1、- 1 -哈尔滨市第六中学 2018 届高考冲刺押题卷(二)理科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别根据完全平方式和绝对值为非负数，求出 及 两函数的值域，确定出两集合，找出两集合的公共部分即可得到两集合的交集.【详解】由集合 中的函数 ，集合 ；由集合 中的函数 中 ，得到 ，集合 ，则 ，故选 C.【点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么集合的交、
2、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或 图进行处理2. 设 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数 的点为 在第二象限故选 B考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.- 2 -视频3. 设 是半径为 1 的圆 上的三点，且 ，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】以 OA,OB 所在直线分别为 轴， 轴，则 ,设 ，且 ，所以，由于 ，所以，当 时， 有最大值 ，选 A.4. 若 ，则下列不等式： ； ； ； 中正
3、确的不等式有（ ）个.A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】C【解析】故错；故对；， ，当且仅当 时等号成立，而 ，故，故对；，故对；综上，正确的不等式有 3 个.本题选择 C 选项.5. 若 满足条件函数 ,则 的最大值是( )A. B. C. D. 【答案】A- 3 -【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由题知可行域如图所示，联立 ，解得 化目标函数 为 ，由图可知，当直线 过 时，直线在 轴上的截距最小， 有最大值为 故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中
4、档题6. 九章算术中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里 ” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图. 若输出的 的值为 350，则判断框中可填（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得；执行循环体， ； 不满足判断框内的条件，执行循环体， ；不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内
5、的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 350可得判断框中的条件为 故选：B【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. - 5 -【答案】D【解析】【分析】根据三视图知该几何体是左边为圆柱体的一部分，右边是圆柱挖去一个半球体，结合图中数据求出它的表面积【详解】根据三视图知，该几何体是左边为圆柱的一部分，右边
6、是圆柱挖去一个半球体，结合图中数据，计算该几何体的表面积为：故选：D【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的表面积应用问题，是基础题8. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了 3 局的概率，即可得出结论【详解】由题意，甲获得冠军的概率为 ，其中比赛进行了 3 局的概率为 ，所求概率为 ，故选：B【点睛】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题.9. 设 ，若 ，则 （ ）A.
7、 256 B. -128 C. 64 D. -32- 6 -【答案】D【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得 n 的值，从而求得 的值【详解】 ，则 故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题10. 以椭圆 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 ，其左右焦点分别是 ，已知点 的坐标为 ，双曲线 上的点 满足 ，则（ ）A. 2 B. 4 C. 1 D. -1【答案】A【解析】【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点 是 的内切圆的圆心，利用三角形面积计算公式计算即可- 7 -【详解】 椭圆 ，其顶点坐标
8、为 焦点坐标为（ ，双曲线方程为 由 ，可得 在 与 方向上的投影相等，直线 PF1的方程为 即： ，把它与双曲线联立可得 ， 轴，又 ，所以 ，即 是 的内切圆的圆心，故选：A【点睛】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题11. 已知函数 ，若关于 的不等式 只有两个整数解，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】- 8 -【分析】判断 的单调性，作出 的图象，利用函数图象得出 的范围【详解】 ，令 得当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，由当 时， ，当 时， 作出 的大致函数图象如图所示： （1）若 ，即 ，显然不等
9、式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若 ，则 或 ，由图象可知 有无穷多整数解，不符合题意；（3）若 ，则 或 ，由图象可知 无整数解，故 有两个整数解， 且 在上单调递减， 的两个整数解必为 ，又 ，解得 故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性判断，不等式的解与函数图象的关系，属于中档题12. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，椭圆 的离心率为 ，直线 过点 与双曲线交于 两点，若 ，且 ，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】- 9 -【分析】用 表示出 ，利用余弦定理计算 和 ，由计算出离心率 ，得出 和 的关系即可得出答案【详解】 由题 ，由双
10、曲线的定义可得| ，椭圆 的离心率为： ， 在 2中，由余弦定理的 在NF 1F2中，由余弦定理可得 ，即 整理得 ，设双曲线的离心率为 ， ，解得 或 （舍） ，即 双曲线的渐近线方程为 渐近线的倾斜角为 - 10 -故选：C【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查余弦定理的运用，化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案写在答题卡上相应的位置13. 已知函数 在 上可导，且 ，则 与 的大小关系为_【答案】【解析】【分析】先利用牛顿莱布尼兹公式计算 ） ，列方程解出 ，并计算出 ，然后可比较 和
11、）的大小【详解】 ，所以， ，同理可得故答案为： 【点睛】本题考察定积分的计算，主要是找到原函数，属于中等题14. 为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一个问题是：写出对数的换底公式，并加以证明甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案公布他们的答案后，三考生之间有如下对话，甲说：“我答错了” ；乙说：“我答对了” ；丙说：“乙答错了” 评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了根据以上信息，面试问题答案正确的考生为_【答案】丙【解析】分析：利用反证法对每个人的说法进行分析、排除可得结论详解：当
12、甲的答案正确时，则甲的说法错误，乙、丙的说法有一个正确，符合题意故甲的答案正确当乙的答案正确时，则乙的说法正确，甲、丙的说法不正确，与符合题意矛盾故乙的答案不正确- 11 -当丙的答案正确时，则丙的说法正确，甲、乙的说法不正确，与符合题意矛盾故丙的答案不正确综上可得甲的答案正确点睛：本题考查演绎推理的应用，解答类似问题的常用方法是反证法，即假设每个说法都正确，通过推理看是否能得到矛盾，经过逐步排除可得结果15. 已知数列 满足 , 是其前 项和，若 ，（其中 ） ，则 的最小值是_.【答案】【解析】【分析】由已知递推式得到： ，累加可求 ，结合，求得 ，将其代入 中，由基本不等式的性质分析可得
13、答案【详解】根据题意，由已知得： ，把以上各式相加得： ，即： ， ，则即 的最小值是 ，故答案为： 【点睛】本题考查了数列递推式和累加法求数列的和，涉及基本不等式的性质以及应用，属于综合题16. 在 中， 分别为 三边中点，将 分别沿 向上折起，使 重合，记为 ，则三棱锥 的外接球面积的最小值为_.【答案】9【解析】- 12 -【分析】将三棱锥 补充成长方体，则对角线长分别为 ，设长方体的长宽高分别为，推导出 ，从而 ，由此能求出三棱锥 的外接球面积的最小值【详解】由题意得三棱锥 的对棱分别相等，将三棱锥 补充成长方体，则对角线长分别为 ，设长方体的长宽高分别为 ，则 ， ， ， ，三棱锥
14、的外接球面积的最小值为： 故选：D【点睛】本题考查三棱锥外接球的面积的最小值的求法，考查球、圆锥等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 设 三个内角 所对的变分别为 已知(1)求角 的大小；(2)如图，在 的一个外角 内去一点 ，使得 ，过点 分别作直线 的垂线 ，垂足分别为 .设 ,求 的最大值及此时 的取值.- 13 -【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由 ，利用余弦定理可得： 化为： 可得 ，进而得出 （2）在 中， 同理可得，化简整
15、理利用三角函数的单调性即可得出【详解】(1) 又 ，得(2)当 时，最大值为【点睛】本题考查了解三角形、余弦定理、勾股定理的逆定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18. 据某市地产数据研究院的数据显示，2016 年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从 8 月份采取宏观调控措施，10 月份开始房价得到很好的抑制- 14 -参考数据： ， （说明：以上数据 为 3 月至 7 月的数据）回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， （1）地产数据研究院研究发现，3 月至 7 月的各月均价 （万元/平方米）与月份 之间具有较强的线性相关
16、关系，试建立 关于 的回归方程（系数精确到 0.01） ，政府若不调控，依次相关关系预测第 12 月份该市新建住宅销售均价； （2）地产数据研究院在 2016 年的 12 个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望【答案】 （1） 预测 12 月份该市新建住宅销售均价约为 1.47 万元/平方米（2）见解析【解析】【分析】（1）月份 x 3 4 5 6 7均价 y 0.95 0.98 1.11 1.12 1.20计算可得： - 15 -可得 ，即可得出回归方程（2）根据题意， 的可能取值为 1，2，3利用概率计算
17、公式、互相对立事件的概率计算公式即可得出【详解】 （1）解：1）月份 x 3 4 5 6 7均价 y 0.95 0.98 1.11 1.12 1.20计算可得： 可得 ，所以从 3 月份至 6 月份 关于 的回归方程为 .将 2016 年的 12 月份 代入回归方程得： ，所以预测 12 月份该市新建住宅销售均价约为 1.47 万元/平方米（2）解：根据题意， 的可能取值为 1,2,3，所以 的分布列为因此， 的数学期望 【点睛】本题考查了回归直线方程、随机变量的分布列计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19. 如图，在等腰梯形 中， ， ， ，四边形- 16 -为矩形，
18、平面 平面 ， .(1)求证： 平面 ；(2)点 在线段 上运动，设平面 与平面 二面角的平面角为 ，试求 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】试题分析：(1)证明：连接 交 于 ，连接 ，证得 ，再在等腰 中，利用线面垂直的判定定理，得 ，进而利用平面与平面垂直的判定定理，即可证得平面 .(2)由题意以向量 方向分别为 轴正方向，建立如图空间直角坐标系，求的平面的一个法向量和平面 的一个法向量 ，即可利用向量的夹角公式，求解平面与平面 所成二面角的余弦值.试题分析：(1)证明：在梯形 中， ， ， ， ， ， ， ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 .(2)由（1）
19、分别以直线 为 轴， 轴， 轴发建立如图所示空间直角坐标系，令 ，则 ， .- 17 -设 为平面 的一个法向量，由 ，得 ，取 ，则 ， 是平面 的一个法向量， . ，当 时， 有最小值 ，当 时， 有最大值 ， .点睛：本题涉及到了立体几何中直线与平面垂直和平面与平面垂直判定与证明，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 已知动圆 过定点 ，且在 轴
20、上截得的弦 长为 (1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；(2)设点 是轨迹 上的两点, 且 ，记 ，求 的最小值【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析: (1) 根据垂径定理得等量关系 ，再将等量关系用坐标表示，可得动圆圆心 的轨迹 的方程；（2）先用 ， 坐标化简条件- 18 -，得 ，而 ，根据弦长公式及点到直线距离公式可得 .最后利用基本不等式求最值.试题解析: (1)设 ， 的中点 ，连 ，则： ， ， .又 , ，整理得 .(2)设 ， ，不失一般性，令 ，则 ， , ,解得 直线 的方程为： ， ,即 ，令 得 ，即直线 恒过定点 ，当 时， 轴， ， 直线 也经过点 . .由可
21、得 , .- 19 -当且仅当 ，即 时， .21. 已知（1）若对于任意 ，都有 成立，求 的取值范围；（2）若 ，且 ，证明：【答案】 （1） （2）见解析【解析】【分析】（1）问题转化为 对于 恒成立，令 ，则 ，令 ，则 ，由此利用导数性质能求出实数 的取值范围（2）设 ，则 1，要证 ，只要证 ，即证 ，由此利用导数性质能证明 【详解】 （1 ）等价于 对于 恒成立.令 ，则令 ， ，则 在 上递增， 在 上递增， 即（2） 时 为增函数，又 ， ，令得 ， 在 上减，在 上增，且不妨设 ，则 1，要证 ，只要证 ，即证 ，- 20 -又 ，即证 ，令， ，又即 ，【点睛】本题考查函
22、数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用属难题.22. 极坐标与参数方程已知在极坐标系中，点 ， 是线段 的中点，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程是为参数 .（1）求点 的直角坐标，并求曲线 的普通方程；（2）设直线 过点 交曲线 于 两点，求 的值.【答案】 （） ,. （）12.【解析】试题分析：（1）根据将 极坐标化为直角坐标，利用三角函数平方关系消参数得普通方程， （2）先设直线 参数方程，再代人圆方程，利用参数几何意义求 的值.试
23、题解析：（）将点 ， 的极坐标化为直角坐标，得 和 .所以点 的直角坐标为 . - 21 -将 消去参数 ，得 ，即为曲线 的普通方程. （）解法一：直线 的参数方程为 （ 为参数， 为直线 的倾斜角）代入 ，整理得： .设点 、 对应的参数值分别为 、 .则 ，. 解法二：过点作圆 ： 的切线，切点为 ，连接 ，因为点由平面几何知识得： ，所以 .23. 不等式选讲已知函数 ，且 的解集为 （1）求 的值；（2）若 都是正实数，且 ，求证： 【答案】 （I）m=1;（II）见解析.【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.试题解析：- 22 -（I）依题意 ,即 , （II）方法 1:当且仅当 ,即 时取等号 方法 2: 由柯西不等式得 整理得当且仅当 ,即 时取等号.
