1、- 1 -福建省莆田市第一中学 2018-2019 学年高二数学上学期第一次月考试题 理考试范围：必修 5；考试时间：120 分钟满分 150 分一、选择题(本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意)1.在等差数列 an中，如果 a1 a240， a3 a460，那么 a7 a8 ( )A.95 B.100 C.135 D.80【答案】B【解析】由等差数列的性质可知， a1 a2， a3 a4， a5 a6， a7 a8构成新的等差数列，于是a7 a8( a1 a2)(41)( a3 a4)( a1 a2)40320100.选 B.2.已
2、知等差数列 an中， a2+a8=16， a4=1，则 a6的值为 ( )A.15 B.17 C.22 D.64【答案】A【解析】等差数列 an中， a2+a8=16=2a5，即 a5=8，又 a4=1，故 d=7，从而 a6=a4+2d=15.故答案为：A.3.设数列 an的通项公式为 an=n2+bn，若数列 an是单调递增数列，则实数 b 的取值范围为 ( )A.1,+) B.-2,+) C.(-3,+) D.(- ,+)92【答案】C【解析】因该函数的对称轴 2bn,结合二次函数的图象可知当 3b,即 时,单调递增,应选 C.考点：数列的单调性等有关知识的综合运用.【易错点晴】数列是高
3、中数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助二次函数的对称轴进行数形结合,合理准确地建立不等式是解答好本题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴 2bn放在 1的左边而得 12b,而得 2的答案.这是极其容易出现的错误之一.4.下列命题中正确的是 ( )- 2 -A.若 ab，则 cB.若 ab， cd，则 acbdC.若 0， ，则 1abD.若 ， ，则【答案】C【解析】A,当 c=0 时， c，故不正确；B，若 ,abd则 ，则 ,adbc举例说明：a=3,b=2,c=-1,d=-2,则c，故选项不正确。D，若 0,c，则
4、有 .c故不正确；故选 C；5.已知数列 nb为等比数列，且首项 1b，公比 2q，则数列 21nb的前 10 项的和为( )A. 9413B. 1043C. 9413D. 043【答案】D【解析】数列 21nb代表奇数项的和，已知数列 nb为等比数列，故奇数项也是等比数列，公比为 4，首项为 1，每项和为： 1043故答案为：D.6.已知数列 满足 ，且 ，则 ( )A. B.11 C.12 D.23【答案】B【解析】数列 满足 ，且 ,根据递推公式得到故答案为：B.7.已知等差数列 na的公差 0,d若 4628,10,aa则该数列的前 n项和 S的最大值为 ( )A.50B. C. 5D
5、.35【答案】C- 3 -【解析】由 4628,10,aad得 46,a故2993110, 8nnSn，当 n=9 或 n=10 时， nS的最大值为9S或 10, 91045.【考点】等差数列性质及有关计算8.数列 an中， a1=0， an+1-an= ， an=9，则 n= ( )1n+ n+1A.97 B.98 C.99 D.100【答案】D【解析】由 an+1-an= = - ，1n+ n+1 n+1 n所以 an=( -1)+( - )+( - )= -1=9,所以 n=100，故选 D.2 3 2 n n-1 n考点：数列求和.9.若关于 x 的不等式 x2+ax-20 在区间1
6、,5上有解,则 a 的取值范围是 ( )A.(- ,+) B.- ,1 C.(1,+) D.(-, 235 235 235【答案】A【解一】令 f(x)=x2+ax-2,则 f(0)=-20 在区间 x1,5 上有解须且只需 f(5)0,即 25+5a-20,即 a 的取值范围是(- ,+).235本题选择 A 选项.【解二】因为 x2+ax-20 在区间 x1,5 上有解，所以不等式 ax2-x2,即 a -x 在区间 x1,5 上有解,2x令 y= -x,x1,5, 则 aymin,即 a-2x 235所以 a 的取值范围是(- ,+).235本题选择 A 选项.【解三】假设“关于 x 的
7、不等式 x2+ax-20 在区间1,5上无解”即关于 x 的不等式 x2+ax-20 在区间1,5恒成立，令 f(x)=x2+ax-2,则 f(0)=-2- 时,关于 x 的不等式 x2+ax-20 在区间1,5上无解235所以 a 的取值范围是(- ,+).235本题选择 A 选项.10.已知数列 n满足 1362,4a， na是等差数列，则数列 1na的前 10 项的和 10S ( )A.220 B.110 C.99 D.55【答案】B【解析】设等差数列 na的公差为 d，则 66315,aadd，将已知值和等量关系代入，计算得 2，所以 1,nnada，所以 023410=10S ，选
8、B.点睛：本题主要考查求数列通项公式和裂项相消法求和，属于中档题。本题的关键是求出数列 na的通项公式。11.等比数列 n的前 项和 132nSc( 为常数)，若 23nnaS恒成立，则实数的最大值是 ( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】由题意可知 32c且 na,可得213n,化简为 312n,由于均值不等式等号不成立,所以由钩型函数可知,当 n=1 时, max5.选 C.【点睛】等比数列,当 1q, nSA,对于恒成立,我们常用分离参数的方法,但是要注意用均值不等式时要对等号进行判定.- 5 -12.下列说法正确的是 ( )A.y=sinx+ ， x 没有最小值B.当
9、0 时， x(32 x)( )2恒成立C.已知 0 x4.5，则当 x2=92 x 时， x2(92 x)的值最大D.当 1 x10 时， y=lgx 的最小值为 2【答案】B【解析】解：由 x ，0sin1，令 sinx=t，t(0，1，则 f(t)=t+ ，t(0，1，易得 f(t)单调递减，当 t=1 时取最小值，最小值为 3， y=sinx+ ， x ，有最小值为 3，故 A 错误；由 0 x ，则 32 x0， x(32 x)( )2，恒成立，故 B 正确；0 x4.5，则 92 x0， x2(92 x)=xx(92 x)( )3=27.当且仅当 x=92 x，即 x=3 取等号，当
10、 x2(92 x)取得最大值 27 时，故 C 错误；当 1 x10 时，0lg x1，y=lgx 2 =2，当且仅当 lgx= ，即 x=10 时，取最小值，故 D 错误，故选 B.二、填空题(本大题共有 4 个小题,每题 3 分,共 12 分)13.等比数列 na的前 项和为 nS,已知 2150,9a,则 1a_.【答案】 19【解析】 3210S 24232131119aqa- 6 -14.数列 an满足 1nna， a2020=3,则 a3=_.【答案】23【解析】因为 an+1= ,所以 an=1- ,11-an 1an+1因为 a2020=3,所以 a2019= ,a2018=-
11、 ,a2017=3,23 12所以该数列以 3 为周期呈现,若把数列 a1, a2, a3,a2020倒置成新数列 bn,则 b1=a2020,b2=a2019,a9=b2012=b3670+2 =b2= .2315.若 x， y 满足约束条件10 xy，则 zxy的最小值为_【答案】-5【解析】由约束条件103 xy作出可行域如图，联立 3 10xy，解得 3,4B，化目标函数 2zxy为 2xz，由图可知，当直线 2z过 ,时，直线在 y轴上的截距最大， z有最小值为 345，故答案为 5.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“
12、一画、二移、三求”：(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；- 7 -(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.16.设数列 na的前 项和为 nS,已知 2a, 12nna,则 40S_【答案】240【解析】由 12nn，当 为奇数时，有 2n；当 为偶数时， na， 数列 na的偶数项构成以 为首项，以 1为公差的等差数列，则 401357392440S2010，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查数列的递推公式和利用“分组求和法”求数列前 n项和，属于中档题.利用“分组求和法”
13、求数列前 n项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.)17.(本小题 12 分)在等差数列 na中， 273， 829a求数列 na的通项公式；设数列 b是首项为 1，公比为 q的等比数列，求 nb的前 项和 nS【答案】(1)(2)当 时， 232nnS,当 时， 312nncS.试题分析：(1)设等差数列 na的公差是 d，由已知求出首项与公差，即可求出
14、数列 na的通项公式；(2)由数列 b是首项为 1，公比为 q的等比数列，结合(1)的结果，求出nb的通项公式，再利用等差数列与等比数列的前 项和公式求解即可.试题解析：设等差数列 na的公差是 d.- 8 -由已知 38276aad d 2713，得 1，数列 na的通项公式为 2na由数列 b是首项为 ，公比为 q的等比数列， 1nnq 113nn 21472nS 当 1q时， 1nn，当 q时， 312nnqS.【考点】等差等比数列.18.(本小题 12 分)已知等比数列 na满足 13240,.a，数列 nb的前 项和为 nS.(1)求数列 na的通项公式；(2)数列 nb的通项公式为
15、 21nb，求数列 nba的前 项和 nT.- 9 -19.(本小题 12 分)如图所示，在四边形 ABCD中， 2,且326cos.ADCB， ，1求 的面积；2若 43,求 A的长.【答案】(1) 42(2)8试题分析：(1)己知 DB,且 326cos.ACDB， ，sin2sinco3，再由三角形面积公式 1sin2ACDS，可解。(2)在 AC中，由角 D 的余弦定理可求得 AC=43，在 B中，由角 B 的余弦定理可求- 10 -得 AB 长。试题解析： 136cos,0sin.3BB2sin2in.D1si4.ACSD2由余弦定理知， 2cos43.ACD23cosB8A20.(
16、本小题 10 分)本公司计划 2018 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 50元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【答案】该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元.试题分析：先根据题意列约束条件以及目标函数，再作可行域，根据目标函数线平移确定最大值取法，最后利用解方
17、程组得最优解.试题解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x分钟和 y分钟，总收益为z元，由题意得30529 .xy， ，目标函数为 30zxy.二元一次不等式组等价于30529 .xy， ，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域.如图：- 11 -作直线 :3020lxy，即 320xy.平移直线 ，从图中可知，当直线 l过 M点时，目标函数取得最大值.联立 30 529.xy， 解得 102xy， .点 M的坐标为 ， .max3070zy(元).答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元.21.(本
18、小题 12 分)已知函数 2fxac的最低点为 1,2.(1)求不等式 7fx的解集；(2)若对任意 2,4，不等式 2fxt恒成立，求实数 t的取值范围.【答案】 (1) ,(2) 3,试题分析：(1)根据函数 2fxac的最低点为 1,2，得到对称轴与最小值，列方程组求出 1a， c，即可求得函数解析式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可；(2)由由 ft，可得 xtx，分别求出 x与x的最大值与最小值，利用不等式恒成立可得结果.试题解析：(1)依题意，得 21a，12fac，由解得， ， . 21fx.则原不等式可化为 80x，解得 4x或 2.故不等式 7f的解集为 ,.(2)由 24xtx，得 21xtx，- 12 -即 1xtx，则 1xtx，即2244t. ,x，21x的最小值是214.214的最大值是24. t，即 3t.故实数 的取值范围是 ,2.22.(本小题 12 分)在 中，角 的对边分别为 ，且 .(1)求角 的大小；(2)若 ，求 的最大值.【答案】(1) (2) 时， 取最大值试题分析：(1)由 ，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得 ，从而可得结果；(2)根据正弦定理可得 ，利用三角函数的有界性可得结果.试题解析：(1)在 中，由以及正弦定理得 .， ， . ， .(2) ， ，- 13 -由正弦定理得 ， ， .又 ， 时， 取最大值 .
