1、1课时训练 31 正方形限时：30 分钟夯实基础1 不能判定四边形是正方形的是( )A 对角线互相垂直且相等的四边形B 对角线互相垂直的矩形C 对角线相等的菱形D 对角线互相垂直平分且相等的四边形2 如图 K311，边长分别为 4和 8的两个正方形 ABCD和 CEFG并排放在一起，连接 BD并延长交 FG于点 P，则DP等于( )图 K311A 2 B 4 C 2 D 12 23 2018仙桃如图 K312，正方形 ABCD中， AB6， G是 BC的中点 将 ABG沿 AG对折至 AFG，延长 GF交 DC于点 E，则 DE的长是( )图 K312A 1 B 1 5 C 2 D 2 54
2、2018德阳如图 K313，将边长为 的正方形绕点 B逆时针旋转 30，那么图中阴影部分的面积为( )32图 K313A 3 B C 3 D 33 3325 2018福清模拟在矩形 ABCD中，再增加条件 (只需填一个)可使矩形 ABCD成为正方形 6 2018深圳如图 K314，四边形 ACDF是正方形， CEA和 ABF都是直角且 E， A， B三点共线， AB4，则阴影部分的面积是 图 K3147 2018武汉以正方形 ABCD的边 AD为边作等边三角形 ADE，则 BEC的度数是 8 如图 K315， BD为正方形 ABCD的对角线， BE平分 DBC，交 DC于点 E，将 BCE绕点
3、 C顺时针旋转 90得到 DCF 若 CE1 cm，则 BF cm 图 K3159 2018青岛如图 K316，已知正方形 ABCD的边长为 5，点 E， F分别在 AD， DC上， AE DF2， BE与 AF相交于点 G，点 H为 BF的中点，连接 GH，则 GH的长为 3图 K31610 2018陕西如图 K317，已知：在正方形 ABCD中， M是 BC边上一定点，连接 AM 请用尺规作图法，在AM上求作一点 P，使 DPA ABM (不写作法，保留作图痕迹)图 K317能力提升11 2017天津如图 K318，正方形 ABCD和正方形 EFCG的边长分别为 3和 1，点 F， G分别
4、在边 BC， CD上，P为 AE的中点，连接 PG，则 PG的长为 图 K31812 2018北京如图 K319，在正方形 ABCD中， E是边 AB上的一个动点(不与点 A， B重合)，连接 DE，点 A关于直线 DE的对称点为 F，连接 EF并延长交 BC于点 G，连接 DG，过点 E作 EH DE交 DG的延长线于点 H，连接 BH(1)求证： GF GC；(2)用等式表示线段 BH与 AE的数量关系，并证明 4图 K319拓展练习13 2018台州如图 K3110，在正方形 ABCD中， AB3，点 E， F分别在 CD， AD上， CE DF， BE， CF相交于点 G 若图中阴影部
5、分的面积与正方形 ABCD的面积之比为 23，则 BCG的周长为 图 K3110514 2018龙岩质检如图 K3111，边长为 6的正方形 ABCD中， E， F分别是 AD， AB上的点， AP BE， P为垂足 (1)如图， AF BF， AE2 ，点 T是射线 PF上的一个动点，则当 ABT为直角三角形时，求 AT的长 3(2)如图，若 AE AF，连接 CP，求证： CP FP图 K31116参考答案1 A 2 B3 C 解析 连接 AE ABG沿 AG对折至 AFG， AB AF， GB GF3 四边形 ABCD是正方形， AB AD AF AE是公共边，Rt AFERt ADE(
6、HL) DE EF 设 DE x，则EF DE x， GE x3， CE6 x 在 Rt CGE中，由勾股定理得 CG2 CE2 GE2 3 2(6 x)2( x3) 2 解得x2 故选 C4 C 解析 由旋转可知1430，2360 BAM BCM90， AB BC， BM BM，Rt ABMRt CBM，2330 在 Rt ABM中， AB ，230，3则 AMtan30 AB1 S ABM S BMC ，32 S 阴影 S 正方形 ( S ABM S BMC)3 - 35 AB BC(答案不唯一)6 8 解析 四边形 ACDF是正方形， AC AF， CAF90， CAE BAF90， C
7、EA是直角， CAE ACE90， ACE BAF，则在 ACE和 FAB中， ACE AEC ABF90， ACE BAF，AC AF， FAB(AAS)， AB CE4，阴影部分的面积 S ABC ABCE 448 12 127 30或 150 解析 如图， ADE是等边三角形， DE DA， DEA160 四边形 ABCD是正方形， DC DA，290 CDE150， DE DC，3 (180150)15 同理可求得415 127 BEC30 如图， ADE是等边三角形， DE DA，1260 四边形 ABCD是正方形， DC DA， CDA90 DE DC，330，4 (18030)7
8、5 同理可求得12575 BEC360245150 故答案为 30或 1508 (2 )29 解析 四边形 ABCD是正方形， AB AD BC CD5， BAD D C90 又 AE DF，342ABE DAF， DAF ABE， ABE BAG90， BGF BGA90 在 Rt BCF中，CF3， BC5， BF 在 Rt BGF中，点 H为 BF的中点， GH BF 52 32 3412 34210 解：如图所示， AM与 DG的交点即为满足条件的点 P作法如下(题目不要求写作法，以下步骤可省略)：以点 D为圆心，以任意长为半径画弧交 AM于 E， F两点，分别以 E， F为圆心，以大
9、于 EF长为半径画弧，两弧交于点 G，12作直线 DG交 AM于点 P，则点 P即为所求点 11 解析 如图所示，延长 GE交 AB于点 N，过点 P作 PM GN于 M 由正方形的性质可知5AN AB BN AB EF2， NE GN GE BC FC2 根据点 P是 AE的中点及 PM AN，可得 PM为 ANE的中位线，所以 ME NE1 ， PM AN1，因此 MG2 根据勾股定理可得 PG 12 12 PM2 MG2 5812 解：(1)证明：连接 DF，如图：点 A关于直线 DE的对称点为 F， DA DF， DFE A90 DFG90 四边形 ABCD是正方形， DC DA DF
10、， C DFG90 又 DG DG，Rt DGFRt DGC(HL) GF GC(2)如图，在 AD上取点 P，使 AP AE，连接 PE，则 BE DP由(1)可知12，34，从而由 ADC90，得 222390， EDH45 又 EH DE， DEH是等腰直角三角形 DE EH1 AED5 AED90，15 DPE EBH(SAS) PE BH PAE是等腰直角三角形，从而 PE AE2 BH AE213 3 解析 正方形 ABCD中， AB3， S 正方形 ABCD3 29，15阴影部分的面积与正方形 ABCD的面积之比为 2 3，空白部分的面积与正方形 ABCD的面积之比为 1 3，
11、S 空白 3，9四边形 ABCD是正方形， BC CD， BCE CDF90 CE DF， BCE CDF(SAS)， CBE DCF， DCF BCG90， CBE BCG90，即 BGC90， BCG是直角三角形，易知 S BCG S 四边形 FGED ， S BCG BGCG ，32 12 32 BGCG3，根据勾股定理得： BG2 CG2 BC2，即 BG2 CG29 ( BG CG)2 BG22 BGCG CG292315， BG CG ，15 BCG的周长 BG CG BC3 1514 解：在正方形 ABCD中， DAB90 在 Rt BAE中，tan ABE ， ABE30 AE
12、AB 236 33(1)分三种情况：当点 T在 AB的上方， ATB90时，显然此时点 T和点 P重合，即 AT AP AB3 12当点 T在 AB的下方， ATB90时，如图所示 在 Rt APB中，由 AF BF，可得： AF BF PF3， BPF FBP30， BFT60 在 Rt ATB中， TF BF AF3， FTB是等边三角形， TB3， AT 3 AB2 BT2 310当点 T在 AB下方， ABT90时，如图所示 在 Rt FBT中， BFT60， BF3， BT BFtan603 3在 Rt ABT中， AT 3 AB2 BT2 7综上所述：当 ABT为直角三角形时， AT的长为 3或 3 或 3 3 7(2)证明：如图所示，在正方形 ABCD中， AB AD BC， AD BC， DAB90，34 在 Rt EAB中， AP BE，易知1290，2390 13，134 tan1 ，tan3 ，PBAP ABAE ， AE AF， AB BC， ，PBAP ABAE BPAP BCAF41， PBC PAF，56 6790，5790，即 CPF90，11 CP FP
