1、- 1 -海南中学 2018 届高三第五次月考理科数学选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设 是虚数单位，若复数 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】复数故选 A2.2.已知集合 ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合 ， ，然后求出 ，最后求【详解】则则故选【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，指数不等式以及对数不等式的化简求值，属于基础题- 2 -3.3.设 ， 两条直线， ， 表示两个平面，如果 ， ，那么“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B
2、. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】由 ， ， ，利用线面垂直的性质定理可得 ，反之不成立【详解】如果 ， ， ，则必有 ，充分性成立如果 ， ， ，不能保证 ，也有可能 ，必要性不成立故“ ”是“ ”的充分不必要条件故选【点睛】本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，掌握线面垂直的性质定理是解题的关键，属于基础题。4.4.设等差数列 的首项为 ，若 ，则 的公差为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，故选 B.5.5.如果 ,那么下列不等式成立的是A. B. C. D. 【答案】D
3、【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解.详解： -（ ）= ，因为 ，所以所以 .故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.- 3 -6. 下列函数中，最小值为 4 的是_yx ；ysinx （0x） ；y4e xe x ；ylog 3xlog x3（0x1） 【答案】.【解析】试题分析：yx 无最小值；ysinx ，当且仅当 即等号成立，但这是不可能的；y4e xe x 当且仅当 即 时等号成立；当 0x1 时 ylog 3xlog x30 无最小
4、值考点：基本不等式7.7.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）A. 8 B. 4C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知， 平面 , 平面 , ,面积最小的为侧面 ， 故选：C.- 4 -8.8.函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，则 的值分别为（ ）A. 2，0 B. 2， C. 2， D. 2， 【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的图象，求出周期 ，根据周期公式求出 ，求出 ，根据函数的图象过点，求出 ，即可求得答案【详解】由函数图象可知：，函数的图象过点，则故选【点睛】本题主要考查的是 的图像的
5、运用，在解答此类题目时一定要挖掘图- 5 -像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果9.9.当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 时， 恒成立得 对任意 恒成立，即当 时， 取得最大值 ， 的取值范围是，故选 D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数
6、否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.10.10.如图，正三棱柱 的各条棱长均相等， 为 的中点， 分别是线段和线段 上的动点（含端点） ，且满足 .当 运动时，下列结论中不正确的是（ ）A. 平面 平面 B. 三棱锥 的体积为定值C. 可能为直角三角形 D. 平面 与平面 所成的锐二面角范围为【答案】C【解析】- 6 -如图，当 分别在 上运动时，若满足 ，则线段 必过正方形的中心 ，而 平面 平面 平面 正确；当 分别在上运动时， 的面积不变， 到平面 的距离不变 的棱锥 的体积不变，即三棱维 的体积为定值， 正确；若 为直角三角形，则必是以 为直角的直角三角形，但 的最大值
7、为 ，而此时 的长大于 不可能为直角三角形， 错误；当 分别为 中点时，平面 与平面 所成的角为 ，当 与重合， 与 重合时，平面 与平面 所成的锐二面角最大，为 等于 平面与平面 所成的锐二面角范围为 ， 正确，故选 C.11.11.图一是美丽的“勾股树” ，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第 1 代“勾股树” ，重复图二的作法，得到图三为第 2 代“勾股树” ，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】最大的正方形面积为 1，当 n=1 时，由勾股定理知正方形面积的和为 2，依次
8、类推，可得所有正方形面积的和为 ，选 D.- 7 -12.12.对任意的正数 ，都存在两个不同的正数 ，使 成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 得 ，设 ，则 ，设 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，故当 时，存在两个不同的实数 ，使 成立，即对任意的实数 ，都存在两个不同的实数 ，使得 成立。故选：A点睛： ，可以理解为任意取定一个 x 值，y=a 与都有两个不同的交点，因为左右平移不影响交点个数，即考虑 y=a 与的交点个数即可.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.13.已知向量 ，且 ，则 _【答案】【
9、解析】【分析】根据 求出 的值，再根据向量的减法运算和向量的模即可求出答案【详解】 ， ，则故答案为- 8 -【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，解题的关键是根据向量的平行求出 的值，属于基础题14.14.若正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 ，则其外接球的表面积为_【答案】【解析】设正三棱锥的外接球半径为 R，因为球心到四个顶点的距离相等，正三棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 ，高为 1所以 ，解得 ， 外接球的表面积 ，故填 .15.15.已知 满足约束条件 ，且 的最小值为 2，则常数_【答案】-2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行
10、域内的最优解，求出最优解的坐标，然后代入 ，由 的最小值为 求得 的值。【详解】 满足约束条件 作可行域如图：由 可得直线方程由图可知，当直线 过可行域内的点 时， 最小联立 ，可得 ， 在直线 上- 9 -则 ，解得故答案为【点睛】本题主要考查了简单线性规划，利用图像平行求得目标函数的最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题。16.16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆 的一个“太极函数” ，则下列有关说法中：对于圆 的所有非常数函数的太极函数中，都不能为
11、偶函数；函数 是圆 的一个太极函数；直线 所对应的函数一定是圆 的太极函数；若函数 是圆 的太极函数，则所有正确的是_【答案】 （2） （3） （4）【解析】【分析】利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可【详解】显然错误，如图点 均为两曲线的对称中心，且 能把圆 一分为二，故正确- 10 -直线 恒过定点 ，经过圆的圆心，满足题意，故正确函数 为奇函数，则令 ，得即即对 ，当 时显然无解， 即 时也无解即 时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分若 时，函数图象与圆有四个交点，若 时，函数图象与圆有六个交点，均不能把圆一分为二综上所述，故正确的是【点睛】本题主要考查了关于
12、圆的新定义，首先是要理解新定义的内容，其次是根据新定义内容结合已经学过的知识来判定正确还是错误，在解答过程中只要能举出一个反例即可判定结果三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.17.设数列 的通项 ，点 均在函数 的图象上（1）求数列 的通项公式；（2）若 为等比数列，且 ，求数列 的前 n 项和 【答案】 （1） （2）【解析】- 11 -【分析】依题意得 ，即 ，当 时， ，当 时， ， ，即可求出数列 的通项公式；设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ，又 ，求得 ，可得，再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出结果【详解】解：（）依题意得 ，即
13、当 n=1 时， a1=S1=1+1=2 当 n2 时，满足上式 所以 （）设等比数列 的公比为 ， ，解得 ，又， ， 【点睛】本题考查了求等差数列通项，利用 来进行求解，一定要讨论当时是否满足题意；在数列求和时运用分组求和法来求解，本题较为基础18.18.已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c= asinCccosA（1）求 A；（2）若 a=2，ABC 的面积为 ，求 b，c【答案】(1) (2) b=c=2【解析】- 12 -试题分析：（1）由条件及正弦定理可得 sinC= ，约去 得，即 ，可得 ；（2）在 的基础上由余弦定理及三角形的面积可求得 b=c=2
14、。试题解析：（1）由正弦定理及条件得 sinC= ， ， （2）ABC 的面积为 ， 。由余弦定理得 ， ,解得 ，由 解得 点睛：（1）在运用正余弦定理解三角形时，若在已知关系式中既含有边又含有角，通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角（2）在运用余弦定理时，要注意公式的变形，即注意 的灵活运用，将和 看做一个整体，可为问题的解决带来方便。- 13 -19.19. 如图，在三棱锥 中， ， ， （）求证 ；（）求二面角 的大小；（）求点 到平面 的距离【答案】 （）略， （） ， （）【解析】解法一（）取 中点 ，连结 ，平面 平面 ，（） ， ，又 ，- 14
15、-又 ，即 ，且 ，平面 取 中点 连结 ， 是 在平面 内的射影，是二面角 的平面角在 中， ， ， ，二面角 的大小为 （）由（）知 平面 ，平面 平面 过 作 ，垂足为 平面 平面 ，平面 的长即为点 到平面 的距离由（）知 ，又 ，且 ，平面 平面 ，在 中， ， ，- 15 -点 到平面 的距离为 解法二（） ， ，又 ，平面 平面 ，（）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 则 设 ， 取 中点 ，连结 ， ， 是二面角 的平面角， ， ，二面角 的大小为 （） ，在平面 内的射影为正 的中心 ，且 的长为点 到平面 的距离如（）建立空间直角坐标系 ，- 16 -点 的坐标为 点 到
16、平面 的距离为 视频20.20.某中学举行一次“环保知识竞赛” ，全校学生参加了这次竞赛为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的样本的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（）写出 ， ， ， 的值（）在选取的样本中，从竞赛成绩是 分以上（含 分）的同学中随机抽取 名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的 名同学来自同一组的概率（）在（）的条件下，设 表示所抽取的 名同学中来自第 组的人数，求 的分布列及其数学期望组别 分组 频数 频率第 组第 组第 组第 组第 组合计- 17 -【答
17、案】 （ ） ， ， ， （ ） （ ）见解析.【解析】试题分析：利用频率= ，以及 表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a，b，x，y；（2）由（1）可知第四组的人数，已知第五组的人数是 2，利用组合的计算公式即可求出从这 6 人中任选 2 人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出；（3）由（2）可知， 的可能取值为 0，1，2，再利用组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式即可得出试题解析：（ ）由题意可知 ， ， ， （ ）由题意可知，第 组有 人，第 组有 人，共 人从竞赛成绩是 分以上（含 分）的同学中随机抽
18、取 名同学有 种情况设事件 ：随机抽取的 名同学来自同一组，则故随机抽取的 名同学来自同一组的概率是 （ ）由（ ）可知， 的可能的值为 ， ， ，则：， ， - 18 -所以， 的分布列为：点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.21.21
19、.己知函数 .讨论函数 的单调区间；设 ，当 时，若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围；(3)求证： .【答案】 （1）见解析（2） （3）见解析【解析】【分析】求出函数的导函数，分类讨论，可得函数的单调区间时可得 ，对任意的 都有 恒成立，可得时 ，分离参数，利用函数的单调性，即可求出答案当 时， ，取 ，则 ，再利用叠加法即可证明结论- 19 -【详解】解：（1）当 时，递减区间为 ，递增区间为 ；当 时，递增区间为 ；当 时，递减区间为 ，递增区间为 （2）当 时，由（1）知 时对任意的 都有 恒成立即 ， 恒成立即 ， 恒成立即 ， 恒成立令 ，则 ，即 在 上递增，故所以（3）当
20、时，由（1）知， 单调递增，则 时，即取 ，则故- 20 -上式叠加得：即【点睛】本题考查了导数知识的综合应用，在求函数的单调区间时一定要对参量进行分类讨论；含有任意性的不等式问题时将其转化为最值问题，最后一问的不等式证明需要运用赋值法，然后进行叠加，本题还是有一定难度。22.22.已知曲线 C1： ，曲线 C2： 。（1）指出 C1，C 2各是什么曲线，并说明 C1与 C2公共点的个数；（2）若把 C1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 ， ,写出 ，的参数方程. 与 公共点的个数和 C1与 C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.【答案】 （1） 是圆， 是直线. 与
21、只有一个公共点；（2）只有一个公共点，和原来相同，理由见解析【解析】试题分析：（1）先利用公式 将参数 消去，得到圆的直角坐标方程，利用消元法消去参数 得到直线的普通方程，再根据圆心到直线的距离与半径进行比较，从而得到 C1与 C2公共点的个数；（2）求出压缩后的参数方程，再将参数方程化为普通方程，联立直线方程与圆的方程，利用判别式进行判定即可试题解析：（1） 是圆， 是直线. 的普通方程为 ，圆心 （0,0） ，半径; 2的普通方程为 ,因为圆心 到直线 的距离为，所以 与 只有一个公共点；（2）压缩后的参数方程分别为- 21 -化为普通方程为 ，联立消元得： ，其判别式；所以压缩后的直线与
22、椭圆仍然只有一个公共点，和原来相同；考点：坐标系与参数方程23.23.已知实数 满足 .（1）若 ，求实数 的取值范围；（2）求 的最小值.【答案】 （1） 或 .（2）3【解析】【分析】由题意得 ，代入不等式，利用绝对值的定义，求出实数 的取值范围代入 ，得原不等式等价于 ，利用绝对值的几何意义，求解最小值即可【详解】解：因为 ，所以 .（1） ，所以 ，所以 或 .（2） ，当且仅当 （或 ）时等号成立，所以 的最小值是 .【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，绝对值的几何意义的应用，属于基础题，在解答含有绝对值的题目时一般需要去掉绝对值，然后求解，本题在解题过程中运用了绝对值的几何意义，这样较为简单
