1、1第一章 导数及其应用章末复习学习目标 1.理解导数的几何意义，并能解决有关切线的问题.2.能熟练应用求导公式及运算法则.3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题.4.了解定积分的概念及其简单的应用1导数的概念(1)定义：函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率 ，称为函数lim x 0 fx0 x fx0 xy f(x)在 x x0处的导数(2)几何意义：函数 y f(x)在 x x0处的导数是函数图象在点( x0， f(x0)处的切线的斜率，表示为 f( x0)，其切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0)2基本初等函数的导数公式(1)c0.(
2、2)(x ) x 1 .(3)(ax) axln a(a0)(4)(ex)e x.(5)(logax) (a0，且 a1)(ln xln a) 1xln a(6)(ln x) .1x(7)(sin x)cos x.(8)(cos x)sin x.3导数的运算法则(1)f(x)g(x) f( x)g( x)(2)f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x)(3) (g(x)0)fxgx f xgx fxg xgx24复合函数的求导法则(1)复合函数记法： y f(g(x)2(2)中间变量代换： y f(u)， u g(x)(3)逐层求导法则： yx yu ux.35函数的单调性、极值
3、与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间( a， b)内，如果 f( x)0，那么函数 y f(x)在这个区间内单调递增；如果f( x)0，当 xa 时， f( x)a 时， f( x)0，则点 a 叫做函数的极小值点， f(a)叫做函数的极小值(3)求函数 f(x)在闭区间 a， b上的最值的步骤求函数 y f(x)在( a， b)内的极值；将函数 y f(x)的极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值6微积分基本定理如果 f(x)是区间 a， b上的连续函数，并且 F( x) f(x)，那么 f(x)dx F(b) F(a)ba7定积分
4、的性质(1) kf(x)dx k f(x)dx(k 为常数)ba ba(2) f1(x)f2(x)dx f1(x)dx f2(x)dx.ba ba ba(3) f(x)dx f(x)dx f(x)dx(其中 a0.( )ba类型一 导数几何意义的应用例 1 设函数 f(x) x3 ax29 x1( a0)，直线 l 是曲线 y f(x)的一条切线，当 l 的斜13率最小时，直线 l 与直线 10x y6 平行(1)求 a 的值；(2)求 f(x)在 x3 处的切线方程4考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程解 (1) f( x) x22 ax9( x a)2 a29，f( x)m
5、in a29，由题意知 a2910， a1 或1(舍去)故 a1.(2)由(1)得 a1， f( x) x22 x9，则 k f(3)6， f(3)10. f(x)在 x3 处的切线方程为 y106( x3)，即 6x y280.反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程” ，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程” ，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1， y1)，由 f( x1)和 y1 f(x1)，求出 x1， y1的值，转化为第一种类型y0 y1x0 x1跟踪训练 1
6、 直线 y kx b 与曲线 y x3 ax1 相切于点(2,3)，则 b .考点 求曲线在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程的应用答案 15解析 由题意知 f(2)3，则 a3.f(x) x33 x1， f( x)3 x23， f(2)32 239 k，又点(2,3)在直线 y9 x b 上， b39215.类型二 函数的单调性、极值、最值问题例 2 设 a 为实数，函数 f(x)e x2 x2 a， xR.(1)求 f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当 aln 21 且 x0 时，e xx22 ax1.考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式(1)解 由 f(x)e x
7、2 x2 a， xR，知 f( x)e x2， xR.令 f( x)0，得 xln 2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：5x (，ln 2) ln 2 (ln 2，)f( x) 0 f(x) 极小值 故 f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)， f(x)在 xln 2处取得极小值，极小值为 f(ln 2)e ln 22ln 22 a2(1ln 2 a)(2)证明 设 g(x)e x x22 ax1， xR，于是 g( x)e x2 x2 a， xR.由(1)知当 aln 21 时， g( x)取最小值为 g(ln 2)2(1ln 2 a)
8、0.于是对任意 xR，都有 g( x)0，所以 g(x)在 R 内单调递增于是当 aln 21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，)，都有 g(x)0，即 ex x22 ax10，故 exx22 ax1.反思与感悟 本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力跟踪训练 2 已知函数 f(x) xln x.(1)求 f(x)的最小值；(2)若对所有 x1 都有 f(x) ax1，求实数 a 的取值范围；(3)若关于 x 的方程 f(x) b 恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取
9、值范围考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根解 (1) f(x)的定义域是(0，)， f( x)1ln x，令 f( x)0，解得 x ，令 f( x)0 时， x4 或 x 时， y0，94 94 98即单调递增区间为 ，故选 D.98， )4体积为 16 的圆柱，当它的半径为 时，圆柱的表面积最小考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求面积的最值问题答案 2解析 设圆柱底面半径为 r，母线长为 l.16 r2l，即 l .16r2则 S 表面积 2 r22 rl2 r22 r 2 r2 ，16r2 32r由 S4 r 0，得 r2.32r2当 r2 时，圆柱的表面积最小
10、5已知函数 f(x) 过点(1，e)ex bx(1)求 y f(x)的单调区间；(2)当 x0 时，求 的最小值；fxx(3)试判断方程 f(x) mx0( mR 且 m 为常数)的根的个数考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根解 (1)由函数 f(x) 过点(1，e)，得 e1 be，即 b0，ex bx f(x) (x0)， f( x) ，exx exx 1x2令 f( x)0，得 x1，令 f( x)0，fxx exx2g( x) ，exx2 2xx4令 g( x)0，解得 x2 或 x0(舍去)，当 x(0,2)时， g( x)0， g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)
11、上单调递增， 的最小值为 g(2) .fxx e24(3)方程 f(x) mx0( mR 且 m 为常数)等价于 m g(x)，fxxg( x) ，易知当 x0.exx2 2xx4结合(2)可得函数 g(x)在区间(0,2)上单调递减，在(，0)，(2，)上单调递增原问题转化为 y m 与 y g(x)的交点个数，其图象如图，当 m0 时，方程 f(x) mx0( mR 且 m 为常数)的根的个数为 0；当 0 时，方程 f(x) mx0( mR 且 m 为常数)的根的个数为 3.e241利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程 y y0 f( x0)(x x0)明确“过点 P(x
12、0， y0)的曲线 y f(x)的切线方程”与“在点 P(x0， y0)处的曲线 y f(x)的切线方程”的异同点2借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体3利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题124不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.一、选择题1已知函数 f(x) sin x，且 2，则 a 的值为( )a lim h 0f1 h f1hA2 B2C2 D2考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用答案 A解析 2，limh 0f1 h
13、 f1h f(1)2， f(x) sin x，af( x) acos x， acos 2， a2，故选 A.2设曲线 y f(x)在某点处的导数值为 0，则过曲线上该点的切线( )A垂直于 x 轴B垂直于 y 轴C既不垂直于 x 轴也不垂直于 y 轴D方向不能确定考点 导数的几何意义的应用题点 导数的几何意义答案 B解析 曲线 y f(x)在某点处的导数值为 0，切线的斜率为 0，故选 B.3若函数 f(x)的导数是 f( x) x(ax1)( a0，当22 时， f( x)0，故函数 f(x)有极小值 f(2)，故选 D.6已知 a ln x 对任意 x 恒成立，则 a 的最大值为( )1
14、xx 12， 2A0 B1C2 D3考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 A解析 令 f(x) ln x，1 xx f( x) ，1x(1 1x)当 x 时， f( x)0， f(x)单调递增， f(x) f(1)0，则 a0，即 a 的最大值为 0.7若函数 f(x) x3 x22 bx 在区间3,5上不是单调函数，则函数 f(x)在 R 上的13 (1 b2)极大值为( )A. b2 b3 B. b23 16 32 23C2 b D043考点 函数在某点处取得极值的条件题点 含参数求极值问题答案 C解析 f( x) x2(2 b)x2 b( x
15、 b)(x2)，函数 f(x)在区间3,5上不是单调函数，30，得 xb，由 f( x)0)在1，)上的最大值为 ，则实数 a 的值为 xx2 a 33考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 13解析 f( x) ，令 f( x)0，得 x ，a x2x2 a2 a当 x 时， f( x)0， f(x)单调递增a a16若 1，即 a1，a则当 x1，)时， f(x)max f( ) ，aa2a 33解得 0，则 f( x)在 上小于 0，在 上大于 0，若 k0，则1e (k， 1e) (1e， )f( x)在 上小于 0，在 上大于 0，(0，1e) (1e， )因此 x 是
16、极小值点， f 0，1e (1e) ke 14e2解得 k ， 时， f( x)在 上小于 0，在( k，)上大于 0，1e (1e， k)因此 x k 是极小值点， f(k) (12ln k)0，k24解得 ka0， a0， 0)恒成立，(x12) 14得 m ，14所以实数 m 的取值范围是 .14， )15已知函数 f(x)ln x a(x1)， aR.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 x1 时， f(x) 恒成立，求实数 a 的取值范围ln xx 1考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 (1) f(x)的定义域为(0，)， f( x
17、) ，1 axx若 a0，则 f( x)0， f(x)在(0，)上单调递增，若 a0，则由 f( x)0，得 x ，1a当 x 时， f( x)0，(0，1a)当 x 时， f( x)0 时， f(x)在 上单调递增，在 上单调递减(0，1a) (1a， )(2)f(x) ，ln xx 1 xln x ax2 1x 1令 g(x) xln x a(x21)， x1，g( x)ln x12 ax，19令 F(x) g( x)ln x12 ax， F( x) ，1 2axx若 a0， F( x)0， g( x)在1，)上单调递增，g( x) g(1)12 a0， g(x)在1，)上单调递增， g(x) g(1)0，从而 f(x) 0，不符合题意ln xx 1若 00，12 (1， 12a) g( x)在 上单调递增，(1，12a)从而 g( x)g(1)12 a0， g(x)在 上单调递增， g(x) g(1)0，1，12a)从而 f(x) 0，不符合题意ln xx 1若 a ， F( x)0 在1，)上恒成立，12 g( x)在1，)上单调递减， g( x) g(1)12 a0，从而 g(x)在1，)上单调递减， g(x) g(1)0， f(x) 0，ln xx 1综上所述，实数 a 的取值范围是 .12， )
