该几何体是一个圆锥和半个球的组合体,圆锥的侧面积是 S1= 13=3,球的表面积是4 12=4,所以几何体表面积 S=3 +4 =5 .答案： 511设计一个正四棱锥形冷水塔,高是 0.85 m,底面边长是 1.5 m,求制造这种水塔需要多少铁板 .解 如图, S表示塔的顶点, O表示底面的中心,则 SO是高,设 SE是斜高 .在 Rt S
7、OE中,根据勾股定理,得SE= 1 .13(m).(1.52)2+0.852故 S 正棱锥侧 = ch12= (1.54)1.133 .4(m2).12答:制造这种水塔需要铁板约 3.4 m2. 12 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 5,圆心角为 216的扇形,在这个圆锥中有一个高为 x的内接圆柱 .如图所示 .则当 x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出这个最大值 .解 画出组合体的轴截面并给相关点标上字母,如图,由于圆锥的侧面展开图是一个半径为 5,圆心角为 216的扇形,设 OC=R,5则 2 R=2 5 ,解得 R=3.216360所以 AO= =4.52-32再设 OF=r,又因为 OO=x,则由相似比得 ,223=4-4即 r=3- x,34所以 S 圆柱侧 =2 x=- ( x-2)2+6,(3-34) 32因为 0x4,所以当 x=2时,( S 圆柱侧 )最大 =6 .因此当 x=2时,圆柱的侧面积最大,最大值为 6 .
