1、- 1 -2017-2018 学年度第二学期期末联考试题高二数学（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数 ，则复数 的共轭复数是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果.详解：因为 ，所以 ,所以复数 的共轭复数是 ,选 B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为2. 已知 为正整数用数学归纳法证明 时，假
2、设 时命题为真，即 成立，则当 时，需要用到的 与 之间的关系式是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据条件确定 式子，再与 相减得结果.详解：因为 ，所以，所以 ,选 C.点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.3. 某村庄对改村内 50 名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：- 2 -每年体检 每年未体检 合计老年人 7年轻人 6合计 50已知抽取的老年人、年轻人各 25 名.则完成上面的列联表数据错误的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据列联表列方程组，解得 a,b,c,d,e,f,再判断真假. 详解：因为 ，
3、所以选 D.点睛：本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.4. 已知双曲线 的两个焦点分别为 ，过右焦点 作实轴的垂线交双曲线 于 ， 两点，若 是直角三角形，则双曲线 的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意结合双曲线的结合性质整理计算即可求得最终结果.详解：由双曲线的对称性可知： ，则 为等腰直角三角形，故 ，由双曲线的通径公式可得： ，据此可知： ，即 ，整理可得： ，结合 解方程可得双曲线的离心率为： .- 3 -本题选择 B 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a， c，代入
4、公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a， b， c 的齐次式，结合 b2 c2 a2转化为 a， c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)5. 甲、乙两名同学参加 2018 年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考 140 分以上的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否考140 分以上相互独立，则预估这两个人在 2018 年高考中恰有一人数学考 140 分以上的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据互斥事件概率加法公式以及独立事件
5、概率乘积公式求概率.详解：因为这两个人在 2018 年高考中恰有一人数学考 140 分以上的概率为甲考 140 分以上乙未考到 140 分以上事件概率与乙考 140 分以上甲未考到 140 分以上事件概率的和，而甲考 140 分以上乙未考到 140 分以上事件概率为 ，乙考 140 分以上甲未考到 140 分以上事件概率为 ，因此，所求概率为 ，选 A.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式，考查基本求解能力.6. 在“新零售”模式的背景下,自由职业越来越流行，诸如:淘宝网店主、微商等等.现调研某自由职业者的工资收入情况.记 表示该自由职业者平均每天工作的小时数， 表示平均
6、每天工作 个小时的月收入.（小时） 2 3 4 5 6（千元） 2.5 3 4 4.5 6- 4 -假设 与 具有线性相关关系，则 关于 的线性回归方程 必经过点( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先求均值，再根据线性回归方程性质得结果.详解：因为 ，所以线性回归方程 必经过点 ,选 C.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求 ，写出回归方程，回归直线方程恒过点 .7. 已知 的二项展开式中含 项的系数为 ，则 ( )A. B. C. D. 【
7、答案】C【解析】分析：先根据二项式定展开式通项公式求 m,再求定积分.详解：因为 的二项展开式中 ，所以 ,因此选 C.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.8. 已知一列数按如下规律排列： ,则第 9 个数是( )A. -50 B. 50 C. 42 D. 42【答案】A- 5 -【解析】分析：根据规律从第 3 个数起，每一个数等于前两个数之差，确定第 9 个数.详解：因为从第 3 个数起，每一
8、个数等于前两个数之差，所以第 9 个数是 ，选 A.点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法为：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.9. 九章算术中，将底面是直角三角形的直三梭柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先还原几何体，再根据棱柱各面形状求面积.详解：因为几何体为一个以俯视图为底面的三棱柱，底面直角三角形的两直角边长为 2 和，所以棱柱表面积为 ，选 D.点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图
9、确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用10. 从 中不放回地依次取 2 个数，事件 “第一次取到的数可以被 3 整除”, “第二次取到的数可以被 3 整除” ，则 ( )- 6 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先求 ， ，再根据 得结果.详解：因为 ，所以 ,选 C.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.11. 中国古典数学有完整的理论体系，其代表我作有周髀算经 九章算术 孙子算经数书九章等，有 5 位年轻人计划阅读这 4 本古典数学著作，要求每部古典数学
10、著作至少有 1 人阅读,则不同的阅读方案的总数是( )A. 480 B. 240 C. 180 D. 120【答案】B【解析】分析：先根据条件确定有且仅有一本书是两人阅读，再根据先选后排求排列数.详解：先从 5 位年轻人中选 2 人，再进行全排列，所以不同的阅读方案的总数是选 B.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法” ；(2)元素相间的排列问题“插空法” ；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法” ；(4)带有“含”与“不含” “至多” “至少”的排列组合问题间接法.12. 体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体
11、自运动中的某-种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:小红没有踢足球，也没有打篮球；小方没有打篮球,也没有打羽毛球；如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球；- 7 -小强没有踢足球,也没有打篮球.已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( )A. 踢尼球 B. 打篮球 C. 打羽毛球 D. 打乒乓球【答案】A【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可.详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球；则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球.本题选择 A 选项.点睛：本题主要考查学生的推理能力，意
12、在考查学生的转化能力和计算求解能力.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 命题 的否定是_【答案】【解析】分析：特称命题的否定是全称命题，即 的否定为 .详解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 的否定是 .点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；对原命题的结论进行否定. 的否定为 ，的否定为 .14. 若 满足约束条件 则 的最大值为 _【答案】6【解析】分析：首先绘制出可行域，然后结合目标函数的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如
13、图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程： ，可得点 A 坐标为： ，据此可知目标函数的最大值为： .- 8 -点睛：求线性目标函数 z ax by(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最大，在 y 轴截距最小时， z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最小，在 y 轴上截距最小时， z 值最大.15. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ， ，则 【答案】0.8【解析】分析：先根据正态分布曲线对称性求 ，再根据 求结果.详解：因为正态分布曲线关于 对称，所以 ,因此点睛：利用正态分布
14、密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线 x 对称，及曲线与 x 轴之间的面积为 1.16. 已知函数 ，且过原点的直线 与曲线 相切，若曲线 与直线 轴围成的封闭区域的面积为 ，则 的值为_【答案】【解析】分析：先根据导数几何意义求切点以及切线方程，再根据定积分求封闭区域的面积，解得 的值.详解：设切点 ，因为 ，所以所以当 时封闭区域的面积为- 9 -因此 ，当 时，同理可得 ，即点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
15、步骤.） 17. 若 ，()求证： ；()求证： ；()在()中的不等式中，能否找到一个代数式，满足 所求式 ？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】分析：（）由题意结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；()由不等式的性质可证得 . 则 .()利用放缩法可给出结论： ,或 详解：（）因为 ，且 ，所以 ，所以()因为 ,所以 又因为 ,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得 所以 所以 .（ i) 因为 ,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得 所以 (ii) 所以由两边都是正数的同向不等式的相乘性可将以上两不等式(
16、 i)(ii)相乘得 .()因为 ， ，- 10 -所以 ,或 (只要写出其中一个即可)点睛：本题主要考查不等式的性质，放缩法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 如图， 底面 ，四边形 是正方形， .()证明：平面 平面 ；()求直线 与平面 所成角的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2）直线 与平面 所成角的余弦值为 .【解析】分析：(1)先根据线面平行判定定理得 平面 ， 平面 .，再根据面面平行判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面 的一个法向量，利用向量数量积求得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系得结果.详
17、解： ()因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .同理可得， 平面 .又 ,所以平面 平面 .（） （向量法）以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，- 11 -由已知得，点 ， , , .所以 ， .易证 平面 ，则平面 的一个法向量为 .设直线 与平面 所成角为 ，则 。则 .即直线 与平面 所成角的余弦值为 .点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 某研究机构为了调研
18、当代中国高中生的平均年龄，从各地多所高中随机抽取了 40 名学生进行年龄统计，得到结果如下表所示：年龄（岁）数量 6 10 12 8 4- 12 -()若同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批学生的平均年龄；()若在本次抽出的学生中随机挑选 2 人，记年龄在 间的学生人数为 ，求 的分布列及数学期望.【答案】 （1）估计这批学生的平均年龄为 岁；（2）见解析.【解析】分析：(1)根据组中值与对应区间概率乘积的和计算平均数，(2)先判断随机变量服从“超几何分布” ，再根据“超几何分布”分布列公式以及数学期望公式求结果.详解：()由表中的数据可以估算这批学生的平均年龄为.所以估计这批学生的平
19、均年龄为 （岁）.()由表中数据知， “本次抽出的学生中”挑选 2 人，服从“超几何分布” ，则 , , .故 的分布列为0 1 2故 的数学期望为 .点睛：对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 ，超几何分布 )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式( )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20. 已知抛物线 与椭圆 有共同的焦点，过点 的直线 与抛物线 交于 两点.()求抛物线 的方程；()若 ，求直线 的方程.【答案】(1) 抛物线 的方程为 ;(2) 直线 的方程为 或 .- 13 -【解析】分析：()由题意可
20、知椭圆的焦点坐标为 ,则 ,抛物线 的方程为. ()依题意,可设直线 的方程为 联立直线方程与抛物线方程可得 , 结合韦达定理可得 则,解得 直线 的方程为 或 详解：()因为椭圆 的焦点坐标为 ,而抛物线 与椭圆 有共同的焦点，所以 ,解得 ，所以抛物线 的方程为 . ()依题意,可设直线 的方程为 联立 ,整理得 , 由题意, ,所以 或 则 . 则 , .则又已知 ,所以 ,解得 所以直线 的方程为 或 化简得直线 的方程为 或 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；- 14 -(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛
21、物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式| AB| x1 x2 p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21. 已知函数 .()若函数 在 处取得极值，求 的值；()设 ，若函数 在定义域上为单调增函数，求 的最大整数值.【答案】(1) ;(2) 的最大整数值为 2.【解析】分析：(1)先求导数，再根据根据极值定义得 0，解得 的值,最后列表验证.(2)先转化为 恒成立，再利用结论（需证明） ， 得，可得当 时， 恒成立；最后举反例说明当 时，即不恒成立.详解：() ，若函数 在 处取得极值，则 ，解得 .经检验，当 时，函数 在 处取得极值.综上， .()由题意知， ，.若函数 在定义域上为
22、单调增函数，则 恒成立.先证明 .设 ，则 .则函数 在 上单调递减，在 上单调递增.所以 ，即 .同理，可证 ，所以 ，所以 .当 时， 恒成立；当 时， ，- 15 -即 不恒成立.综上所述， 的最大整数值为 2.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等） ，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极
23、点，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .()求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；()若曲线 上的点到直线 的最大距离为 6，求实数 的值.【答案】(1) 曲线 的直角坐标方程为 ;(2) .【解析】分析：()消去参数 m 可得直线 的普通方程为 .极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线 的直角坐标方程为 ()由题意结合直线与圆的位置关系整理计算可得 详解：()由 得 ，消去 ,得 ，所以直线 的普通方程为 .由 ,得 , 代入 ,得 , 所以曲线 的直角坐标方程为 ()曲线 : 的圆心为 ,半径为 , 圆心 到直线 的距离为 , 若
24、曲线 上的点到直线 的最大距离为 6, - 16 -则 ,即 ,解得 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法：（1）直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；（2）转化为直角坐标系，用直角坐标求解.使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.23. 选修 4-5：不等式选讲设函数 .()若不等式 的解集是 ，求实数 的值；()若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) 实数 的取值范围是 .【解析】分析：(1)先根据不等式解集与对应方程根的关系得 ,再解得 . (2)先根据绝对值三角不等式得 最大值为 ，再解不等式 得实数 的取值范围.详解：()由 ,可得 ,得 ,解得 . 因为不等式 的解集是 ,所以 ,解得 .()，若 对一切 恒成立,则 解得 ,即 故实数 的取值范围是 .点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活- 17 -应用，这是命题的新动向
