1、176分 107 标准练 21设集合 A x|10时， y0，当 x0，不满足题意9若双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线被抛物线 y4 x2所截得的弦长为 ，x2a2 y2b2 32则双曲线 C的离心率为( )A. B1 C2 D414答案 C解析 不妨设双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线方程为 bx ay0，与抛物线方x2a2 y2b2程联立，得Error! 消去 y，得 4ax2 bx0， b20，设两交点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，所以Error!所以 x1， x2中有一个为 0，一个为 ，b4a所以所截得的弦长为 ，(1 b2a2)b21
2、6a2 32化简可得 ， bc2 a2，( c2 a2)c212 a4，bc4a2 32 3e4 e2120，得 e24 或3(舍)，所以双曲线 C的离心率 e2.10如图 1，已知正三角形 ABC的边长为 6， O是底边 BC的中点， D是 AB边上一点，且5AD2，将 AOC绕着直线 AO旋转，在旋转过程中，若 DC的长度在 ， 内变化，如19 22图 2，则点 C所形成的轨迹的长度为( )A. B. C D.2 34 32答案 A解析 方法一 ABC为正三角形， O为 BC的中点， AO OB， AO OC， BOC是二面角 B AO C的平面角，记 BOC .如图，过点 D作 DE O
3、B，垂足为 E，连接 CE，则 DE AO， OE1， OC3， DE AO2 ，23 3则 ，其中 ，即 ， ，DC DE EO OC OE OC EO OC 2( )2 2 2 22 (2 )DC DE EO OC DE EO OC EO OC 321 23 2213cos ， 226cos ，则 2226cos 19,22，即EO OC DC cos ，即点 C转过的角度为 .0，12 2 3 6点 C的轨迹为以 O为圆心，以 OC为半径的一段圆弧，弧长为 3 .6 2方法二 ABC为正三角形， O为 BC的中点， AO OB， AO OC， BOC是二面角B AO C的平面角，记 BO
4、C .如图，过点 D作 DE OB，垂足为 E，连接 CE，则DE AO， OE1， OC3， DE AO2 ，23 3则 EC2 OC2 OE22 OCOEcos 106cos ，6在 Rt DCE中， DC2 DE2 EC2(2 )2106cos 226cos ，3则 DC2226cos 19,22，即 cos ，0，12即点 C转过的角度为 .2 3 6点 C的轨迹为以 O为圆心，以 OC为半径的一段圆弧，弧长为 3 .6 211已知 i为虚数单位， a bi(a， bR)，则 a b_， a bi的共轭复数2 1 i在复平面内对应的点位于第_象限答案 2 二解析 1i，则 a1， b1
5、， a b2， a bi的共轭复数在复平面内2 1 i对应的点为(1,1)，位于第二象限12(2018浙江)在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.若a ， b2， A60，则 sin B_， c_.7答案 3217解析 如图，由正弦定理 ，asin A bsin B得 sin B sin A .ba 27 32 217由余弦定理 a2 b2 c22 bccos A，得 74 c24 ccos 60，即 c22 c30，解得 c3 或 c1(舍去)13已知实数 x， y满足Error!若 z x y的最大值为 6，则 m_，此时 z12 x y的最小值为_答案 3 9解
6、析 作出不等式组Error!所表示的区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图可知 ， 当 直线 z x y 过 点 A(m， m)时 ， z 取 得 最 大 值 6， 所 以 m 3.当 直 线 z1 2x y 过 点B( 6,3)时， z1取得最小值，最小值为9.714甲、乙同学参加“中学生辩论赛”的选拔测试，在相同的测试条件下，甲、乙 5次测试的成绩(单位：分)如下表：第 1次 第 2次 第 3次 第 4次 第 5次甲 58 55 76 92 88乙 65 82 87 85 95若从甲、乙 5次的成绩中各随机抽取 1次进行分析，则抽到的 2个成绩中高于 80分的个数X的期望为_，方差为_答
7、案 65 25解析 由题意知， X的所有可能取值为 0,1,2，且从甲、乙 5次的成绩中各随机抽取 1次，甲的成绩高于 80分的概率 P1 ，乙的成绩高于 80分的概率 P2 ，25 45则 P(X0) ，35 15 325P(X1) ，25 15 35 45 1425P(X2) .25 45 825X的分布列为X 0 1 2P 325 1425 825期望 E(X)0 1 2 ，325 1425 825 65方差为 2 2 2 .325 (65 0) 1425 (65 1) 825 (65 2) 2515已知函数 f(x)| x24 x9 a|1 在区间0,3上的最大值是 8，则实数 a的值
8、为_答案 2 或 12解析 令 t x24 x9，若 x0,3，则 5 t9， y| t a|1，8当 a9时， f(x)的最大值为 a518，得 a12.综上，实数 a的值为 2或 12.16已知点 A在以 O为圆心、2 r为半径( r0)的圆上，点 B在以 O为圆心、 r为半径的圆上，若对任意的 tR 总有| | t |0，则 AOB的大小为_OA OB OA OB 答案 23解析 方法一 记 a， b， a， b的夹角为 ，OA OB |a|2 r，| b| r，则对任意的 tR，不等式| a b| a tb|恒成立，平方得 a22 ab b2 a22 tab t2b2，整理得 t24
9、tcos (4cos 1)0，则 16cos 2 4(4cos 1)4(2cos 1) 20，所以 cos .12因为 0，所以 .23方法二 记 a， b，OA OB |a|2 r，| b| r，则任意 tR，不等式| a b| a tb|恒成立当 a， b共线时显然不合题意，则 a， b不共线，分别作出 a b， a tb，且点 D在OC OD 直线 AC上，如图所示欲使| a b| a tb|恒成立，则 ACO ，2又| a|2 r，| b| r，所以 AOC ， AOB .6 2317已知 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，且 F1， F2在 x轴上， P是它们的一个公共点，9且
10、F1PF2 ，则椭圆和双曲线的离心率之积的取值范围是_23答案 (1，)解析 方法一 设椭圆方程为 1( a1b10)，x2a21 y2b21离心率为 e1，半焦距为 c，满足 c2 a b ，21 21双曲线方程为 1( a20， b20)，x2a2 y2b2离心率为 e2，半焦距为 c，满足 c2 a b ，2 2不妨设 F1， F2分别为左、右焦点， P是它们在第一象限的一个公共点，则由椭圆与双曲线的定义得，Error!解得Error!在 F1PF2中，由余弦定理可得 ，a1 a22 a1 a22 4c22a1 a2a1 a2 12整理得 4c23 a a ，即 3 4，21 2a21c
11、2 a2c2即 3 2 24，则 243 2.(1e1) (1e2) (1e2) (1e1)由Error! 令 t 2，(1e1)则 t 2 ，(1e1) 134 (1e2)2 (1， 43) 2 2 2 3 t24 t3 2 ，(1e1) (1e2) (1e1) 4 3(1e1)2 (t 23) 43函数 f(t)3 2 在 上单调递减，(t23) 43 (1， 43) 2 23 2 (0,1)，(1e1) (1e2) (t 23) 43即 e1e2的取值范围为(1，)方法二 设椭圆方程为 1( a1b10)，x2a21 y2b21离心率为 e1，半焦距为 c，满足 c2 a b ，21 2
12、1双曲线方程为 1( a20， b20)，x2a2 y2b2离心率为 e2，半焦距为 c，满足 c2 a b ，2 2不妨设 F1， F2分别为左、右焦点， P是它们在第一象限的一个公共点，|PF1| m，| PF2| n，则 mn0，10在 F1PF2中，由余弦定理可得 m2 n2 mn4 c2，则由椭圆与双曲线的定义，得Error!则 1e1 1e2 a1a2c2 m2 n24c2 m2 n2m2 n2 mn 1 ，m2 n2 mn 2n2 mnm2 n2 mn2 mn(mn)2 mn 1令 t2 3，mn则 1 1 ，1e1 1e2 tt2 3t 3 1t 3t 3函数 g(t)1 在(3，)上单调递增，1t 3t 3 (0,1)，1e1 1e2即 e1e2的取值范围为(1，)
