1、1东北育才学校高中部 2017届高三适应性考试数学（理科）试卷本试卷共 4页,22、23 题(含选考题)考试时间 120分钟 满分 150分必考部分一.选择题：本大题 12小题，每小题 5分，共 60分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合 A= =x|10，则 A B=x|10=x|x1=(1,+)，故选：A. 2. 已知复数 在复平面内对应点是 ，若 虚数单位，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】 z=1+2i,则 = = = =i+1，z+1z-12+2i2i 1+ii -i(1+i)-ii故选：D.3.
2、已知向量 与 为单位向量，满足 ，则向量 与 的夹角为a b |a3b|= 13 a bA. B. C. D. 30 60 120 150【答案】C【解析】设向量 与 的夹角为 ,由余弦定理可得：cos = =，a b1+9-13213 =120，故选 C.24. 若函数 是奇函数，函数 是偶函数，则f(x)(xR) g(x)(xR)A. 函数 是奇函数 B. 函数 是奇函数f(x)g(x) f(x)g(x)C. 函数 是奇函数 D. 是奇函数fg(x) gf(x)【答案】B【解析】函数 f（x） （xR）是奇函数，函数 g（x） （xR）是偶函数，f（-x）=-f（x） ，g（-x）=g（x
3、） ，f（-x）-g（-x）=-f（x）-g（x）f（x）-g（x） ，且 f（-x）-g（-x）-f（x）-g（x），故 f（x）-g（x）是非奇非偶函数，故排除 A根据 f（-x）g（-x）=-f（x）g（x） ，故 f（x）g（x）是奇函数，故 B正确根据 fg（-x）=fg（x），故 fg（x）是偶函数，故 C错误根据 gf（-x）=g-f（x）=gf（x），故 gf（x）为偶函数，故 D错误，故选：B5. 定义： ，如 ，则|a bc d|=adbc |1 23 4|=1423=2 |21xdx 31 2|=A. 0 B. C. 3 D. 6【答案】A【解析】 ,故选 A.21xdx
4、=12x2|21=32,21xdx 31 2|= |32 31 2|=32231=06. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是A. B. C. D. 203 6 163 103【答案】D3【解析】根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，且圆锥的底面圆的半径 r=2、高是 2，圆柱的底面圆的半径 r=2、高是 1，所以此几何体的体积 V= 42+ 41= ，103故答案为： .103点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分
5、用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图7. 九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 步和 步，问其内切圆的直径为多少步？”8 15现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A. B. C. D. 310 320 131
6、0 1320【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为 17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为 ，故落在圆外的概率为r=8158+15+17=3 r= 3212815=320 1-3208. 已知数列 满足 是首项为 1,公比为 的等比数列 ,则an a1，a2a1，a3a2，anan1 2 a101=A. B. C. D. 2100 24950 25050 25151【答案】C【解析】数列 满足 是首项为 1,公比为 的等比数列，an a1，a2a1，a3a2，anan-1 2 =2n1，anan-1 an=a1 =121222n1= ，. a101=25050.4故
7、选：C.9. 若实数 满足： ，则 的最小值为x,y |x|y1 x2+y22xA. B. C. D. 12 22 221【答案】B【解析】 x， y满足| x|y1，表示的可行域如图：=(x+1)2+y21 它的几何意义是可行域内的点到( 1,0)的距离的平方减去 1.x2+y2-2x显然 D(1,0)到直线 x+y=0的距离最小，最小值为： = ，12 22所求表达式的最小值为： 1= ，-12故选：B.点睛：利用线性规划求最值的步骤在平面直角坐标系内作出可行域；考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；将最优解代入目标函数即可求出
8、最大值或最小值10. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为 的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时R A(33,3)针方向匀速旋转，且旋转一周用时 60秒.经过 秒后，水斗旋转到 点，设 的坐标为 ，t P P (x,y)其纵坐标满足 .则下列叙述错误的是y=f(t)=Rsin(t+) (t0,0,|0,b0) F1 F2 P,则双曲线的渐近线的斜率的取值范围是3|PF1+PF2|2|F1F2|A. B. C. D. 00) y=f(x) x=0 l y=ex况的切线A. 有 条 B. 有 条 C. 有 条 D. 有 条0
9、 1 2 3【答案】A【解析】函数 f(x)= 的导数为 f( x)=1 ， a0.x-exa 1aexa易知,曲线 y=f(x)在 x=0处的切线 l的斜率为 11a,切点为 (0,1)，可得切线的方程为 y=(1)x1.假设 l与曲线 y=ex相切,设切点为( x0,y0)，即有 e x0=1=(1)x01，消去 a得 e x0=e x0x01,设 h(x)=exxex1，则 h( x)=exx,令 h( x)0，则 x0，所以 h(x)在(,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增，当 x, h(x) 1,x+, h(x)+，所以 h(x)在(0,+)有唯一解,则 e x01，而 a0时,
10、11 a1矛盾，所以不存在。故选：A.点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略已知切点求切线方程解决此类问题的步骤为：求出函数 在点 处的导y=f(x) x=x0数，即曲线 在点 处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为y=f(x) (x0,f(x0)yy0=f(x0)(xx0)已知斜率求切点已知斜率 ，求切点 ，即解方程 .k (x1,f(x1) f(x)=k求切线倾斜角的取值范围先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正7切函数的单调性解决二填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）13. 的展开式中各项系数和为 ，则展开式中 项的系数为 _(3x)n 64 x5【答
11、案】 18【解析】 的展开式中各项系数和为 ,令 x=1，则 =64，解得：n=6(3-x)n 64 2n则展开式中 项的系数为 =-18.x5 C563(-1)点睛：二项式定理问题主要包含两方面：一方面是展开式项的问题，只要抓住通项公式就可以了，另一方面是系数和的问题，主要解题策略是赋值法.14. 有一些正整数排成的倒三角，从第二行起，每个数字等于“两肩”数的和，最后一行只有一个数 ，那么 _.M M=1 2 3 4 8 9 103 5 7 17 198 12 3620 M【答案】2816【解析】若第一行为 1,2,则 M=3=(2+1)222；若第一行为 1,2,3,则 M=8=(3+1)
12、232；若第一行为 1,2,3,4,则 M=20=(4+1)242；归纳可得：若第一行为 1,2,3,4,n,则 M=(n+1)2n2.当 n=10时,“金字数” M=1128=2816故答案为：281615. 下左图是计算某年级 500名学生期末考试（满分为 100分）及格率 的程序框图，则图q中空白框内应填入_8【答案】 q=MM+N【解析】此框图是用来计算及格率的，M 为及格人数，N 为不及格人数，所以空白框中应填入 .q=MM+N16. 如图，在正方体 中，棱长为 1 ，点 为线段 上的动点(包含ABCDA1B1C1D1 P A1C线段端点)，则下列结论正确的_当 时， 平面 ；A1C
13、=3A1P D1P/ BDC1当 时， 平面 ；A1C=3A1P A1C D1AP 的最大值为 ； APD1 90 的最小值为 .AP+PD1263【答案】9【解析】对于,连结 AB1,B1D1,AD1,则 V AA1B1D1=1=，S AB1D1= sin60= ,A1C= ，2 232 3设 A1到平面 AB1D1的距离为 h,则 h=,解得 h= ，32 33 h=A1C.当 时, P为 A1C与平面 AB1D1的交点。A1C=3A1P平面 AB1D1平面 BDC1， D1P平面 AB1D1, D1P平面 BDC1，故正确；对于,由可知 P平面 AB1D1， A1C平面 AB1D1, A
14、1C平面 D1AP，故正确；对于,由可知当 时, P为等边 AB1D1的中心，A1C=3A1P APD1=120，故错误；对于,连结 AC,D1C,则 Rt A1AC Rt A1D1C, AP=D1P， AP的最小值为 = ，AA1ACA1C 63 AP+PD1的最小值为 .故正确。263故答案为：。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. 在 中，角 所对的边分别是 ， .ABC A,B,C a,b,casinA+bsinBcsinCsinBsinC =233a（）求角 ；C（）若 的中线 的长为 ，求 的面积的最大值 .ABC CD 1 ABC【答案】(1) ;(2) .
15、C=3 33【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简题目所给方程，利用余弦定理转化为 ，tanC= 3由此求得角 的值.（2）利用三角形中线长定理和余弦定理列方程组，化简后利用基本不C等式求得 的取值范围，由此求得面积的取值范围.ab试题解析：(1) ，即 .asinA+bsinB-csinCsinBsinC =233a,cosC=a2+b2-c22ab =33sinC tanC= 3,C=310(2) 由三角形中线长定理得： ，由三角形余弦定理得：2(a2+b2)=22+c2=4+c2，消去 得: （当且仅当 时，等号成立） ，即c2=a2+b2-ab c2 4-ab=a2+b22ab,ab
16、43 a=b.SABC=12absinC124332=3318. 如图，已知菱形 所在的平面与 所在的平面相互垂直， ABEF ABC AB=4,BC= 6,.BCBE,ABE=3（）求证： 平面 ；BC ABEF（）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.ACF BCE【答案】(1)详见解析;(2) .33【解析】试题分析：（1）取 中点 ，连结 ，易得 ，根据面面垂直的性质定AB O OE OEAB理可知 平面 ，即 ，又因为 ,所以 平面 .（2）以 为坐OE ABC OEBC BCBE BC ABEF O标原点联立空间直角坐标系，利用平面 与平面 的法向量求解两个平面所成锐二面ACF
17、BCE角的余弦值.试题解析：(1)取 中点 ，连结 ，由已知易得 是正三角形，所以 ，又因为平面AB O OE ABE OEAB平面 ，所以 平面 ，即 ，又因为 ,所以 平面ABEF ABC OE ABC OEBC BCBE BC.ABEF11(2) 如图建立空间直角坐标系：则 ，取 中点 ，易A(0,-2,0),B(0,2,0),C( 6,2,0),E(0,0,23) EB N得平面 的法向量是 ，设面 的法向量是 ，则由 ，得BCE AN=(0,3, 3) ACF n=(x,y,z)nAC=0nAF=0，即 ，则令 ，得 nAC=(x,y,z)( 6,4,0)=0nBE=(x,y,z)(
18、0,-2,23)=0 6x+4y=0-2y+23z=0 z=1，所以平面 与平面 所成的锐二面角的n=(-22, 3,1),cos=ANn|AN|n|=33 ACF BCE余弦值是 .3319. 某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销 10天两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利 70元，且每卖出一件产品厂家再返利 2元；乙厂家无固定返利，卖出 40件以内（含 40件）的产品，每件产品厂家返利 4元，超出 40件的部分每件返利 6元经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：甲 乙8 9 9 8 9 9 3 8 9 92 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 0（
19、）现从甲厂家试销的 10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于 40的概率；（）若将频率视作概率，回答以下问题：（）记乙厂家的日返利额为 X（单位：元） ，求 X的分布列和数学期望；（）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由【答案】(1) ;(2)详见解析;(3)详见解析.145【解析】试题分析：（）利用古典概型求这两天的销售量都大于 40的概率；（）（）依据题意求离散型随机变量的分布列和数学期望；（）利用统计学知识为商场作处选择.试题解析：（）记“抽取的两天销售量都大于 40”为事件 A，12则 P(A)=C22C
20、210=145（） （）设乙产品的日销售量为 a，则当 时， ；a=38 X=384=152当 时， ；a=39 X=394=156当 时， ；a=40 X=404=160当 时， ；a=41 X=404+16=166当 时， ；a=42 X=404+26=172 的所有可能取值为：152,156,160,166,172 ，X 的分布列为XX 152156160166172p 110 110EX=152110+15615+16015+16625+172110=162（）依题意，甲厂家的日平均销售量为：， 380.2+390.4+400.2+410.1+420.1=39.5甲厂家的日平均返利额为
21、： 元， 由（）得乙厂家的日平均返70+39.52=149利额为 162元（149 元） ，推荐该商场选择乙厂家长期销售20. 如图，抛物线 的准线为 ，取过焦点 且平行于 轴的直线与抛物C:x2=2py(p0) y=1 F x线交于不同的两点 ，过 作圆心为 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1,P2 P1,P2 Q P1QP2=90（）求抛物线 和圆 的方程；C Q（）过点 作直线 与抛物线 和圆 依次交于 ，求 的最小值F l C Q M,A,B,N |MN|AB|13【答案】(1) , ;(2)16.x2=4yx2+(y3)2=8【解析】试题分析：（1）通过平面几何性质及圆锥曲线定义
22、求轨迹方程；（2）借助勾股定理及弦长公式表示目标，然后利用二次函数求最值.试题解析：（） 因为抛物线 的准线为 ;C:x2=2py(p0) y=-1所以 解得 ，所以抛物线 的方程为 -p2=-1 p=2 C x2=4y当 时，由 得： ，不妨设 在左侧，则 ， y=1 x2=4y x=2 P1 P1(-2,1) |P1F|=2由题意设圆 的方程为： ，Q x2+(y-b)2=r2(b1,r0)由 且 知： ， P1QP2=90 |P1Q|=|QP2| P1QP2Q 是等腰直角三角形且 ， P1QP2 QP1P2=45 ， ，则 ，|QF|=|P1F|=2 |P1Q|= |QF|2+|P1F|
23、2=22 b=3,r=22 圆 的方程为： Q x2+(y-3)2=8（）由题意知直线 的斜率存在 ,设直线 的方程为: ，l l y=kx+1圆心 到直线 的距离为: ，Q(0,3) l d=2k2+1 |AB|=2r2-d2=42- 11+k2由 得： ， x2=4yy=kx+1 y2-(4k2+2)y+1=0设 ,由抛物线定义有: ，M(x1,y1),N(x2,y2) |MN|=y1+y2+2=4(k2+1) ， |MN|AB|=16(k2+1) 2- 1k2+114设 ，则: 且 ，t=k2+1 t1 |MN|AB|=16t 2-1t=162t2-t=162(t-14)2-18 当 即
24、 时, 的最小值为 .t=1 k=0 |MN|AB| 1621. 已知函数 .f(x)=lnxkx+k（）若 有唯一解，求实数 的值；f(x)0 k（）证明：当 时， .a1 x(f(x)+kxk)0 =ex-2x2+x-1(x0)明其大于零即可试题解析：()函数 的定义域为f(x) (0,+)要使 有唯一解,只需满足 ,且 的解唯一 ,f(x)0 f(x)max=0 f(x)max=0,f(x)=1-kxx当 时, ,故 在 上单调递增,且 ,k0 f(x)0 f(x) (0,+) f(1)=0所以 的解集为 ,不符合题意；f(x)0 1,+)当 ，且 时， 单调递增；当 时， 单调递减，k
25、0 x(0,1k f(x)0,f(x) x(1k,+) f(x)0) g(1)=0,g(k)=k-1k当 时， ,故 单调递减；当 时，故 单调递增，01 g(k)所以 ，故令 ,解得 ，g(k)g(1)=0 f(1k)=k-lnk-1=0 k=1此时 有唯一的一个最大值为 ，且 ，故 的解集是 ，符合题意；f(x) f(1) f(1)=0 f(x)0 1综上，可得 k=1（）要证当 时，a1 x(f(x)+kx-k)015即证 ex-x2-xlnx-10由（）得，当 时， ,即 ，又 ，从而 ,k=1 f(x)0 lnxx-1 x0 xlnxx(x-1)故只需证 ，当 时成立；ex-2x2+
26、x-10 x0令 ，则 ,h(x)=ex-2x2+x-1(x0) h(x)=ex-4x+1令 ，则 ，令 ，得F(x)=h(x) F(x)=ex-4 F(x)=0 x=2ln2因为 单调递增，所以当 时， 单调递减，即 单调递减，F(x) x(0,2ln2 F(x)0,F(x)0,F(x) h(x)当 时， 单调递增，即 单调递增，x(2ln2,+) F(x)0,F(x) h(x)且 ,h(ln4)=5-8ln20,h(2)=e2-8+10由零点存在定理，可知 ，使得 ，x1(0,2ln2),x2(2ln2,2) h(x1)=h(x2)=0故当 或 时， 单调递增；当 时， 单调递减，0x2
27、h(x)0,h(x) x10故当 时，所以 ,原不等式成立x0 h(x)0点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会选考部分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的方程为 ，以坐标原点 为极点，以 轴正xOy C1x23
28、+y2=1 O x半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，射线 的极坐标方程C2 =4sin(+3) OM16为 .=0(0)（）写出曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；C1 C2（）若射线 平分曲线 ，且与曲线 交于点 ，曲线 上的点 满足 ，求OM C2 C1 A C1 B AOB=2.|AB|【答案】(1) , ;(2) .2= 31+2sin2 (x3)2+(y1)2=4 455【解析】试题分析：（1）根据 将曲线 的极坐标方程化为2=x2+y2,cos=x,sin=y C2直角坐标方程，将曲线 的直角坐标方程化为极坐标方程（2）先根据题意得射线 的极C1 OM坐标方程
29、为 ，再代入 的极坐标方程得 ，根据 ，令 得 ，最=6 C1 2A=2 AOB=2 =6+2 2B=65后根据 求 .|AB|= |OA|2+|OB|2= 2A+2B |AB|试题解析：解：（）曲线 的极坐标方程为 ，C1 2= 31+2sin2曲线 的直角坐标方程为 C2 (x- 3)2+(y-1)2=4（）曲线 是圆心为 半径为 2的圆，C2 ( 3， 1)， 射线 的极坐标方程为OM =6(0) ， 代入 ，可得 2= 31+2sin2 2A=2又 ， ，AOB=2 2B=65 |AB|= |OA|2+|OB|2= 2A+2B=45523. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 ，f(x)
30、=|2x+1|x|+a（）若 ,求不等式 的解集；a=1 f(x)0（）若方程 有三个不同的解，求 的取值范围.f(x)=2x a【答案】(1) ;(2) .(,20,+) (1,12)【解析】试题分析：（1）利用零点分段法解绝对值不等式；（2）利用图象法推断 的取值a范围.试题解析：17（）当 时，不等式 可化为： ，a=-1 f(x)0 |2x+1|-|x|-10 或 或 ， x-12-(2x+1)-(-x)-10 -12x0(2x+1)-(-x)-10 解得： 或 ， 不等式的解集为 （）由 得： ，令 ，则： ， 作出函数 的图象如图示，易知 ，结合图象知：当 时，函数 与 的图象有三个不同交点，即方程 有三个不同的解 , 的取值范围为 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
