1、1课时训练 30 菱形限时：30 分钟夯实基础1 2017益阳下列性质中菱形不一定具有的性质是( )A 对角线互相平分B 对角线互相垂直C 对角线相等D 既是轴对称图形又是中心对称图形2 2018淮安如图 K301，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是( )图 K301A 20 B 24 C 40 D 483 2017临沂如图 K302 所示，在 ABC 中，点 D 是边 BC 上的点(与 B， C 两点不重合)，过点 D 作DE AC， DF AB，分别交 AB， AC 于 E， F 两点，下列说法正确的是( )图 K302A 若 AD BC，则
2、四边形 AEDF 是矩形B 若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形C 若 BD CD，则四边形 AEDF 是菱形2D 若 AD 平分 BAC，则四边形 AEDF 是菱形4 2018贵阳如图 K303，在菱形 ABCD 中， E 是 AC 的中点， EF CB，交 AB 于点 F，如果 EF3，那么菱形ABCD 的周长为( )图 K303A 24 B 18 C 12 D 95 如图 K304，四边形 ABCD 的四边相等，且面积为 120 cm2，对角线 AC24 cm，则四边形 ABCD 的周长为( )图 K304A 52 cm B 40 cm C 39 cm D 26 cm6
3、2018葫芦岛如图 K305，在菱形 OABC 中，点 B 在 x 轴上，点 A 的坐标为(2，3)，则点 C 的坐标为 图 K3057 如图 K306 所示，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O 若 AC6， BD8， AE BC，垂足为 E，则 AE 的长为 3图 K3068 2018龙岩质检如图 K307，四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是菱形，连接 AG， GE， AE，若 F60，EF4，则 AEG 的面积为 图 K3079 2018沈阳如图 K308，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC的
4、平行线，两直线相交于点 E(1)求证：四边形 OCED 是矩形；(2)若 CE1， DE2，则菱形 ABCD 的面积是 图 K3084能力提升10 如图 K309，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， CE BD， DE AC， AD2 ， DE2，则四边形 OCED3的面积为( )图 K309A 2 B 4 C 4 D 83 311 2018上海对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图 K3010)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅垂方向的边长称为该图形的高 如图，菱形 ABCD 的
5、边长为 1，边 AB 水平放置 如果该菱形的高是宽的 ，那么它的宽的值是 23 图 K301012 2018深圳已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图 K3011，在 CFE 中， CF6， CE12， FCE45，以点 C 为圆心，以任意长为半径作弧 AD，再分别以点 A 和点 D 为圆心，大于 AD 长为半径作弧，交 EF 于点 B， AB CD125(1)求证：四边形 ACDB 为 FEC 的亲密菱形；(2)求四边形 ACDB 的面积 图 K3011拓展练习13 2018镇江如图 K3012，点 E， F， G
6、分别在菱形 ABCD 的边 AB， BC， AD 上，AE AB， CF CB， AG AD 已知 EFG 的面积等于 6，则菱形 ABCD 的面积等于 13 13 136图 K301214 2018绍兴小敏思考解决如下问题：原题：如图 K3013，点 P， Q 分别在菱形 ABCD 的边 BC， CD 上， PAQ B，求证： AP AQ(1)小敏进行探索，若将点 P， Q 的位置特殊化：把 PAQ 绕点 A 旋转得到 EAF，使 AE BC，点 E， F 分别在边BC， CD 上，如图，此时她证明了 AE AF 请你证明 (2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图，作 AE BC
7、， AF CD，垂足分别为 E， F 请你继续完成原题的证明 (3)如果在原题中添加条件： AB4， B60，如图 请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案 图 K30137参考答案1 C 2 A 3 D4 A 解析 E 是 AC 的中点， EF CB， EF3， EF 是 ABC 的中位线， BC2 EF6 四边形 ABCD 是菱形， AB BC CD DA6，菱形 ABCD 的周长6424 5 A 6 (2，3)7 解析 四边形 ABCD 是菱形，245 AB BC， AC BD， AO AC3， BO BD4 12 12在 Rt ABO 中，由勾股定理得 AB5， BC5 8
8、 S ABC ACBD BCAE， AE 12 12 2458 4 39 解：(1)证明：四边形 ABCD 为菱形， AC BD， COD90 CE OD， DE OC，四边形 OCED 是平行四边形 COD90，平行四边形 OCED 是矩形 (2)410 A11 解析 如图，将菱形 ABCD 放置在一个水平矩形 AFCE 中，设宽 AF 为 a，则高 CF 为 a，因为菱形 ABCD1813 23的边长为 1，所以 BF 为 a1，在 Rt BCF 中，由勾股定理得( a1) 2 21 2，解得 a 或 a0(舍去) (23a) 181312 解：(1)证明：由已知尺规作图痕迹得： AC C
9、D， AB BD， CB 是 FCE 的平分线， ACB DCB，又 AB CD， ABC DCB， ACB ABC， AC AB 又 AC CD， AB BD， AC CD AB BD，四边形 ACDB 为菱形，又 ACD 与 FEC 中的 FCE 重合，它的对角 ABD的顶点 B 在重合角的对边 FE 上，四边形 ACDB 为 FEC 的亲密菱形 (2)设菱形 ACDB 的边长为 x， CF6， CE12， FA CF AC6 x， AB CD， FAB FCE， ，AFCF ABCE即 ，解得 x4，6 x6 x12过点 A 作 AG CE 于点 G，则在 Rt ACG 中， ACG45
10、，sin ACG ，即 sin45 ，解得AGAC AG4 22AG4 2 ，四边形 ACDB 的面积 AGCD2 48 22 2 2 2913 27 解析 在边 CD 上取点 H，使 CH CD，连接 FH， HG， AC， BD， AC 与 BD 相交于点 O， EG 交 AC 于点13P， EF 交 BD 于点 Q，连接 PQ，则由对称性可知，四边形 EFHG 是平行四边形，且 EG BD FH， EF AC GH，点 O 在 FG上， S 四边形 OPEQ2 S OPG2 S OFQ 因为 EFG 的面积为 6，所以 S OPG S OFQ ， S 四边形 OPEQ3 因为 EP OB
11、，所以32AEP ABO，设 S AEP x，所以 2 2 ，即 S AOB9 x 同理 S BQE S AOB4 x，所以 S 四边形S AEPS AOB(AEAB) (13) 19 49OPEQ9 x x4 x4 x3，解得 x ，所以 S AOB9 ，所以 S 菱形 ABCD4 S AOB4 27 34 34 274 27414 解析 (1)可先求出 AFC AFD90，然后证明 AEB AFD 即可;(2)先求出 EAP FAQ，再证明 AEP AFQ 即可;(3)可以分三个不同的层次，直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度，也可求菱形的周长 可求PC CQ， BP QD， APC A
12、QC 的值 可求四边形 APCQ 的面积、 ABP 与 AQD 的面积和、四边形 APCQ 周长的最小值等 解：(1)证明：如图，在菱形 ABCD 中， B C180， B D， AB AD， EAF B， C EAF180， AEC AFC180 AE BC， AEB AEC90， AFC90， AFD90， AEB AFD，10 AE AF(2)证明：如图， PAQ EAF B， EAP EAF PAF PAQ PAF FAQ AE BC， AF CD， AEP AFQ90 AE AF， AEP AFQ， AP AQ(3)答案不唯一，举例如下：层次 1：求 D 的度数 答案： D60 分别求 BAD， BCD 的度数 答案： BAD BCD120 求菱形 ABCD 的周长 答案：16 分别求 BC， CD， AD 的长 答案：4，4，4 层次 2：求 PC CQ 的值 答案：4 求 BP QD 的值 答案：4 求 APC AQC 的值 答案：180 层次 3：求四边形 APCQ 的面积 答案：4 3求 ABP 与 AQD 的面积和 答案：4 311求四边形 APCQ 周长的最小值 答案：44 3
