1、- 1 -思南中学 20182019 学年度第一学期半期考试高二年级数学试题 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A “至少有 1 个白球”和“都是红球”B “至少有 1 个白球”和“至多有 1 个红球”C “恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球”D “至多有 1 个白球”和“都是红球”2、 无 实 解 得 概 率 是程中 任 取 一 个 实 数 ， 则 方是 从 区 间若 010, 2axa（ ）A 0.1 B 0.2
2、C 0.3 D 0.43、执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为( )A2016 B2 C. D1124.根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为 ,则( ).abA.a0,b0,b0 C.a05设样本数据 x1， x2， x10的均值和方差分别为 1 和 4，若 yi xi a(a 为非零常数，- 2 -i1,2， ，10)，则 y1， y2， y10的均值和方差分别为( )A1,4 a B1 a,4 a C1,4 D1 a,46、直线 l：y=kx+1 与圆 O：x 2+y2=1 相交于 A，B 两点，则“k=1
3、”是“OAB 的面积为 ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件7. 甲、乙、丙三名毕业生参加某公司人力资源部安排的面试，三人依次进行，每次一人，其中甲、乙两人相邻的概率为（ ） 314121328、下列说法正确的是 ( )A.函数 y2sin(2 x )的图象的一条对称轴是直线 x 6 12B.若命题 p：“存在 xR， x2 x10” ，则命题 p 的否定为：“对任意 xR， x2 x10”C.若 x0，则 x 2 1xD.“a1”是“直线 x ay0 与直线 x ay0 互相垂直”的充要条件9、 “不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立”的
4、一个必要不充分条件是( )A m B00 D m11410. 将参加夏令营的 600 名学生按 001,002，600 进行编号采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分别住在三个营区，从 001到 300 在第营区，从 301 到 495 在第营区，从 496 到 600 在第营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( )A26,16,8 B25,16,9 C25,17,8 D24,17,911、集合 A=（x，y）|y ,集合 B=(x,y)|y ,先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子的点数为 a,掷第二颗骰子的点数为 b,则（a,b） 的概率为（
5、）A. B. C. D.- 3 -qp D qp C qp B q.pA |2|log)(:)(6 ),65()2sin()(:p12 1 题 的 是奇 函 数 ， 则 下 列 为 真 命 是函 数题图 像 的 一 条 对 称 轴 ， 命是 函 数则 满 足若 已 知 函 数、 已 知 命 题 xxfxfx fRxf 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分. 答案须填在横线上13、甲、乙两人约定于 6 时到 7 时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人会面的概率 14、给出下列四个命题：“若 xy1，则 x、 y 互为倒数”的逆命题；“四
6、边相等的四边形是正方形”的否命题；“若 ab，则 a2b2”的逆否命题；“若 x3，则 x2 x60”的否命题；其中真命题的个数为_15、以 A=2,4,6,7,8,11,12,13中任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这分数是可约分数的概率是 16、设 p：|4 x3|1； q： x2(2 a1) x a(a1)0， 求实数 a 的取值范围 的 必 要 不 充 分 条 件 ，是若 q三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤17（10 分） 、已知 mR，对 p： x1和 x2是方程 x2 ax20 的两个根，不等 式|m5| x1 x2|对任意
7、实数 a1,2恒成立； q：函数 f(x)3 x22 mx m 有两个不同43的零点.求使“ p 且 q”为真命题的实数 m 的取值范围.18（12 分） 设数列 an的前 n 项和为 Sn，对 任意的正整数 n，都有 Sn2 an n3 成立(1)求证：数列 an1为等比数列；(2)求数列 nan的前 n 项和 Tn.- 4 -19（12 分） 由某种设备的使用年限 xi(年)与所支出的维修费 yi(万元)的数据资料算得如下结果. .25,0,12,9051551512 iiiii yyx(1)求所支出的维修费 y 对使用年限 x 的线性回归方程 x ；y b a (2)判断变量 x 与 y
8、 之间是正相关还是负相关；当使用年限为 8 年时，试估计支出的维修费是多少20(12 分)如图，在底面是正三角形的直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 AB2， D 是 BC 的中点(1)求证： A1C平面 AB1D；(2)求点 A1到 平面 AB1D 的距离21（12 分）.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 人,将其数学成绩(均为整数)分成六组90,100),100,110),140,150后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:- 5 -(1)求分数在120,130)内的频率;(2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:区间100,110)的中点值
9、为)作为这组数据的平均分,据此估计本次考试的平均分 ;1052(3)用分层抽样的方法在分数段为110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段120,130)内的概率 .22（12 分） 、在 ABC 中，角 A， B， C 所对边分别是 a， b， c，且 cosA .13(1)求 cos2 cos2 A 的值；B C2(2)若 a ，求 ABC 面积的最大值3- 6 -思南中学 20182019 学年度第一学期半期考试高二数学期中答案1选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选择一
10、个符合题目要求的选项题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B D A D A D B C C D B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分. 答案须填在横线上13、 14、_2_16715、 16、 450，12三、解答题：（6 大题，共计 70 分）17（10 分） 、解：由题设知 x1 x2 a， x1x22，| x1 x2| .(x1 x2)2 4x1x2 a2 8a1,2时， 的最小值为 3，要使| m5| x1 x2|对任意实数 a1,2恒成立，只a2 8需| m5|3，即 2 m8.由已知，得 f(x)3 x22 mx m 0
11、的判别式434 m212( m )4 m212 m160，43得 m1 或 m4.，综上，要使“ p 且 q”为真命题，只需 p 真 q 真，即 解得实数 m 的取值范围是(4 ,818 （12 分）解 (1)证明：当 n1 时， S12 a113，得 a12，由 Sn2 an n3，得 Sn1 2 an1 n13，两式相减得 an1 2 an1 2 an1，84或 0，变量 x 与 y 之间是正相关b 2,14590125b,1,41,25,0125 5515 iiii iii xyxyx所 以 ： 则- 8 -由(1)知，当 x8 时， 9.8，即使用年限为 8 年时，支出的维修费约是 9
12、.8 万元y 20 （12 分）解 (1)证明：连接 A1B，交 AB1于点 O，连接 OD. ABC A1B1C1是直三棱柱，四边形 ABB1A1是平行四边形， O 是 A1B 的中点又 D 是 BC 的中点， OD A1C， OD平面 AB1D， A1C平面 AB1D， A1C平面 AB1D.(2)由(1)知 O 是 A1B 的中点，点 A1到平面 AB1D 的距离等于点 B 到平面 AB1D 的距离 ABC A1B1C1是直三棱柱， BB1平面 ABC，平面 BCC1B1平面 ABC. ABC 是正三角形， D 是 BC 的中点， AD BC， AD平面 BCC1B1， AD B1D.设
13、点 B 到平面 AB1D 的距离为 d， VB1 ABD VB AB1D， S ABDBB1 S AB1Dd，- 9 - d S ABDBB1S AB1D ADBDBB1ADB1D BDBB1B1D ，255点 A1到平面 AB1D 的距离为 .25521（12 分）解析：(1)分数在120,130)内的频率为 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=0.3.(2)估计平均分为x=950.1+1050.15+1150.15+1250.3+1350.25+1450.05=121.(3)由题意知,110,120)分数段的人数为 600.15=9,120,130)分数段的人数为 60
14、0.3=18. 用分层抽样的方法在分数段为110,130)的学生中抽 取 一个容量为 6 的样本, 需在110,120)分数段内抽取 2 人 ,在120,130)分数段内抽取 4 人, 从这 6 人中抽取 2 人,至多有 1 人在分数段120,130)内的概率 531930,12 930,125, , ,30,1, ,10,42414 243212422 413111 4321之 间 的 概 率 是故 至 多 有 一 人 在 个 ，之 间 的 基 本 事 件 有在个 ， 其 中 ， 至 多 有 一 人共 的 基 本 事 件 为 ：之 间 的 试 卷 中 任 取 两 份在 个 人 编 号 为之 间 的个 人 编 号 为之 间 的将 bab baaba a22（12 分） 、解 (1)cos2 cos2 A 2cos 2A1 2cos 2A1 2 21B C2 1 cos B C2 12 cosA2 12 12 13 (13) .49(2)由余弦定理，可得( )32 b2 c22 bccosA b2 c2 bc2 bc bc bc， bc ，23 23 43 94当且仅当 b c 时， bc 有最大值 ，32 94- 10 -又 cosA ， A(0，)，13sin A ，1 cos2A1 (13)2 223( S ABC)max bcsinA .12 12 94 223 324
