1、1课时训练 21 直角三角形及勾股定理限时：30 分钟夯实基础1 下列各组数据中三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A B 1， C 6，7，8 D 2，3，43， 4， 5 2， 32 如图 K211， ABC 中， C90， A30， AB12，则 BC( )图 K211A 6 B 6 C 6 D 122 33 如图 K212，正方形 ABCD 的面积为 1，则以相邻两边中点连线 EF 为边的正方形 EFGH 的周长为( )图 K212A B 2 C 1 D 2 12 2 2 24 2018扬州如图 K213，在 Rt ABC 中， ACB90， CD AB 于 D， C
2、E 平分 ACD 交 AB 于 E，则下列结论一定成立的是( )图 K213A BC EC B EC BE C BC BE D AE EC25 选择用反证法证明“已知：在 ABC 中， C90 求证： A， B 中至少有一个角不大于 45”时，应先假设( )A A45， B45 B A45， B45C A45， B45 D A45， B456 2018徐州如图 K214，Rt ABC 中， ABC90， D 为 AC 的中点，若 C55，则 ABD 图 K2147 2018黄冈如图 K215，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm，在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜
3、，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计) 图 K2158 2018淮安如图 K216，在 Rt ABC 中， C90， AC3， BC5，分别以 A， B 为圆心，大于 AB 的长12为半径画弧，两弧交点分别为点 P， Q，过 P， Q 两点作直线交 BC 于点 D，则 CD 的长是 图 K21639 2018荆门如图 K217，在 Rt ABC 中， ACB90， BAC30， E 为 AB 边的中点，以 BE 为边作等边三角形 BDE，连接 AD， CD(1)求证： ADE CDB；(2)若
4、 BC ，在 AC 边上找一点 H，使得 BH EH 最小，并求出这个最小值 3图 K217能力提升10 2018东营如图 K218，点 E 在 DBC 的边 DB 上，点 A 在 DBC 的内部， DAE BAC90，AD AE， AB AC，给出下列结论： BD CE； ABD ECB45； BD CE； BE22( AD2 AB2) CD2其中正确的是( )4图 K218A B C D 11 如图 K219，矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，将 ABE 沿直线 BE 折叠后得到 GBE，延长 BG 交 CD 于点 F，若 AB6， BC4 ，则 FD 的长为( )6图 K219
5、A 2 B 4 C D 26 312 2018铜仁在直角三角形 ABC 中， ACB90， D， E 是边 AB 上两点，且 CE 所在直线垂直平分线段AD， CD 平分 BCE， BC2 ，则 AB 3图 K211013 2017齐齐哈尔如图 K2111，在 ABC 中， AD BC 于 D， BD AD， DG DC， E， F 分别是 BG， AC 的中点 (1)求证： DE DF， DE DF；(2)连接 EF，若 AC10，求 EF 的长 5图 K2111拓展练习14 2018十堰如图 K2112，Rt ABC 中， BAC90， AB3， AC6 ，点 D， E 分别是边 BC，
6、AC 上的2动点，则 DA DE 的最小值为 图 K2112615 已知点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(不与 A， B 重合)，分别过点 A， B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E， F， Q 为斜边 AB 的中点 (1)如图 K2113，当点 P 与点 Q 重合时， AE 与 BF 的位置关系是 ， QE 与 QF 的数量关系是 (2)如图，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予证明 (3)如图，当点 P 在线段 BA(或 AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明 图 K21137参考答案1
7、 B 2 A 3 B4 C 解析 根据同角的余角相等可得出 BCD A，根据角平分线的定义可得出 ACE DCE，再结合 BEC A ACE， BCE BCD DCE 即可得出 BEC BCE，利用等角对等边即可得出 BC BE ACB90， CD AB， ACD BCD90， ACD A90， BCD A CE 平分 ACD， ACE DCE又 BEC A ACE， BCE BCD DCE， BEC BCE， BC BE 故选 C5 A 6 357 20 解析 如图，点 E 与点 A 关于直线 l 对称，连接 EB，即为蚂蚁爬行的最短路径，过点 B 作 BC AE 于点8C，则 Rt EBC
8、 中， BC32216(cm)， EC314512(cm)，所以 EB 20(cm) EC2 BC28 1 6 解析 连接 AD，由作法可知 AD BD，在 Rt ACD 中， AC3，设 CD x，则 AD BD5 x，由勾股定理，得 CD2 AC2 AD2，即 x23 2(5 x)2，解得 x1 6故答案为 1 69 解：(1)证明：在 Rt ABC 中， BAC30， E 为 AB 边的中点， BC EA， ABC60 DEB 为等边三角形， DB DE， DEB DBE60， DEA120， DBC120， DEA DBC， ADE CDB(2)如图，作点 E 关于直线 AC 的对称点
9、 E，连接 BE交 AC 于点 H 则点 H 即为符合条件的点 由作图可知： EH BH BE， AE AE， EAC BAC30， EAE60， EAE为等边三角形， EE EA AB， AEB90 12在 Rt ABC 中， BAC30， BC ， AB2 ， AE AE ，3 3 3 BE 3，AB2 AE2 (2 3)2( 3)2 BH EH 的最小值为 3910 A 解析 DAE BAC90， AB AC， DAE EAB CAB EAB， ABC ACB45，即 DAB EAC AD AE， AB AC， DAB EAC， BD CE， DBA ECA，故正确 ABD ECB AC
10、E ECB ACB45，故正确 ABC45，在 EBC 中， EBA ABC ECB90， BEC90，即 BD CE，故正确 在 Rt BEC 中， BE2 BC2 CE2，在 Rt DEC 中， CE2 DC2 DE2， BE2 BC2 CE2 BC2( DC2 DE2) BC2 DE2 DC2Rt ABC 与 Rt ADE 都是等腰直角三角形， BC22 AB2， DE22 AD2， BE22 AD22 AB2 DC22( AD2 AB2) DC2，故正确 故选 A11 B12 4 解析 根据 CE 垂直平分 AD，得 AC CD，再根据等腰三角形的三线合一得 ACE ECD，结合角平分
11、线定义和 ACB90，得 ACE ECD BCD30，所以 ACD ADC A60， B BCD30，在 RtACB 中， B30， BC2 ， AB4 313 解：(1)证明： AD BC 于 D， BDG ADC90， BD AD， DG DC， BDG ADC(SAS)， BG AC10 AD BC 于 D， E， F 分别是 BG， AC 的中点， DE BG， DF AC， DE DF12 12 DE DF， BD AD， BE AF， BDE ADF(SSS)， BDE ADF， EDF EDG ADF EDG BDE BDG90， DE DF(2) AC10， DE DF AC
12、105 12 12 EDF90， EF 5 DE2 DF2 52 52 214 解析 如图，作 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AA，交 BC 于 F，过 A作 AE AC 于 E，交 BC 于 D，则163AD AD，此时 AD DE 的值最小，就是 AE 的长 Rt ABC 中， BAC90， AB3， AC6 ， BC 9，2 32 (6 2)2S ABC ABAC BCAF，36 9 AF，解得 AF2 ， AA2 AF4 ，12 12 2 2 2 AFD DEC90， ADF CDE， A C， AEA BAC90， AEA BAC， ，即 ，AAAE BCAC 42AE 962 AE ，即 AD DE 的最小值是 163 163故答案为 16315 解：(1) AE BF QE QF(2)QE QF证明：如图，延长 FQ 交 AE 于点 D11 AE CP， BF CP， AE BF，12 34， AQ BQ， AQD BQF， QD QF AE CP， QE 为斜边 FD 的中线， QE FD QF12(3)此时(2)中结论仍然成立 理由：如图，延长 EQ， FB 交于点 D AE CP， BF CP， AE BF，1 D23， AQ BQ， AQE BQD， QE QD BF CP， FQ 为斜边 DE 的中线 QF DE QE12
