1、1课时训练 32 四边形综合限时：30 分钟夯实基础1 2018滨州下列命题，其中是真命题的为( )A 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B 对角线互相垂直的四边形是菱形C 对角线相等的四边形是矩形D 一组邻边相等的矩形是正方形2 2018烟台对角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图 K321 所示，点 O 为对角线的交点，过点 O 所在直线折叠菱形，使 B 落到 B处， MN 是折痕 若 BM1，则 CN 的长为( )图 K321A 7 B 6 C 5 D 43 如图 K322，四边形 ABCD，四边形 AEFG 是正方形，点 E， G 分别在 AB， AD 上，连接
2、 FC，过点 E 作 EH FC交 BC 于点 H 若 AB4， AE1，则 BH 的长为( )图 K322A 1 B 2 C 3 D 3 24 如图 K323，在正方形 ABCD 中， DE 是 BDC 的平分线，若 CE 的长是 1，则正方形的边长是( )2图 K323A 2 B 1 C 2 1 D 122 2 25 2018金华如图 K324，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形 ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E， F 分别在边 AB， BC 上，三角形的边 GD 在边 AD 上，则 的值是 ABBC图 K3246 2018自贡如图 K325，在 ABC 中， AC BC2， AB
3、1，将它沿 AB 翻折得到 ABD，则四边形 ADBC 的形状是 形；点 P， E， F 分别为线段 AB， AD， DB 上的任意点，则 PE PF 的最小值是 图 K3257 2018贵阳节选如图 K326，在矩形 ABCD 中， AB2， AD3， P 是 BC 边上的一点，且 BP2 CP(1)用尺规在图中作出 CD 边上的中点 E，连接 AE， BE(保留作图痕迹，不写作法)；(2)如图，在(1)的条件下，判断 EB 是否平分 AEC，并说明理由 3图 K326能力提升8 2017内江如图 K327 所示，在矩形 AOBC 中， O 为坐标原点， OA， OB 分别在 x 轴， y
4、轴上，点 B 的坐标为(0，3 )， ABO30，将 ABC 沿 AB 所在直线对折后，点 C 落在点 D 处，则点 D 的坐标为( )3图 K327A B C D(32， 32 3) (2， 32 3) (32 3， 32) (32，3 32 3)9 如图 K328，正方形 ABCD 内有两点 E， F 满足 AE1， EF FC3， AE EF， CF EF，则正方形 ABCD 的边长为( )4图 K328A 4 B C 4 D 552 2 2 210 2018吉林如图 K329，在 ABC 中， AB AC，过 AB 上一点 D 作 DE AC 交 BC 于点 E，以 E 为顶点， ED
5、为一边，作 DEF A，另一边 EF 交 AC 于点 F(1)求证：四边形 ADEF 为平行四边形；(2)当点 D 为 AB 中点时， ADEF 的形状为 ； (3)延长图中的 DE 到点 G，使 EG DE，连接 AE， AG， FG，得到图，若 AD AG，判断四边形 AEGF 的形状，并说明理由 图 K3295拓展练习11 如图 K3210 所示，在四边形 ABCD 中， DAB60， BCD150，对角线 AC 平分 DAB， AC6，则DAB 的面积为 图 K321012 2018金华、丽水在 Rt ABC 中， ACB90， AC12 点 D 在直线 CB 上，以 CA， CD 为
6、边作矩形ACDE，直线 AB 与直线 CE， DE 的交点分别为 F， G(1)如图 K3211，点 D 在线段 CB 上，四边形 ACDE 是正方形 若点 G 为 DE 中点，求 FG 的长 若 DG GF，求 BC 的长 (2)已知 BC9，是否存在点 D，使得 DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由 图 K32116参考答案1 D 解析 等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但等腰梯形不是平行四边形，所以 A 选项是假命题;对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，对角线互相垂直但不互相平分的四边形不是菱形，所以 B 选项是假命题;对角线相等且互相平
7、分的四边形是矩形，对角线相等但不互相平分的四边形不是矩形，所以 C 选项是假命题;只有选项 D 是真命题 2 D 解析 (法一，排除法)连接 AC， BD，菱形 ABCD 中，AC6， BD8， CO3， DO4， CO DO， CD5，而 CN CD， CN5，故排除 A，B，C，故选 D(法二，正确推导)可证 BMO DNO， DN BM，由折叠得 BM BM1 DN，由法一知 CD5， CN4 3 C 4 D5 解析 设题图甲中正方形的边长为 2x，则 故答案为 214 ABBC AE EBAG GD x 2x4x 214 2146 菱 解析 AD BD AC BC，154四边形 ADB
8、C 是菱形 作 E 关于 AB 的对称点 E，根据菱形的对称性可知点 E在 AC 上，连接 EF 交 AB 于点 P， PE PF PE PF EF，当 EF 是 AC， BD 之间的距离时， EF 最小 过点 B 作 BH AC 于点 H，设 AH x，则 CH2 x，7由 AB2 AH2 BH2 BC2 CH2，得 1 x24(2 x)2，解得 x ， BH PE PF 的最小值为14 1 (14) 2 1541547 解：(1)如图所示，点 E 为 CD 边中点 (2)EB 不能平分 AEC 由于 E 为 CD 中点，则 ADE BCE，所以 AE BE，若 EB 平分 AEC，则 DE
9、A AEB CEB60，由于 DE1，所以 AD 与 AD3 矛盾，所以在(1)的条件下， EB 不能平分 AEC38 A 解析 四边形 AOBC 是矩形， ABO30，点 B 的坐标为(0，3 )， AC OB3 ， CAB30，3 3 BC ACtan303 3 333将 ABC 沿 AB 所在直线对折后，点 C 落在点 D 处， BAD30， AD3 3如图，过点 D 作 DM x 轴于点 M， CAB BAD30， DAM30 DM AD 3 12 12 3 332 AM ADcos303 332 92 OM AM AO 3 92- 32点 D 的坐标为 (32， 32 3)9 B81
10、0 解：(1)证明： DE AC， DEF EFC， DEF A， A EFC， EF AB，四边形 ADEF 为平行四边形 (2)菱形 理由如下：点 D 为 AB 中点， AD AB，12 DE AC，点 D 为 AB 中点， E 为 BC 中点， DE AC，12 AB AC， AD DE，平行四边形 ADEF 为菱形 (3)四边形 AEGF 为矩形，理由：四边形 ADEF 为平行四边形， AF DE， AF DE， AD EF， EG DE， AF EG，又 AF EG，四边形 AEGF 是平行四边形， AD AG， AG EF，四边形 AEGF 为矩形 11 9 解析 DAB60， A
11、C 平分 DAB，3 DAC CAB30， BCD150， ACB DCA150， ADC DCA150， ADC ACB， ADC ACB， ， ADAB AC236，ADAC ACAB作 AB 边上的高 DH，则 DH ADsin60， DAB 的面积 ABADsin609 12 312 解析 (1)由勾股定理可得 AG，由相似三角形的性质得 ，进而得 FG 的值;根据题意先证得FGAF EGAC 12 EAF EDF(设为 x)， EAF EDF B BFD x 根据三角形内角和定理列方程，解得 x30 在 RtABC 中，由 BC 可得解 ACtan309(2)存在 分情况讨论：点 D
12、 在线段 BC 上;点 D 在线段 BC 的延长线上，且直线 AB， CE 的交点 F 在 AE 上方;点 D 在线段 BC 的延长线上，且直线 AB， EC 的交点在 BD 下方;点 D 在线段 CB 的延长线上 解：(1)在正方形 ACDE 中有 DG GE6 在 Rt AEG 中，AG 6 AE2 EG2 122 62 5 EG AC， ACF GEF FG AG2 FGAF EGAC 612 12 13 5如图，在正方形 ACDE 中， AE ED， AEF DEF45 又 EF EF， AEF DEF12(设为 x) AE BC， B1 x GF GD，32 x在 DBF 中，3 F
13、DB B180， x( x90) x180，解得 x30， B30 在 Rt ABC 中， BC 12 ACtan30 3(2)存在 在 Rt ABC 中， AB 15 AC2 BC2 122 92如图，当点 D 在线段 BC 上时，此时只有 GF GD10 DG AC， BDG BCA设 BD3 x，则 DG4 x， BG5 x， GF GD4 x，则 AF159 x AE CB， AEF BCF， ， ，AEBC AFBF 9 3x9 15 9x9x即 x26 x50 解得 x11， x25(舍去)，腰长 GD4 x4 如图，当点 D 在线段 BC 的延长线上，且直线 AB， CE 的交点
14、 F 在 AE 上方时，此时只有 GF DG设 AE3 x，则 EG4 x， AG5 x， FG DG124 x AE BC， AEF BCF， ， ，即 x24 AEBC AFBF 3x9 9x129x27解得 x12， x22(舍去)，腰长 GD4 x1220 如图，当点 D 在线段 BC 的延长线上，且直线 AB， EC 的交点 F 在 BD 下方时，此时只有 DF DG 过点 D 作DH FG11设 AE3 x，则 EG4 x， AG5 x， DG4 x12 FH GH DGcos DGB(4 x12) ，45 16x485 GF2 GH 32x965 AF GF AG 5x 32x9
15、65 - 7x965 AC DG， ACF GEF， ， ，即 7x2288 ACEG AFFG 124x 15(7x96)15(32x96)解得 x1 ， x2 (舍去)，12147 -12147腰长 GD4 x12 8448147如图，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，此时只有 DF DG，过点 D 作 DH AG设 AE3 x，则 EG4 x， AG5 x，DG4 x12 FH GH DGcos DGB(4 x12) ，45 16x 485 FG2 FH 32x 96512 AF AG FG5 x -32x 965 96 7x5 AC EG， ACF GEF， ，ACEG AFFG ，即 7x2288 124x 15(96 7x)15(32x 96)解得 x1 ， x2 (舍去)，12147 -12147腰长 GD4 x12 8448147综上所述，等腰三角形 DFG 的腰长为 4，20， 8448147 ， 8448147
