1、- 1 -哈尔滨市第六中学 2017-2018 学年度下学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 复数 等于（ ）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】分析：直接由复数的除法运算得到结果即可.详解： 故答案为：D.点睛：本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2. 设集合 小于 7 的正整数 ， ， ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】
2、C【解析】分析：先用列举法写出 U，B，根据交集、补集的意义直接求解即可详解：U=1，2，3，4，5，6，对于 B，解 +10 可得 2x5，又由 xN，则 B=3，4，5CUB=1，2，6，A=1，2，5则 A（C UB）=1，2，故选：C点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合元素的性质，及集合的运算，是简单的基础题，注意集合的运算顺序：先求补，再求交3. 设命题 P： 且 ，则 是（ ）- 2 -A. 且 B. 或C. 且 D. 或【答案】D【解析】试题分析：命题的否定既要否定条件，又要否定结论，故选 D考点：命题的否定4. 已知函数 ，则不等式 的解集为 ( )A. B. C. D. 【
3、答案】B【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可详解：由于 ，当 x0 时，3+log 2x5，即 log2x2=log 24，解得 0x4，当 x0 时，x 2x15，即（x3） （x+2）0，解得2x0，不等式 f（x）5 的解集为2，4，故选：B点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.5. 若实数 满足 ，则 关于 的函数图象的大致形状是( )A. B. C. D. - 3 -【答案】B【解析】分析
4、：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案详解： ，f（x）=（ ） |x1|其定义域为 R，当 x1 时，f（x）=（ ） x1 ，因为 0 1，故为减函数，又因为 f（x）的图象关于 x=1 轴对称，对照选项，只有 B 正确故选：B点睛：本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题一般给出函数表达式求函数图像的问题，可以从函数的定义域入手，值域入手，检验式子和图像是否一致，也可以考查函数的对称性和特殊点.6. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C
5、【解析】分析：由题意可先判断出 在（0，+）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（，0）上单调递增，从而可比较 2a 2与 a 的大小，解不等式可求 a 的范围详解： 在（0，+）上单调递增又f（x）是定义在 R 上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（，0）上单调递增f（x）在 R 上单调递增f（2a 2）f（a）2a 2a解不等式可得，2a1故选：C点睛：本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）- 4 -的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题.偶函数，比较函数值大小时，比较的是距离对称轴的 ，离轴越远函数
6、值越大或者越小.7. 现有 4 名教师参加说课比赛，共有 4 道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这 4 位教师选中的情况有( )A. 288 种 B. 144 种 C. 72 种 D. 36 种【答案】B【解析】试题分析：从 4 题种选一道作为不被选中的题有 4 种，从 4 位教师中选 2 位，这两位是选同样题目的有 种，被选中两次的题目有 3 种方案，剩下的两位教师分别选走剩下的 2 题，共 种.考点：排列组合.8. 已知 （ ）是函数 的一个零点，若 ， ，则( )A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】D【解析】分析：在同一坐标系中作
7、出函数 y=1nx 与 y= 的图象，由图可得结论详解：令 f（x）=lnx =0，从而有 lnx= ，此方程的解即为函数 f（x）的零点，在同一坐标系中作出函数 y=1nx 与 y= 的图象，由图可得 f（a）0，f（b）0，故选：D点睛：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，构造两个函数的交点问题求解，对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函- 5 -数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个不是常函数，注意让不是常函数的式子尽量简单一些。9. 已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当 时，则
8、 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：通过 x0，都有 f（x+2）=f（x） ，可得当 x0 时函数的周期为 T=2，然后由函数为偶函数可得 f（2 018）+f（2 019）=f（0）+f（1） ，代入可求详解：由对于 x0，都有 f（x+2）=f（x） ，函数的周期为 T=2函数 f（x）是（，+）上的偶函数，x0，2） ，f（x）=log 2（x+1）f（2018）+f（2019）=f（2018）+f（2019）=f（0）+f（1）=log 21+log2（1+1）=1故答案为：C.点睛：本题考查了函数性质：函数的奇偶性、函数的周期的综合运用，及转化的思想在解题
9、中的运用，解答本题的关键是熟练掌握函数的性质及一些常用的反映函数性质的结论，一般函数的对称轴为 a， 函数的对称中心为（a,0）.10. 如图，设抛物线 的顶点为 ，与 轴正半轴的交点为 ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为 ，随机往 内投一点 ，则点 落在 内的概率是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：求出直线与坐标轴围成三角形的面积，及抛物线与坐标轴围成的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率详解：由题意可知抛物线 y=x 2+1 的顶点为 A（0，1） ，与 x 轴正半轴的交点为 B（1，0） ，- 6 -AOB 的面积为： 抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为
10、M，面积为： 随机往 M 内投一点 P，则点 P 落在AOB 内的概率满足几何概型；随机往 M 内投一点 P，则点 P 落在AOB 内的概率是：故选：A点睛：本题考查几何概型在求解概率中的应用，几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A） ，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据 P= 求解11. 已知 是定义在 上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有，记 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由条件判断函数
11、在（0，+）上是增函数，再根据 a，b，c 的值，可得 bca详解：f（x）是定义在（0，+）上的函数，对任意两个不相等的正数 x1，x 2，不妨假设 0x 1 x 2，都有 ，即 函数 在（0，+）上是增函数- 7 - log 32 0.2，而 a= ，b= = ，c= ，bca，故答案为：D.点睛：本题主要考查函数的单调性的应用，属于中档题一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和 0，1，-1 比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。12. 已知定义在 上的可导函数 满足： ，则 与 的大小关系是（ ）A.
12、B. 0， 由此根据 k0，k0利用导数性质分类讨论，能求出函数 f（x）的单调区间和极值（2）问题转化为 ，对于 xe，e 2恒成立，令 ，则，令 ，由此利用导数性质能求出实数 k 的取值范围- 18 -（3）设 ，则 ，要证 ，只要证 ，即证 ，由此利用导数性质能证明 .试题解析：（1） ， 时，因为 ，所以 ，函数 的单调递增区间是 ，无单调递减区间，无极值； 当 时，令 ，解得 ，当 时， ；当 ， 所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， 在区间 上的极小值为 ，无极大值 （2）由题意， ，即问题转化为 对于 恒成立，即 对于 恒成立， 令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间
13、上单调递增，故 ，故 ，所以 在区间 上单调递增，函数 要使 对于 恒成立，只要 ，所以 ，即实数 k 的取值范围为 （3）证法 1 因为 ，由（1）知，函数 在区间 上单调递减，在区间上单调递增，且 - 19 -不妨设 ，则 ，要证 ，只要证 ，即证 因为 在区间 上单调递增，所以 ，又 ，即证 ， 构造函数 ，即 ， ，因为 ，所以 ，即 ，所以函数 在区间 上单调递增，故 ，而 ，故 ， 所以 ，即 ，所以 成立 证法 2 要证 成立，只要证： . 因为 ，且 ，所以 ，即 ， ，即 ，同理 ，- 20 -从而 ， 要证 ，只要证 ，令不妨设 ，则 ，即证 ，即证 ，即证 对 恒成立， 设 ， ，所以 在 单调递增， ，得证，所以 .
