1、1福建师大附中 2018-2019 学年上学期期中考试高二（理科平行班）数学试卷时间： 120 分钟 满分： 150 分试卷说明：（1）本卷共三大题，22 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.若 a b0，则A 1a 1bB0 1abC ba ab D ab b22.从编号为 001，002，500 的 500 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为 007，0
2、32，则样本中最大的编号应该为A480 B481 C482 D4833.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件 P 表示“取出的都是黑球” ；事件 Q 表示“取出的都是白球” ；事件 R 表示“取出的球中至少有一个黑球” 则下列结论正确的是A P 与 R 是互斥事件 B Q 与 R 是互斥事件，但不是对立事件C P 与 Q 是对立事件 D Q 与 R 是对立事件4.已知 A， B 两名同学在 5 次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若 A， B 两人的平均成绩分别是 xA， xB，观察茎叶图，下列结论正确的是A xAxB， B 比 A 成绩稳定 C xAxB， A 比 B
3、成绩稳定5.中国古代数学著作“算法统宗”中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步使步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还” 其大意为：“有一个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地 ”则该人最后一天走的路程为A 里24B 里12C 里6D 里36.已知 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 a3 a927 a6，则 S112A18 B99 C198 D2977.若两个正实数 x,y 满足 ,且 恒成立,则实数 的取值范围是12myx2A )2,4(B )4,(C ),D ),28.执行如图所示的
4、程序框图，若输出的 S88，则判断框内应填入的条件是A k4? B k5? C k6? D k7?9.若关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围为x20mx1,2mA 2,)B (,)C 3,)D (3,)10.已知 x,y 满足约束条件 ，若 的最大值为 2，则 m 的值为0myx1xyA4 B5 C8 D911.某个泊位仅供甲乙两艘轮船停靠，甲乙两艘轮船都要在此泊位停靠 6 小时.若他们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率A 41B 31C 167D 1912.在 中， 是边 上一点， ， ，则CDAD23cosBCsinA 32B 3C 3
5、6D 2卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：每小题 5 分,共 20 分.13.设 满足约束条件 ，则 的最大值为 .yx,013yxyxz214. 下列说法正确的是 . （写出所有正确说法的序号） 如果命题“ ”与命题“ 或 ”都是真命题，那么命题 一定是真命题；pqq3DCBA命题“ ”的否定是“ ”.042,0xRx 042,xRx命题“若 ，则 ”的否命题是：“若 ，则 ”ab0ab特称命题 “ ，使 ”是真命题.00215.已知在 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 ， ABacos2，则 b+c 的最大值是 . 52a16.在 中，角 的对边分别为 且
6、 ，若三角形有两解，则ABC,c02,6A的取值范围为 .b三、解答题:6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）设 ， ，若 是 的必要不充分条件，求实数31:2xp2:(1)()0qxaxqp的取值范围a18 （12 分）一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了 个学生的成绩（满分为 100 分）进n行统计.按照50,60)，60,70)， 70,80)，80,90)，90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在50,60)， 90,100的数据）.(1)求样本容量 和频率分布直方图中 的值；n,xy(2)现从
7、在80,90)和90,100的两组的成绩中随机抽取 2 个，求它们属于同一组的概率.19.（12 分）在 中， ， ，点 在 上，且 ，ABC4ABDBC35cosD(1)求 ； in(2)求 ， 的长BA420 （12 分）已知数列 满足 .naNnan41,11(1)设 ，求证：数列 是等差数列，并求出 的通项公式；12nbnbn(2)设 ，求数列 的前 项和 .4ac1ncnT21 （12 分）2018 年 3 月 5 日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自 2018 年 1 月 1 日至 2020 年 12 月 31 日，对购置的新能源汽车
8、免征车辆购置税.某人计划于 2018 年 5 月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：月份 2017.12 2018.01 2018.02 2018.03 2018.04月份编号 t 1 2 3 4 5销量（万辆） 0.5 0.6 1 1.4 1.7(1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量 y（万辆）与月份编号 t 之间的相关关系.请用最小二乘法求 y 关于 t 的线性回归方程 ，并预测atb2018 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量；(2)2018 年 6 月 12 日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（
9、新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的 200 名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：补贴金额预期值区间（万元） 1,2) 2,3) 3,4) 4,5) 5,6) 6,7频数 20 60 60 30 20 10求这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值 的样本方差 及中位X2s数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到 0.1）.参考公式及数据：5回归方程 ，其中 ； .atby
10、tbyatnyinii ,12 815iiyt22 （12 分）数列 的前 项和为 ， nanS*3()naN(1)求出数列 的通项公式；n(2)设 ，求数列 的前 项和 ；)3(12bnbnT(3)若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.*Nn92)63(Skn k6福建师大附中 2018-2019 学年上学期期中考试高二（理科平行班）数学评分标准一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C D A C B A B D B C B二、填空题： 13. 3 14. 15. 16. 54)34,2(三、解答题:17.解：由 得12x3102x ，
11、即 3 分:p由 得2(1)()0xax()(1)0xa ，即3 分:q 是 的必要不充分条件qp 是 的必要不充分条件 8 分)2,1),(a ，解得 .10 分a18.解：（1）由题意可知，样本容量 ， ，840.21n210.5y6 分0.2.40.15).5x(（2）成绩在80,90)的共有 4 个，设这 4 个成绩分别为 ；成绩在90,100共有4321,a2 个，设这 2 个成绩分别为 .现从在80,90)和90,100的两组的成绩中随机抽取 2 个，21,b基本事件有：共有 15 个.),(,),(,),(, ),(,214123143 212432421 bababa baa同
12、属同一组的共有 7 个，所以属于同一成绩组的概率为 .12 分57719.解：（1） ，且 ， ，ADCB5cosADC5cosADB ，2 分25sincosB由 得， Asinsi()BADABsincocsD6 分252510()（）在 中，由正弦定理得 ，AB sinsiBADB 1042sin5DD9 分在 中，由余弦定理得ABC 22cosACBABC32542517 12 分1720. (1) bn+1 bn 2422an 1 1 22an 1 22(1 14an) 1 22an 1 4an2an 1 22an 1分数列 bn是等差数列 a11， b12，因此 bn2( n1)2
13、2 n，6 分由 bn 得 an .7 分22an 1 n 12n(2)由 cn ， an 得 cn ，8 分4ann 1 n 12n 2n 10 分)()( Tn .12 分1413214n21.解：（1）易知 ，04.1,yt82 分5432125 it，5 分08.32.041,3.0918.5125 tbyatybiii则 关于 的线性回归方程为 ，y 8.2ty当 时， ，6t0.2即 2018 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量约为 2 万辆6 分.（2） （i）根据题意，这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心里预期值 的X平均值 ，样本方差 及中位数的估计值分别
14、为：x2s，8 分10 分中位数的估计值为 .12 分22.解：（ ） ， ，123nSa*()nN当 时， ，得 ，1 分n11当 时 ，2()n-得： ，即 ，2 分123a123na ，13()nn16数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，na2 ，132n 4 分n（ ）由题意， ，5 分221(3)(21)nnnnba ，12315(2)()nnnT，234 12两式相减得23()nnn923 1()(2)nn1n3112()(2)nn88 分16()n（3） 123263nnSa对任意的 ,不等式 恒成立*N92)(nSk对任意的 ,不等式 恒成立9 分1n设 1239nc则 212397nn当 1 n5 时， cn+1-cn0，即 cn+1cn当 n6 时 cn+1-cn0，即 cn+1cn( cn)max=c6= 11 分128 12 分k
