1、- 1 -福建省长乐高级中学 2019 届高三数学上学期第一次月考试题 理说明：1、本试卷分第 I、II 两卷，考试时间：90 分钟 满分：100 分2、卷的答案用 2B 铅笔填涂到答题卡上；卷的答案用黑色签字笔填写在答题卡上。第卷（选择题 共 48 分）一、选择题（本题包括 12 小题，每小题 4 分，每小题只有一个答案符合题意）1已知集合 A=x|x22x3，B=x|2 x1，则 AB=（ ）A0，3 B （0，3 C1，+） D1，1）2已知 i 是虚数单位，则 =（ ）A i B i C i D i3已知 a=log0.62，b=log 20.6，c=0.6 2，则（ ）Aabc Bb
2、ca Ccba Dcab4已知函数 ，则 =（ ）A4 B C4 D5已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，恒有 f（x+2）=f（x） ，且当 x0，1时，f（x）=e x1，则 f（2017）+f（2018）=（ ）A0 Be Ce1 D1e6如图，在边长为 1 的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为（ ）A B C D7执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 a 的值为（ ）- 2 -A10 Blg99 C2 Dlg1018甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了 ”乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了
3、”丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了 ”结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（ ）A甲、乙 B乙、丙 C丙、丁 D甲、丁9函数 y=2|x|sin2x 的图象可能是（ ）A BC D10已知命题 p：x（0， +） ，xsinx，命题 ，则下列命- 3 -题中的真命题为（ ）Aq Bpq C （p）q D （p）（q）11已知定义在 R 上的函数 f（x）= ax3+x2+ax+1 有三个不同的单调区间，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1）（1，+） B1，0）（0，1C （1，1） D （1，0）（0，1）12已知函数 f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a若 g（x
4、）存在 2 个零点，则 a的取值范围是（ ）A1，0） B0，+） C1，+） D1，+）第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本题包括 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分）13已知向量 ， 的夹角为 60，| |=2，| +2 |=2 ，则| |= 14已知函数 f（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，在（0，+）上单调递减，且 f（4）=0，若 f（x3）0，则 x 的取值范围为 15已知函数 图象关于原点对称则实数 的值为 2()lg14)aa16下列命题中，真命题的序号是 “若 x2，则 x3”的否命题；“a（0，+） ，函数 y=ax在定义域内单调递增”的否定
5、；“x 2+y2=0”是“xy=0”的必要条件；函数 y=f（1+x）与函数 y=f（1x）的图象关于直线 x=1 对称三解答题（共 4 小题，每小题 9 分）17已知集合 A=y|y=log3（x4） ，xa，B=y|1y5，C=x|m+1x2m（1）若 a=13，求 R（AB） ；（2）若 a=85，且 AC=A，求 m 的取值范围- 4 -18设 aR，命题 q：xR ，x 2+ax+10，命题 p：x1，2，满足（a1）x10（1）若命题 pq 是真命题，求 a 的范围；（2） （p）q 为假， （p）q 为真，求 a 的取值范围19已知函数 f（x）=e x+ax+b（xR）在点 A
6、（0，f（0） ）处的切线 l 的方程为 x+y2=0（1）求函数 f（x）解析式；（2）求 f（x）在 R 上的极值- 5 -（二）选考题：共 9 分。请考生在第 20、21 题中任选一题作答，请做好涂点识别；如果多做，则按所做的第一题计分。20在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系已知曲线C：sin 2=2acos（a0） ，过点 P（2，4）且倾斜角为 的直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点（1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值21设函数 f（x）=|ax1|（1）若 f（x）2
7、 的解集为2，6，求实数 a 的值；（2）当 a=2 时，若存在 xR，使得不等式 f（2x+1）f（x1）73m 成立，求实数 m的取值范围长乐高级中学 2018-2019 学年第一学期第一次月考高三数学（理科）参考答案一选择题（共 12 小题）1已知集合 A=x|x22x3，B=x|2 x1，则 AB=（ ）A0，3 B （0，3 C1，+） D1，1）【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x 22x3=x|x 22x30=x|1x3，B=x|2x1=x|x0，则 AB=x|0x3，- 6 -故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价
8、条件是解决本题的关键2已知 i 是虚数单位，则 =（ ）A i B i C i D i【分析】分子分母都乘以分母的共轭复数即可得出【解答】解：原式= = 故选：C【点评】本题考查了复数的除法运算法则，属于基础题3已知 a=log0.62，b=log 20.6，c=0.6 2，则（ ）Aabc Bbca Ccba Dcab【分析】a=log 0.62 =1，又 ab=1可得 b=log20.6（1，0） ，而 c0，即可得出大小关系【解答】解：a=log 0.62 =1，又 ab= =1b=log 20.6（1，0） ，c=0.620，则 cba故选：C【点评】本题考查了对数运算性质、换底公式、
9、指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4已知函数 ，则 =（ ）A4 B C4 D【分析】由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可【解答】解：f（ ）=log 5 =2，- 7 -=f（2）= ，故选：B【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用及学生的化简运算能力的应用5已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，恒有 f（x+2）=f（x） ，且当 x0，1时，f（x）=e x1，则 f（2017）+f（2018）=（ ）A0 Be Ce1 D1e【分析】求出函数的周期，利用函数的奇偶性以及已知函数的解析式，转化求解即可【解答】当 x0 时，恒有 f（x+2）
10、=f（x） ，可知函数 f（x）的周期为 2所以 f（2017）=f（1） ，f（2018）=f（0）又 f（x）为奇函数，所以 f（2017）=f（2017）而当 x0，1时 f（x）=e x1，所以 f（2017）+f（2018）=f（2017）+f（2018）=f（1）+f（0）=（e 11）+（e 01）=1e，故选：D【点评】此题考察了函数的周期性、奇偶性及其运用6如图，在边长为 1 的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为（ ）A B C D【分析】首先求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式即可求得最终结果【解答】解：由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：
11、，- 8 -结合几何概型计算公式可得：黄豆落在阴影部分的概率为 故选：C【点评】本题考查定积分的几何意义，几何概型计算公式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题7执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 a 的值为（ ）A10 Blg99 C2 Dlg101【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，根据对数的运算法则计算即可得解【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a=lg（1+1）+lg（1+ ）+lg（1+ ）+lg（1+ ）的值，a=lg（1+1）+lg（1+ ）+lg（1+ ）+l
12、g（1+ ）=lg2+lg +lg +lg=lg2+lg3lg2+lg4lg3+lg101lg100=lg101故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题- 9 -8甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了 ”乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了 ”丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了 ”结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（ ）A甲、乙 B乙、丙 C丙、丁 D甲、丁【分析】先假设中奖的两个人，然后逐一判断即可【解答】解；（1）假设甲乙中奖，此时甲说的对，此时乙说的错误，
13、丙说的对，不满足题意（2）假设乙丙中奖，此时甲说错，乙说的对，丙说的错，不满足题意（3）假设丙丁中奖，此时甲说的对，乙说的对，丙说的对，满足题意（4）假设甲丁中奖，此时甲说错，乙说的对，丙说的错故选：C【点评】本题考查简单的合情推理，属于基础题型9函数 y=2|x|sin2x 的图象可能是（ ）A B C D【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果- 10 -【解答】解：根据函数的解析式 y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除 A 和 B当 x= 时，函数的值也为 0，故排除 C故选：D【点评】本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用10已知命题 p：x（0， +） ，x
14、sinx，命题 ，则下列命题中的真命题为（ ）Aq Bpq C （p）q D （p）（q）【分析】根据函数的单调性以及函数的图象与性质，分别判断命题 p，q 的真假，再结合选项得出答案【解答】解：命题 p：构造函数 f（x）=xsinx，x0，f（x）=1cosx0 恒成立，即 f（x）在（0，+）上单调递增，又 f（0）=0，则 f（x）0，即 xsinx 成立，命题 p 正确；命题 q：令 y1=（ ） x，y 2=log x，分别画出两个函数的图象可知，在（0，1）上有一个交点，即命题 q 正确；综上可知 pq 正确，故选：B【点评】本题考查判断命题的真假，属于中档题11已知定义在 R
15、上的函数 f（x）= ax3+x2+ax+1 有三个不同的单调区间，则实数 a 的取值- 11 -范围是（ ）A （，1）（1，+） B1，0）（0，1 C （1，1） D （1，0）（0，1）【分析】根据题意，由函数的解析式对其求导可得 f（x）=ax 2+2x+a，由函数的导数与函数的单调性对应关系分析可得=44a 20，且 a0，解出 a 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x）= ax3+x2+ax+1，其导数 f（x）=ax 2+2x+a，若函数 f（x）= ax3+x2+ax+1 有三个不同的单调区间，则 f（x）=ax 2+2x+a=0 有 2 个零点，则有=4
16、4a 20，且 a0，解可得：1a1，且 a0，即实数 a 的取值范围是（1，0， （0，1） ；故选：D【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，注意单调区间与函数的极值的对应关系12已知函数 f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a若 g（x）存在 2 个零点，则 a的取值范围是（ ）A1，0） B0，+） C1，+） D1，+）【分析】由 g（x）=0 得 f（x）=xa，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可【解答】解：由 g（x）=0 得 f（x）=xa，作出函数 f（x）和 y=xa 的图象如图：当直线 y=xa 的截距a1，即 a1 时
17、，两个函数的图象都有 2 个交点，即函数 g（x）存在 2 个零点，故实数 a 的取值范围是1，+） ，故选：C- 12 -【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键二填空题（共 4 小题）13已知向量 ， 的夹角为 60，| |=2，| +2 |=2 ，则| |= 2 【分析】根据题意，设| |=t，由数量积的计算公式可得 =t，又由| +2 |=2 ，可得（ +2 ） 2= 2+4 +4 2=4+4t+4t2=28，变形解可得 t 的值，有向量模的几何意义即可得答案【解答】解：根据题意，设| |=t，若向量 ， 的夹角为 60
18、，则 =2tcos60=t，又由| +2 |=2 ，则有（ +2 ） 2= 2+4 +4 2=4+4t+4t2=28，即 t2+t6=0，解可得 t=2 或 t=3（舍） ；故 t=2，即| |=2；故答案为：2【点评】本题考查向量数量积的计算公式，关键是掌握向量数量积的计算公式14已知函数 f（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，在（0，+）上单调递减，且 f（4）=0，若 f（x3）0，则 x 的取值范围为 1，3）7，+） 【分析】根据条件即可得出 f（x）在（，0）上单调递减，且得到 f（4）=0，从而可- 13 -根据 f（x3）0 得出：x30 时，f（x3）f（4） ，从而
19、得到 x34，这样即可得到 x7，同样可得出 x30 时 x 的范围，求并集即得出 x 的取值范围【解答】解：f（x）为奇函数，在（0，+）上单调递减；f（x）在（，0）上单调递减；又 f（4）=0；f（4）=0；f（x3）0；x30，即 x3 时：f（x3）f（4） ；f（x）在（0，+）上单调递减；x34；x7；x30，即 x3 时：f（x3）f（4） ；f（x）在（，0）上单调递减；x34；1x3；综上得，x 的取值范围为1，3）7，+） 故答案为：1，3）7，+） 【点评】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及减函数的定义及运用15已知函数 f（x）=lg（ +ax）图
20、象关于原点对称则实数 a 的值为 2 【分析】函数关于原点对称，通过表达式可知函数的定义域是 R，故得到函数是奇函数，根据奇函数的性质可得到；f（1）=f（1） ，f（1）=f（1） ，代入表达式得到参数值即可【解答】解：函数关于原点对称，通过表达式可知函数的定义域是 R，故得到函数是奇函数，故 f（1）=f（1） ， ， ，解得；a=2a=2故答案为：2【点评】本题考查了函数的奇偶性，对数的运算性质，属于基础题型- 14 -16下列命题中，真命题的序号是 “若 x2，则 x3”的否命题；“a（0，+） ，函数 y=ax在定义域内单调递增”的否定；“x 2+y2=0”是“xy=0”的必要条件；
21、函数 y=f（1+x）与函数 y=f（1x）的图象关于直线 x=1 对称【分析】，写出命题的否命题，再判断它的真假性；，判断原命题是假命题，得出该命题的否定是真命题；，判断充分性与必要性是否成立即可；，由函数图象平移变换知该命题是假命题【解答】解：对于， “若 x2，则 x3”的否命题是“若 x2，则 x3” ，它是真命题；对于， “a（0，+） ，函数 y=ax在定义域内单调递增 ”是假命题，该命题的否定是真命题；对于，由“x 2+y2=0”得出“xy=0”成立，即充分性成立，由“xy=0”不能得出“x 2+y2=0”成立，即必要性不成立，是充分不必要条件，是假命题；对于，函数 y=f（x）
22、和 y=f（x）的图象关于直线 x=0 对称，函数 y=f（1+x）的图象可由 y=f（x）的图象左移一个单位得到，函数 y=f（1x）=f（x1） ）图象可由 y=f（x）的图象右移一个单位得到，所以函数 y=f（1+x）和 y=f（1x）的图象关于直线 x=0 对称，是假命题；综上，正确的命题序号是故答案为【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是基础题三解答题（共 5 小题）17已知集合 A=y|y=log3（x4） ，xa，B=y|1y5，C=x|m+1x2m（1）若 a=13，求 R（AB） ；（2）若 a=85，且 AC=A，求 m 的取值范围【分析】 （1）先化简 A，B，再根据交
23、集和补集的定义即可求出，- 15 -（2）根据集合 A，C 的关系，列出不等式，解出参数的范围【解答】解：（1）a=13，x49，A=2，+） ，又 B=1，5，AB=2，5，C R（AB）=（，2）（5，+） （2）AC=A，CAa=85，x481，A=4，+） 若 C=，则 m+12m，m1若 C，则 ，则 m3综上，m 的取值范围为（，1）3，+） 【点评】本题考查集合的交并补运算，以及集合间的关系，属于基础题18设 aR，命题 q：xR ，x 2+ax+10，命题 p：x1，2，满足（a1）x10（1）若命题 pq 是真命题，求 a 的范围；（2） （p）q 为假， （p）q 为真，求
24、 a 的取值范围【分析】分别求出命题 p，q 成立的等价条件，（1）然后根据若 p、q 为真命题，列式计算，（2）由（p）q 为假， （p）q 为真p、q 同时为假或同时为真，分别求出确实实数m 的取值范围即可【解答】解：（1）p 真，则 或 得 ；q 真，则 a240，得2a2，pq 真， （2）由（p）q 为假， （p）q 为真p、q 同时为假或同时为真，若 p 假 q 假，则 ，a2，若 p 真 q 真，则 ，综上 a2 或 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的应用，利用条件先求出命题 p，q- 16 -的等价条件是解决本题的关键19已知函数 f（x）=e x+ax+b（x
25、R）在点 A（0，f（0） ）处的切线 l 的方程为 x+y2=0（）求函数 f（x）解析式；（）求 f（x）在 R 上的极值【分析】 （）求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由切线方程可得 a，b，进而得到所求解析式；（）求得 f（x）的导数，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间，即可得到所求极值【解答】解：（）函数 f（x）=e x+ax+b 的导数为 f（x）=e x+a，可得在点 A（0，f（0） ）处的切线斜率为 1+a，且 f（0）=1+b，由切线 l 的方程为 x+y2=0，可得 1+a=1，1+b=2，解得 a=2，b=1，则 f（x）=e x2x+1；
26、（）f（x）=e x2x+1 的导数为 f（x）=e x2，f（x）=0，可得 x=ln2，当 xln2，f（x）0，f（x）单调递减，xln2，f（x）0，f（x）单调递增，所以 f（x）有极小值，且为 f（ln2）=32ln2，无极大值【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，考查方程思想和运算能力，属于基础题20在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系已知曲线C：sin 2=2acos（a0） ，过点 P（2，4）且倾斜角为 的直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点（1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程；（2）若|PM|，|MN|
27、，|PN|成等比数列，求 a 的值- 17 -【分析】 （1）利用极坐标转化为普通方程求解（2）把参数表达式代入曲线 C 得出普通方程，利用韦达定理求解得出即可【解答】解：（1）sin 2=2acos 可变为 2sin2=2acos，曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2ax直线 l 的参数方程为 （2）将直线 l 的参数表达式代入曲线 C 得 ， 又|PM|=|t 1|，|PN|=|t 2|，|MN|=|t 1t 2|，由题意知，|t 1t 2|2=|t1t2|， （t 1+t2） 2=5t1t2，代入解得 a=1【点评】本题考查了参数，极坐标方程的运用，转化为普通方程求解，属于容易题21设函
28、数 f（x）=|ax1|（1）若 f（x）2 的解集为2，6，求实数 a 的值；（2）当 a=2 时，若存在 xR，使得不等式 f（2x+1）f（x1）73m 成立，求实数 m的取值范围【分析】 （1）通过讨论 a 的符号，求出 a 的值即可；（2）令 h（x）=f（2x+1）f（x1） ，通过讨论 x 的范围，得到函数的单调性，求出h（x）的最小值，从而求出 m 的范围即可【解答】解：（1）显然 a0，当 a0 时，解集为 ， ， ； 当 a0 时，解集为 ，令 ，无解，综上所述， ；（2）当 a=2 时，令 h（x）=f（2x+1）f（x1）- 18 -=|4x+1|2x3|= ；由此可知，h（x）在 单调减，在 和 单调增，则当 时，h（x）取到最小值 ，由题意知， ，则实数 m 的取值范围是 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分段函数以及分类讨论思想，是一道中档题
