1、- 1 -湖南省怀化三中 2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理时量：120 分钟 分值：150 分1、选择题：本大题共 10小题。每小题 5分，共 50分。1.设 a,b,cR, 且 ab,则( )A.acbc B. C.a2b2 D.a3b31ab2.动点 到点 及点 的距离之差为 ，则点 的轨迹是 （ ）P)0,(M),3(NPA双曲线 B 双曲线的一支 C 两条射线 D 一条射线3.“1x2”是“x2”成立的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.设 ，集合 是奇数集，集合 是偶数集。若命题 ，则（ ）xZAB:,2pxAB
2、A B.:,2px:,C D.5.设首项为 ，公比为 的等比数列 的前 项和为 ，则（ ）13nanS（A） （B） （C） （D）2nSa2S43a32nnSa6.若 2x+2y=1,则 x+y的取值范围是 ( )A B C D0,7.抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（ ）24yx213yx（A） （B） （C） （D）1 38.设等差数列 的前 项和为 ，若 , , ，则 （ ）nanS21m0mS1mA. B. C. D.34569.已知锐角 的内角 的对边分别为 ， ，ABC,abc23osc0A， ，则 （ ）7a6cb（A） （B） （C） （D）10985- 2 -10.
3、已知椭圆 的右焦点 ，过点 的直线交 于 ， 两:E)0(12bayx )0,3(FEAB点，若 的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）AB),(EA. B. C. D.136452yx12736yx1827yx192yx二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.在ABC 中，a=3,b=5,sinA= ,则 sinB=.312.不等式 的解集为.20x13.设 满足约束条件 ，则 的最大值为.,y1,0xy2zxy14.已知 是等差数列， ，公差 ， 为其前 项和，若 、 、 成等比数na1adnS1a25列，则 8S15.直线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线垂
4、足3yx24yx,AB,分别为 ，则梯形 的面积为.,PQA三.解答题： 16.（12分）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个内接矩形花园(阴影部分), 则当边长 x为何值时，花园面积最大并求出最大面积- 3 -17.（12 分）已知 有两个不等的负根， 无实根，2:10pxm2:4()10qxmx若 为真， 为假，求 m的取值范围.pq18.（12 分）ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB.(1)求 B.(2)若 b=2,求ABC 面积的最大值.19.（12 分）设 为数列 的前项和，已知 ，2 ， NnSna01annSa1（）求 ， ，
5、并求数列 的通项公式；() 求数列 的前 项和。1a2- 4 -20.( 13分)双曲线 x2 =1（b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，直线 l过 F2且与双曲线交于 A，B 两点（1）直线 l的倾斜角为 ，F 1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设 b= ，若 l的斜率存在，且（ + ） =0，求 l的斜率21.( 14分)已知椭圆 的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴）（： 01x2bayC的一个端点构成正三角形.（）求椭圆 的标准方程；（）设 为椭圆 的左焦点， 为直线 上任意一点，过 作 的垂线交椭圆FT3xFT于点 ， .CPQ（i）证明： 平分线段 （其中 为坐标
6、原点） ；OPQO（ii）当 最小时，求点 的坐标.|PTFT- 5 -2017年下期期中考试高二年级理科数学试题答 案 选择题：1-5: D D A C D 6-10：D B C D D填空题：11、 12、 13、3 14、 15、4859|21x64解答题：16、（12分）设矩形高为 y, 由三角形相似得: 40,0,40yxyx且.20240 取 最 大 值时 ， 矩 形 的 面 积仅 当 sxx17、 （12 分）解：p：方程 x2+mx+1=0有两个不相等的负实根， ，m2，又q：方程 4x2+4(m-2)x+1=0无实根， ，1m3， -6 分又 p或 q为真，p 且 q为假，当
7、 p真 q假时， 或 ，m3；当 p假 q真时， ，1m2；综上所述，m 的取值范围是m|1m2 或 m3。 -12 分18、 （12 分）(1)因为 a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,因为 sinC0,- 6 -所以 tanB=1,解得 B= -6分.4(2)由余弦定理得: b2=a2+c2-2accos ,即 4=a2+c2- ac,由不等式得 a2+c22ac,当且仅当a=c时,取等号,所以 4(2- )ac,解得 ac4+2 ,所以
8、ABC 的面积为acsin (4+2 )= +1.所以ABC 面积的最大值为 +1. 124222-12分19、 （12 分） （）令 ，得 ，因为 ，所以 ，1n211a011a令 ，得 ，解得 。当 时，由2n222sa2nnns2，两式相减，整理得 ，于是数列 是首项为 1，公比为 2的等11ns 1n比数列，所以， 。 -5 分1n()由(I )知 ，记其前 项和为 ，于是2nanT1231Tnn 23 -得 nn 2121从而 -12分1()nnTA20、( 13 分)（1）双曲线 x2 =1（b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，a=1，c 2=1+b2，直线 l过 F2且与双曲
9、线交于 A，B 两点，直线 l的倾斜角为 ，F 1AB是等边三角形，可得：A（c，b 2） ，可得： ，3b 4=4（a 2+b2） ，即 3b44b 24=0，b0，解得b2=2所求双曲线方程为：x 2 =1，其渐近线方程为 y= x -5 分（2）b= ，双曲线 x2 =1，可得 F1（2，0） ，F 2（2，0） - 7 -设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，直线的斜率为：k= ，直线 l的方程为：y=k（x2） ，由题意可得： ，消去 y可得：（3k 2）x 2+4k2x4k 23=0，=36（1+k 2）0，可得 x1+x2= ，则 y1+y2=k（x 1+x24）=
10、k（ 4）= =（x 1+2，y 1） ， =（x 2+2，y 2） ，（ + ） =0可得：（x 1+x2+4，y 1+y2）（x 1x 2，y 1y 2）=0，可得 x1+x2+4+（y 1+y2）k=0，得 +4+ k=0可得：k 2= ，解得 k= l 的斜率为： -13 分21、( 14 分)（1）依条件222634caabb，所以椭圆 C的标准方程为 16xy-3分（2）设 (3,)Tm， 1(,)P， 2(,)Q，又设 P中点为 0(,)Nxy，因为 0F，所以直线 的方程为： 2xmy，22(3)42016xyy，所以22128()(1)43mmy，- 8 -于是 1203ym，20 263mxy，所以 226(,)N因为 OTONkk，所以 O， ， T三点共线，即 OT平分线段 PQ（其中 O为坐标原点） -8 分 2|1Fm，22214(1)|13mPQy，所以22|4()()3T，令 2x（ 1） ，则2| 123()6FxxPQ（当且仅当 2x时取“ ”） ，所以当 |T最小时， 2即 1m或 ，此时点 T的坐标为 (3,1)或 (,). -14分
