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    )学案新人教A版选修2_2.doc

    • 资源ID:1192342       资源大小:239.50KB        全文页数:14页
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    )学案新人教A版选修2_2.doc

    1、11.3.1 函数的单调性与导数(二)学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间( a, b)内的函数 y f(x):f( x)的正负 f(x)的单调性f( x)0 单调递增f( x)0,则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似) f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x( a, b)都有 f( x)0 且在( a, b)内的任一非空子区间上 f( x)不恒为 0.2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地,设函数 y f(x),在区间( a, b)上导数的绝对值 函数值变化 函数的图象越大 快

    2、 比较“陡峭”(向上或向下)越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题2(1)定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间(2)注意“临界点”和“间断点”:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点(3)如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开1如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f( x)0,则 f(x)在此区间内没有单调性( )2函数在某区间上变化越快,函数在这个区间上的导数的绝对值越大( )类型一 利用导数求参数的取值

    3、范围例 1 若函数 f(x) kxln x 在区间(1,)上单调递增,则 k 的取值范围是_考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 1,)解析 由于 f( x) k , f(x) kxln x 在区间(1,)上单调递增,等价于 f( x)1x k 0 在(1,)上恒成立1x由于 k ,而 00 时,令 f( x)0,得 x ,1k只需 (1,),即 1,则 00(或 f( x)1,即 a2 时,函数 f(x)在(,1)和( a1,)上单调递增,在(1, a1)上单调递减,由题意知(1,4)(1, a1)且(6,) (a1,),所以 4 a16,即 5 a7.

    4、故实数 a 的取值范围为5,7方法二 (数形结合法)如图所示,4f( x)( x1) x( a1)因为在(1,4)内, f( x)0,在(6,)内 f( x)0,且 f( x)0 有一根为 1,所以另一根在4,6上所以Error! 即Error!所以 5 a7.故实数 a 的取值范围为5,75方法三 (转化为不等式的恒成立问题)f( x) x2 ax a1.因为 f(x)在(1,4)上单调递减,所以 f( x)0 在(1,4)上恒成立即 a(x1) x21 在(1,4)上恒成立,所以 a x1,因为 27,所以当 a7 时, f( x)0 在(6,)上恒成立综上知 5 a7.故实数 a 的取值

    5、范围为5,7类型二 证明不等式例 2 证明 ex x1sin x1( x0)考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式证明 令 f(x)e x x1( x0),则 f( x)e x10, f(x)在0,)上单调递增,对任意 x0,),有 f(x) f(0),而 f(0)0, f(x)0,即 ex x1,令 g(x) xsin x(x0), g( x)1cos x0, g(x) g(0),即 xsin x0, x1sin x1( x0),综上,e x x1sin x1.反思与感悟 用导数证明不等式 f(x)g(x)的一般步骤(1)构造函数 F(x) f(x) g(x), x a, b

    6、(2)证明 F( x) f( x) g( x)0,且 F(a)0.(3)依(2)知函数 F(x) f(x) g(x)在 a, b上是单调递增函数,故 f(x) g(x)0,即 f(x)g(x)这是因为 F(x)为单调递增函数,所以 F(x) F(a)0,即 f(x) g(x) f(a) g(a)0.6跟踪训练 2 已知 x0,证明不等式 ln(1 x)x x2成立12考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式证明 设 f(x)ln(1 x) x x2,12则 f( x) 1 x .11 x x21 x当 x1 时, f( x)0,则 f(x)在(1,)内是增函数当 x0 时, f(

    7、x)f(0)0.当 x0 时,不等式 ln(1 x)x x2成立.121已知命题 p:对任意 x( a, b),有 f( x)0, q: f(x)在( a, b)内是单调递增的,则 p是 q 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 A2已知对任意实数 x,都有 f( x) f(x), g( x) g(x),且当 x0 时, f( x)0, g( x)0,则当 x0, g( x)0 B f( x)0, g( x)0 D f( x)0 时, f(x), g(x)都单调递增,则当 x0, g(

    8、 x)0,12所以 f(x)在(,)上为单调递增函数,其图象若穿越 x 轴,则只有一次穿越的机会,显然 x0 时, f(x)0.所以方程 x sin x0 有唯一的实根 x0.128利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即 f( x)0(或 f( x)0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“”时是否满足题意;(2)先令 f( x)0(或 f( x)f(b) B f(a) f(b)C f(a)1考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 A解析 由 f( x) e,1 ln xx2 f(x)在(e,)上为减函

    9、数,ef(b)3若函数 f(x)2 x2ln x 在定义域内的一个子区间( k1, k1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是( )A. B. C(1,2 D1,2)1,32) (1, 329考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 A解析 显然函数 f(x)的定义域为(0,), f( x)4 x .由 f( x)0,得函1x 4x2 1x数 f(x)的单调递增区间为 ;由 f( x)0,得函数 f(x)单调递减区间为 .因(12, ) (0, 12)为函数在区间( k1, k1)上不是单调函数,所以 k1 k1,解得 k ,又因12 12 32为( k1

    10、, k1)为定义域内的一个子区间,所以 k10,即 k1.综上可知,1 k .324若 a0,且 f(x) x3 ax 在1,)上是增函数,则 a 的取值范围是( )A(0,3) B(0,3C(3,) D3,)考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 B解析 由题意得, f( x)3 x2 a0 在 x1,)上恒成立,即 a(3 x2)min3,又 a0,00.6设 f(x), g(x)在 a, b上可导,且 f( x)g( x),则当 ag(x)10B f(x)g(x) f(a)D f(x) g(b)g(x) f(b)考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造

    11、法的应用答案 C解析 设 h(x) f(x) g(x), f( x) g( x)0, h( x)0, h(x)在 a, b上是增函数,当 ah(a), f(x) g(x)f(a) g(a),即 f(x) g(a)g(x) f(a)二、填空题7若 ysin x ax 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围是_考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 1,)解析 因为 ycos x a0,所以 acos x 对 xR 恒成立所以 a1.8若函数 y ax3 ax22 ax(a0)在1,2上为增函数,则 a 的取值范围是_13 12考点 利用导数求函数的单调区间题点

    12、 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 (,0)解析 y ax2 ax2 a a(x1)( x2)0,当 x(1,2)时,( x1)( x2)0, a0.1110若函数 f(x) x2 bln(x2)在(1,)上是减函数,则 b 的取值范围是12_考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 (,1解析 f( x) x ,bx 2由题意知 f( x) x 0 在(1,)上恒成立,bx 2即 x 在(1,)上恒成立,bx 2 x1, x210, b x(x2),设 y x(x2),则 y x22 x( x1) 21, x1, y1,要使 b x(x2)成立,则有

    13、b1.11若 f(x) (xR)在区间1,1上是增函数,则 a 的取值范围是_2x ax2 2考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 1,1解析 f( x)2 , x2 ax 2x2 22 f(x)在1,1上是增函数, f( x)2 0. x2 ax 2x2 22( x22) 20, x2 ax20 对 x1,1恒成立令 g(x) x2 ax2,则Error! 即Error!1 a1.即 a 的取值范围是1,1三、解答题12已知函数 f(x) ax2ln( x1)12(1)当 a 时,求函数 f(x)的单调区间;14(2)若函数 f(x)在区间1,)上为减函

    14、数,求实数 a 的取值范围考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)当 a 时,14f(x) x2ln( x1)( x1),14f( x) x (x1)12 1x 1 x 2x 12x 1当 f( x)0 时,解得11.故函数 f(x)的单调递增区间是(1,1),单调递减区间是(1,)(2)因为函数 f(x)在区间1,)上为减函数,所以 f( x)2 ax 0 对任意 x1,)恒成立,1x 1即 a 对任意 x1,)恒成立12xx 1令 g(x) ,12xx 1易求得在区间1,)上 g( x)0,故 g(x)在区间1,)上单调递增,故 min g(1) ,

    15、 12xx 1 14故 a .14即实数 a 的取值范围为 .( , 1413已知函数 f(x)ln x .x 122(1)求函数 f(x)的单调递增区间;(2)证明:当 x1 时, f(x)0,得Error!解得 01 时, F(x)1 时, f(x)0 时, xf( x) f(x)0 成立的 x 的取值范围是_考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 (,1)(0,1)解析 因为 f(x)(xR)为奇函数, f(1)0,所以 f(1) f(1)0.当 x0 时,令g(x) ,则 g(x)为偶函数,且 g(1) g(1)0.则当 x0 时, g( x) fxx (fxx)g(1)

    16、0 0f(x)0;在(,0)上,当 x0.fxx综上,使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是(,1)(0,1)15设函数 f(x) xekx(k0)(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)若函数 f(x)在区间(1,1)上单调递增,求 k 的取值范围考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)由 f( x)(1 kx)ekx0,得 x (k0)1k14若 k0,则当 x 时, f( x)0,函数 f(x)单调递增(1k, )若 k0,函数 f(x)单调递增;( , 1k)当 x 时, f( x)0 时, f(x)的增区间为 ,减区间为 ,(1k, ) ( , 1k)k0,则当且仅当 1,1k即 0k1 时,函数 f(x)在(1,1)上单调递增;若 k0,则当且仅当 1,即1 k0 时,函数 f(x)在(1,1)上单调递增1k综上可知,函数 f(x)在区间(1,1)上单调递增时, k 的取值范围是1,0)(0,1


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