1、1湖南省邵阳市 2017 届高三数学下学期第二次联考试题 文（含解析）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 ，集合 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得， ,故选 C.2. 复数 的实部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得， ，其实部为 2，故选 D.3. 假设有两个分类变量 和 的 列联表为:总计x2 c 30 c+30总计 60 40 100对同一样本,以下数据能说明 与 有关系的可能性最大的一组为 ( )X YA. B.
2、 C. D. a=45,c=15 a=40,c=20 a=35,c=25 a=30,c=30【答案】A【解析】由题意可得，当 与 相差越大，X 与 Y 有关系的可能性最大，分析四组选项，aa+10 cc+30A 中的 a,c 的值最符合题意，故选 A.24. “ ”是 “函数 在区间 无零点”的（ ）m1 f(x)=3x+m33 1,+)A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数 在区间 无零点，则f(x)=3x+m-33 1,+) 3m+133m+132m12故选 A.5. 已知函数 的最小正周期为 ，则函数 的图象（ ）f
3、(x)=cos(x6)(0) f(x)A. 可由函数 的图象向左平移 个单位而得g(x)=cos2x3B. 可由函数 的图象向右平移 个单位而得g(x)=cos2x3C. 可由函数 的图象向左平移 个单位而得g(x)=cos2x6D. 可由函数 的图象向右平移 个单位而得g(x)=cos2x6【答案】D【解析】由已知得， 则 的图象可由函数 的图象向右平移=2=2 f(x)=cos(2x3) g(x)=cos2x个单位而得，故选 D.66. 执行如图的程序框图,若输入 的值为 ,则输出 的值为( )k 3 SA. B. C. D. 10 15 18 21【答案】B【解析】由题意可得, n=2,
4、S=3;n=3,S=6;3n=4,S=10;n=5,S=15程序结束，故选 B.7. 已知 ，曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则当 取最小值时 的值为a0 f(x)=2ax21ax (1,f(1) k k a（ ）A. B. C. D. 12 23 1 2【答案】A【解析】由题意可得, ，则当 时， 取最小值为 4，故f(x)=4ax+1ax2,f(1)=4a+1a a=12 f(1)选 A.8. 若实数 满足不等式组 ，且 的最大值为 ，则 等于（ x,y xy+20x+2y402x+y50 3(xa)+2(y+1) 5 a）A. B. C. D. 2 1 2 2【答案】C【解析】实数 x，
5、y 满足不等式组 ，可行域如下图：x-y+20x+2y-402x+y-50的最大值为 5，由可行域可知 z=3x+2y+2-3a，经过 A 时，z 取得最大值，3(x-a)+2(y+1)由 ，可得 A（1，3）可得 3+6+2-3a=5，xy+2=02x+y5=0解得 a=2，故选 C.9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )4A. B. C. D. 6 9 12 18【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为一个长方体和一个三棱柱，则其的体积,故选 C.V=12441+221=1210. 若 ，则实数 的值为( )tan12cos512=sin512msin12 mA. B.
6、C. D. 23 3 2 3【答案】A【解析】由 得， ，故选 A.tan12cos512=sin512-msin12 12msin6=sin(51212)m=2311. 已知 在区间 内任取一个为 ，则不等式f(x)=2,00) F M(x0,22)(x0p2) C M线段 相交于点 ，且被直线 截得的弦长为 .若 ，则 等于( )MF A x=p2 3|MA| |MA|AF| =2 |AF|A. B. C. D. 32 1 2 3【答案】B【解析】由题意：M（x 0，22）在抛物线上，则 8=2px0，则 px0=4，由抛物线的性质可知, ， ，则 ，|DM|=x0p2 |MA|AF| =
7、2 |MA|=2|AF|=23|MF|=23(x0+p2)被直线 截得的弦长为3|MA|，则 ，x=p2 |DE|=32|MA|=33(x0+p2)由 ，在 RtMDE 中，丨 DE 丨 2+丨 DM 丨 2=丨 ME 丨 2，即|MA|=|ME|=r，13(x0+p2)2+(x0p2)2=49(x0+p2)2代入整理得： ，4x20+p2=20由，解得：x 0=2，p=2， ，|AF|=13(x0+p2)=1故选：B【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点 A 到焦点的距离转化为点 A到其准线的距离
8、是关键.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，若 ，则 _a=(3,m) b=(1,2) ab=b2 m=6【答案】 1【解析】由题意可得， ，故答案为-1.ab=b232m=5m=114. 已知双曲线 的左、右端点分别为 ，点 ，若线段 的垂x2a2y2b2=1(a0,b0) A,B C(0, 2b) AC直平分线过点 ，则双曲线的离心率为 _B【答案】102【解析】由题意可得， 为正三角形，则 ，所以双曲线的离心率 ABC 2b= 3c 1+(ba)2=102.15. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积
9、的“三斜公式” ，设三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 ，则“三斜求积”公式为ABC A B C a b c S.若 ， ，则用“三斜求积”公式求得S=14a2c2(a2+c2b22 )2 a2sinC=4sinA (a+c)2=12+b2的面积为 _ABC【答案】 3【解析】由正弦定理得，由 得 ，则由 得 ，a2sinC=4sinA ac=4 (a+c)2=12+b2 a2+c2b2=4则 .SABC=14(154)= 316. 在长方体 中,底面 是边长为 的正方形, , 是 的中ABCDA1B1C1D1 ABCD 2 AA1=3E AA1点,过 作 平面 与平面 交于点
10、 ,则 与平面 所成角的正切值为C1 C1F BDE ABB1A1 F CF ABCD_【答案】56【解析】连结 AC、BD，交于点 O， 四边形 ABCD 是正方形，AA 1底面 ABCD，BD平面 ACC1A1，则当 C1F 与 EO 垂直时，C 1F平面 BDE，F平面 ABB1A1，FAA 1，CAF 是 CF 与平面 ABCD 所成角，在矩形 ACC1A1中，C 1A1FEAO，则 ，A 1C1=2AO=2AB=2， ，7 ，AF= ， CF 与平面 ABCD 所成角的正切值为 故答案为： 【点睛】本题考查线面角的正切值的求法,平面内相似三角形的应用，线面垂直性质的应用，属于中档题，
11、解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养,仔细计算即可得出正确答案.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在数列 中， .an a2=23（1）若数列 满足 ，求 ；an 2anan+1=0 an（2）若 ，且数列 是等差数列.求数列 的前 项和 .a4=47 (2n1)an+1 nan n Tn【答案】(1) ;(2) .an=2n13 Tn=n2【解析】试题分析：（1）由 ， 求出数列a n的首项，并得到数列a n是a2=23 2an-an+1=0以 为首项，以 2 为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（2）由已知结合
12、数13列（2n-1）a n+1是等差数列求其公差，进一步得到数列（2n-1）a n+1的通项公式，代入 ，再由等差数列的前 n 项和得答案nan试题解析：（1） ， ， ，且 ，即数列 是公比为 的等比数列.2an-an+1=0 a2=23 an0 an+1an=2 an 28.an=232n-2=2n-13（2）设 ，则数列 是等差数列， ， ， ， ，cn=(2n-1)an+1 cn a2=23 a4=47 c2=3 c4=5数列 的公差为 ， ， ， ，cn 1 cn=3+(n-2)=n+1 (2n-1)an+1=cn=n+1 an=n2n-1，即数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
13、.nan=2n-1 nan 1 2 Tn=n(1+2n-1)2 =n218. 某中学举行了一次“环保只知识竞赛” ，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 分）作为样本进行统100计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表（如图所示） ，解决下列问题.（1）求出 的值；a,b（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是 分以上（含 分）的同学中随机抽取 名同学到80 80 2广场参加环保只是的志愿宣传活动.1）求所抽取的 名同学中至少有 名同学来自第 组的概率；2 1 52）求所抽取的 名同学来自同一组的概率.2【答案】(1) , ;(2)1
14、) ;2) .a=16b=0.0435 715【解析】试题分析：（1）利用频率分布表和频率分布直方图，由题意能求出 a，b，x，y的值；（2） （）由题意可知，第 4 组共有 4 人，记为 A，B，C，D，第 5 组共有 2 人，记为 X，Y从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学，有 15 种情况由此能求出随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率；（）设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F，有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY 共 7 种情况，由此能求出随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率试题解析：（1）由题意可知，样本
15、总人数为 ， ， ，80.16=50 b=250=0.04500.08=49.a=50-8-20-4-2=16（2）1）由题意可知，第 组共有 人，记为 ，第 组共有 人，记为 .从竞4 4 A,B,C,D 5 2 X,Y赛成绩是 分以上（含 分）的同学中抽取 名同学有 ， ，80 80 2 AB，AC，AD BC，BD，CD共 种情况.设 “随机抽取的 名同学中至少有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY 15 2名同学来自第 组”为事件 ，有 共 种情况.1 5 E AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY 9所以 .即随机抽取的 名同学中至少有 名同学来自第 组
16、的概率是 .P(E)=915=35 2 1 5 352）设“随机抽取的 名同学来自同一组”为事件 ，有 共 2 F AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY 7种情况.所以 .即随机抽取的 名同学来自同一组的概率是 .P(F)=715 2 71519. 在如图所示的几何体中，四边形 是矩形， 平面 ，BB1C1C BB1 ABC是 的中点.A1B1/AB,AB=2A1B1,E AC（1）求证： 平面 ；A1E/ BB1C1C（2）若 ， ，求证平面 平面 .AC=BC AB=2BB1 BEA1 AA1C1【答案】(1)详见解析;(2) 详见解析.【解析】试题分析：（1）取 AB 的中点 F，连
17、结 EF，A 1F则可通过证明平面 A1EF平面BB1C1C 得出 A1E平面 BB1C1C；（2）连结 CF，则可得出 CFA 1C1，通过证明 CF平面ABB1A1得到 CFA 1B即 A1C1A 1B，利用勾股定理的逆定理得出 AA1A 1B，于是 A1B平面AA1C1，从而平面 BEA1平面 AA1C1试题解析：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ， ，AB F EF,A1F AB=2A1B1 AF=A1B1 A1B1/AB. 是 的中位线， ， ，平面 平面 ，FA1/BB1 EF ABC EF/CB EFFA1=F A1EF/ BB1C1C 平面 ， 平面 .A1E A1EF
18、A1E/ BB1C1C10（2）解：连接 ， ， ， 是矩形， 且 ，CF AC=BC CFAB BB1C1C A1E=CC1 A1E/CC1四边形 是平行四边形，则 . ， ， 平面A1FCC1 A1C1/CF CFBB1 BB1AB=B CF，则 ，由（1）得 是等腰三角形，又四边形 是正方形，ABB1A1 CFBA1 ABA1 FBB1A1，即 ， 平面 ，则 平面 .AA1B=90 BA1AA1 BA1 AA1C1 BEA1 AA1C120. 已知右焦点为 的椭圆 关于直线 对称的图形过坐标原点.F(c,0) M:x2a2+y23=1(a0) x=c（1）求椭圆 的方程；M（2）过点
19、且不垂直于 轴的直线与椭圆 交于两点 ，点 关于 轴的对称点为 .证(4,0) y M P、Q Q x E明：直线 与 轴的交点为 .PE x F【答案】(1) ;(2) 详见解析.x24+y23=1【解析】试题分析：（1）由题意可得：a=2c，又 a2=3+c2，解得 a2 即可得出椭圆 M 的方程；（2）设直线 PQ 的方程为：y=k（x-4） （k0） ，代入椭圆方程可得：（3+4k 2）x 2-32k2x+64k2-12=0，设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，E（x 2，-y 2） ，直线 PE 的方程为：，令 y=0，可得 ，把根与系数的关系代入即可证明yy1=y1
20、+y2x1x2(xx1) x=y1x1x2y1+y2+x1试题解析：（1）由题意得椭圆 的焦点在 轴上，椭圆 关于直线 对称的图形过坐标原点，M x M x=c， ， ，解得 .椭圆 的方程为 .a=2c a2=3+c234a2=3 a2=4 M x24+y23=1（2）证明：易知直线 的斜率必存在，设直线 的方程为 ，代入PQ PQ y=k(x-4)(x0)得 ，由 得，x24+y23=1 (3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0 =(-32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)0.设 ， ， ，则 ， ，则直线 的k(-12,12) P(x1,y1) Q(x2,y2) E(
21、x2,-y2) x1+x2=32k23+4k2 x1x2=64k2-123+4k2 PE方程为 .令 得 y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1) y=0 x=-y1x1-x2y1+y2+x1=x1y2+x2y1y1+y2 =x1k(x2-4)+x2k(x1-4)k(x1+x2-8)11，直线 过定点 ，又 的右焦点为 ，直线=2x1x2-4(x1+x2)(x1+x2-8) =264k2-123+4k2-432k23+4k232k23+4k2-8 =1 PE (1,0) M (1,0)与 轴的交点为 .PE x F【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、注意运用椭圆的定义，考查了直线与椭圆
22、相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，化简很复杂易出错，属于难题.21. 已知 ， ，其中 是自然常数， .f(x)=axlnx，x(0,e g(x)=lnxx e aR（1）当 时，求 的极值，并证明 恒成立；a=1 f(x) f(x)g(x)+12（2）是否存在实数 ，使 的最小值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.a f(x) 3 a【答案】(1)详见解析;(2) .a=e2【解析】试题分析：（1）求出函数 f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出 f（x）的极小值，令 ，求出 h（x）的最大值，从而h(x)=g(x)+12=
23、lnxx+12证出结论即可；（2）求出函数 f（x）的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数 f（x）的最小值，求出 a 的值即可试题解析：（1）证明： ， .当 时， ，此时单调递减；当 时， ，此时 单调递增. 的极小值为 .即 在 上的最小值为 .令 ， ，当时， ， 在 上单调递增， 恒成立.（2）假设存在实数 ，使 有最小值 ， .a f(x)=ax-lnx(x(0,e) 3 f(x)=a-1x=ax-1x当 时， 在 上单调递减， ， （舍去） ， 时，a0 f(x) (0,e f(x)min=f(e)=ae-1=3 a=4e a0不存在 使 的最小值为 3.a f(x)当 时， 在
24、 上单调递减，在 上单调递增， ，01（2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.x f(x)+4|12m| m【答案】(1) ;(2) .(0,+) 3m413【解析】试题分析：（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式 f（x）1 解集;（2）根据题意可得|x+2|-|x-1|+4|1-m|有解，即|x+2|-|x-1|+4 的最大值大于或等于|1-m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|-|x-1|+4 的最大值，从而求得 m 的范围试题解析：（1）函数 可化为当 时， ，不合题意；当 时，即 ；当 时， ，即 .综上，不等式 的解集为 .（2）关于 的不等式 有解等价于 ，由（1）可知 ， （也可由 ，得） ，即 ，解得 .
