1、1107 分项练 9 圆锥曲线1设椭圆 C： y21 的左焦点为 F，直线 l： y kx(k0)与椭圆 C交于 A， B两点，则x24 AFB周长的取值范围是( )A. B.(2， 4) (6， 4 23)C. D.(6， 8) (8， 12)答案 C解析 根据椭圆对称性得 AFB的周长为|AF| AF| AB|2 a| AB|4| AB|(F为右焦点)，由 y kx， y21，得 x ，x24 2A 41 4k2| AB| 2|xA|41 k21 k21 4k24 (2,4)( k0)，14 341 4k2即 AFB周长的取值范围是 .(4 2， 4 4) (6， 8)2已知双曲线 y21
2、( a0)两焦点之间的距离为 4，则双曲线的渐近线方程是( )x2a2A y x B y x33 3C y x D y x233 32答案 A2解析 由双曲线 y21( a0)的两焦点之间的距离为 4，可得 2c4，所以 c2，x2a2又由 c2 a2 b2，即 a212 2，解得 a ，3所以双曲线的渐近线方程为 y x x.ba 333设抛物线 y24 x上一点 P到 y轴的距离为 d1，到直线 l：3 x4 y120 的距离为 d2，则 d1 d2的最小值为( )A2 B. C. D3153 163答案 A解析 由Error!得 3y216 y480， 25612480， b0)的左、右
3、焦点分别为 F1， F2，以 OF2为直径的圆 Mx2a2 y2b2与双曲线 C相交于 A， B两点，其中 O为坐标原点，若 AF1与圆 M相切，则双曲线 C的离心3率为( )A. B.2 362 2 62C. D.32 62 32 262答案 C解析 根据题意，有| AM| ， ，c2 |MF1| 3c2因为 AF1与圆 M相切，所以 F1AM ，2所以由勾股定理可得 c，|AF1| 2所以 cos F1MA ，|AM|F1M| 13所以 cos AMF2 ，且| MF2| ，13 c2由余弦定理可求得 c，|AF2|c24 c24 2c2c2( 13) 63所以 e .2c2a 2c2c
4、6c3 32 626已知双曲线 1( a0， b0)的左、右两个焦点分别为 F1， F2，以线段 F1F2为直径的x2a2 y2b2圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，若| MF1| MF2|2 b，该双曲线的离心率为e，则 e2等于( )A2 B3C. D.3 222 5 12答案 D解析 以线段 F1F2 为直径的圆的方程为 x2 y2 c2，双曲线经过第一象限的渐近线方程为 y x，ba联立方程Error!求得 M(a， b)，因为 2 b0， b0)上，x2b2 y2a2所以 1，所以 1，a2b2 b2a2 a2c2 a2 c2 a2a24化简得 e4 e210，由求根公式得
5、e2 (负值舍去)5 127已知点 P在抛物线 y2 x上，点 Q在圆 2( y4) 21 上，则| PQ|的最小值为( )(x12)A. 1 B. 1352 332C2 1 D. 13 10答案 A解析 设抛物线上点的坐标为 P(m2， m)圆心 与抛物线上的点的距离的平方(12， 4)d2 2( m4) 2 m42 m28 m .(m212) 654令 f(m) m42 m28 m ，654则 f( m)4( m1)( m2 m2)，由导函数与原函数的关系可得函数在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，函数的最小值为 f(1) ，由几何关系可得| PQ|的最小值为 1 1.4
6、54 454 3528已知抛物线 C： y22 px(p0)，圆 M： 2 y2 p2，直线 l： y k (k0)，自上(xp2) (x p2)而下顺次与上述两曲线交于 A1， A2， A3， A4四点，则 |1|A1A2| 1|A3A4|等于( )A. B. C p D.1p 2p p2答案 B解析 圆 M： 2 y2 p2的圆心为抛物线的焦点 F ，半径为 p.(xp2) (p2， 0)直线 l： y k 过抛物线的焦点 F .(xp2) (p2， 0)设 A2(x1， y1)， A4(x2， y2)不妨设 k .p2 p2|A1A2| A1F| A2F| p x1，(x1p2) p2|
7、A3A4| A4F| A3F| p x2 .(x2p2) p25由Error! 得 k2x2 p(k22) x 0，k2p24所以 x1 x2 ， x1x2 .pk2 2k2 p24所以 |1|A1A2| 1|A3A4| | 1p2 x1 1x2 p2| |x2 p2 (p2 x1)(p2 x1)(x2 p2)| |x1 x2 pp2x1 x2 x1x2 p24| .|pk2 2k2 pp2pk2 2k2 p24 p24| 2p9已知抛物线 C： y22 px(p0)，过其焦点 F的直线 l交抛物线于 A， B两点，若3 ，且抛物线 C上存在点 M与 x轴上一点 N(7,0)关于直线 l对称，
8、则该抛物线的焦点AF FB 到准线的距离为( )A4 B5 C. D6112答案 D解析 抛物线 y22 px(p0)的准线为 l： x ，p2如图所示，当直线 AB的倾斜角为锐角时，过点 A， B作 AP l， BQ l，垂足分别为 P， Q，过点 B作 BD AP交 AP于点 D，则| AP| AF|，| BQ| BF|，| AF|3| BF| |AB|，34| AP| BQ| AD| AF| BF| |AB|，126在 Rt ABD中，由| AD| |AB|，12可得 BAD60， AP x轴， BAD AFx60， kABtan 60 ，3直线 l的方程为 y ，3(xp2)设 M(x
9、M， yM)，由Error!可得 xM p ， yM ，34 72 32(7 p2)代入抛物线的方程化简可得3p24 p840，解得 p6(负值舍去)，故抛物线的焦点到准线的距离为 6.10已知 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点， P是它们的一个公共点，且 F1PF2 ，则椭4圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A. B. C1 D.12 22 2答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1， e2，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长为 a2，半焦距为 c， P为第一象限内的公共点，则Error!解得| PF1| a1 a2，| PF2| a1 a2，所以 4c2( a1 a
10、2)2( a1 a2)22( a1 a2)(a1 a2)cos ，4所以 4c2(2 )a (2 )a ，2 21 2 2所以 4 2 ，2 2e21 2 2e2 2 2e21 2 2e2 22e1e2所以 e1e2 ，故选 B.2211已知方程 mx2(2 m)y21 表示双曲线，则 m的取值范围为_若表示椭圆，则 m的取值范围为_答案 (，0)(2，) (0,1)(1,2)解析 若 mx2(2 m)y21 表示双曲线，7则 m(2 m)2.若 mx2(2 m)y21 表示椭圆，则Error!解得 00，解得Error!所以 b 1.16(2018浙江省名校研究联盟联考)已知抛物线 C： y
11、22 px(p0)的焦点为 F.过焦点的直线 l交抛物线 C于 M， N两点，点 P为 MN的中点，则直线 OP的斜率的最大值为_答案 22解析 当直线 l的斜率不存在时，点 P与焦点 F重合，此时 kOP0；当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y k ， k0，与抛物线方程联立，消去 y整理得 k2x2( k2p2 p)(xp2)x 0，k2p24则Error!则 yM yN k k(xMp2) (xN p2) k(xM xN p) ，2pk则| kOP| ，|yM yNxM xN| | 2kk2 2| 2|k| 2|k| 22|k|2|k| 22当且仅当 k 时，等号成立，2所以
12、kOP的最大值为 .2217(2018嘉兴市、丽水市教学测试)椭圆 1( ab0)，直线 l1： y x，直线x2a2 y2b2 12l2： y x， P为椭圆上任意一点，过 P作 PM l1且与直线 l2交于点 M，作 PN l2且与 l1交12于点 N，若| PM|2| PN|2为定值，则椭圆的离心率为_答案 32解析 设| PM|2| PN|2 t(t0)，M ， N ， P(x， y)(x1，12x1) (x2， 12x2)9因为四边形 PMON为平行四边形，所以| PM|2| PN|2| ON|2| OM|2 (x x ) t.54 21 2因为 ，OP OM ON (x1 x2， 12x1 12x2)所以Error!则 x24 y22( x x ) t(t0)，21 285此方程为椭圆方程，即 1，x28t5y22t5则椭圆的离心率 e .8t5 2t58t5 32
