1、1107 分项练 8 不等式1已知非零实数 a， b 满足 a|a|b|b|，则下列不等式一定成立的是( )A a3b3 B a2b2C. b2与 1log|a|0， b0，并且 ， 成等差数列，则 a9 b 的最小值为( )1a12 1bA16 B9 C5 D4答案 A解析 ， 成等差数列，1a12 1b 1.1a 1b a9 b( a9 b) 10 (1a 1b) ab 9ba102 16，ab9ba当且仅当 且 1，ab 9ba 1a 1b2即 a4， b 时等号成立433(2018浙江台州中学模拟)设变量 x， y 满足| x| y|1，则 x2 y 的最大值和最小值分别为( )A1，
2、1 B2，2C1，2 D2，1答案 B解析 在平面直角坐标系内画出不等式| x| y|1 表示的平面区域(图略)，其是以(1,0)，(0,1)，(1,0)，(0，1)为顶点的正方形区域(包含边界)，易得当目标函数 z x2 y 经过平面区域内 的 点 (0,1)时 ， 目 标 函 数 z x 2y 取 得 最 大 值 zmax 0 21 2； 当 目 标 函 数z x 2y 经 过 平 面 区 域 内 的 点 (0， 1)时 ， 目 标 函 数 z x 2y 取 得 最 小 值 zmin 0 2( 1) 2， 故 选 B.4(2018湖州、衢州、丽水三地市质检)已知实数 x， y 满足Erro
3、r!则| x3 y|的最大值是( )A3 B5 C7 D9答案 B解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)中的整数点所示，当 x3y 时，由图知，目标函数 z x3 y 经过点 B(3,0)时取得最大值，即 zmax3；当 x0 时，1a 1a 0.1a(3)当 00，解得 a1.同理 b1.aa 1 9( a1)1a 1 9aa 1 1 1a 12 6，9a 11a 1当且仅当 9(a1) ，即 a 时等号成立1a 1 43 的最小值为 6.故选 B.1a 1 9b 18已知正实数 a， b， c 满足 a2 ab4 b2 c0，当 取最小值时， a b c 的最大值为(
4、)cabA2 B. C. D.34 38 14答案 C解析 正实数 a， b， c 满足 a2 ab4 b2 c0，可得 c a2 ab4 b2， 12 13.cab a2 ab 4b2ab ab 4ba ab4ba当且仅当 a2 b 时取得等号，当 a2 b 时， 取得最小值，且 c6 b2，cab a b c2 b b6 b26 b23 b6 2 ，(b14) 38当 b 时， a b c 有最大值 .14 389已知 xy1，且 0 ，所以 x2 y0.2 x2 y 4，x2 4y2x 2y x 2y2 4xyx 2y 4x 2y当且仅当 x 1， y 时等号成立33 12故选 A.10
5、已知 a0， b0， a2 b21，则 ab a 的最大值是( )A. B. C. D.334 324 332 22答案 A解析 由题意构造：00， b2 xa22 ab，(1 x)a2 y2 a，当x 1 xy1，即 y 时， a2 b2 2 (ab a)，当且仅当Error!时等号成立，又2x21 xy x1 x x1 x x因为 a2 b21，所以 x ，从而 a2 b2 (ab a)，故 ab a ，当且仅当13 12 32 23 334a ， b 时取“” ，故选 A.32 1211(2018温州高考适应性测试)若实数 x， y 满足约束条件Error!则可行域的面积为_， z2 x
6、 y 的最大值为_答案 83 103解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图(阴影部分含边界)所示，它是以(0,2)，(0，2)， 为顶点的三角形区域(包含边界)，则该区域的面积为(43， 23)(22) .12 43 83当目标函数 z2 x y 经过平面区域内的点 时， z2 x y 取得最大值 zmax2 (43， 23) 43 23.10312(2018浙江省高三“五校联考”)若实数 x， y 满足Error!则 x y 的最大值为_， x2 y2的取值范围为_6答案 5 15， 13解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，它是以(0,1)，(2,
7、3)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图(图略)易得当目标函数 z x y 经过(12， 0)平面区域内的点(2,3)时， z 取得最大值 zmax235. x2 y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方，由图易得原点到直线 y2 x1 的距离为区域内的点到原点的距离的最小值，点(2,3)到原点的距离为区域内的点到原点的距离的最大值，所以2 x2 y22 23 2，即 x2 y213.(| 1|22 12) 1513已知函数 f(x)2 xsin x，若正实数 a， b 满足 f(a) f(2b1)0，则 的最小值1a 4b是_答案 94 2解析 因为 f( x)2cos x0，f( x)2
8、xsin x f(x)，所以函数 f(x)为单调递增的奇函数，因此由 f(a) f(2b1)0，得 f(a) f(2b1) f(12 b)，所以 a12 b， a2 b1，因此 9 1a 4b (1a 4b)(a 2b) 2ba 4ab92 94 ，2ba4ab 2当且仅当 b a 时取等号214若正实数 x， y 满足 x2 y5，则 的最大值是_x2 3x 1 2y2 1y答案 83解析 2 yx2 3x 1 2y2 1y x 12 2x 1 2x 1 1y x122 y (2x 1 1y) x2 y1 (x12 y)16( 2x 1 1y)416(2 2 4yx 1 x 1y )74 (
9、42 ) ，16 4 83当且仅当 x2， y 时等号成立3215(2018“超级全能生”浙江省联考)已知 x， y， zR， x2 y2 z24，则 xz yz 的最大值是_；若 x y z0，则 z 的最大值是_答案 2 2263解析 xz yz22(2x22z 2y22z) 2 ，22(x2 12z2 y2 12z2) 2当且仅当 x y z 时取等号，22 x2 y24 z2， x y z，则( x y)24 z22 xy4 z2 ，x y22即 z282 z2， z ，263 263则 z 的最大值是 ，当且仅当 x y 时取等号26316设 x， y 均为正数，且 ，则 xy 的最
10、小值为_； x y 的最小值为1x 1 12y 1 12_答案 2 92 2 32解析 因为 ，1x 1 12y 1 x 2y 2x 12y 1 12化简得 2xy x2 y3，于是 2xy x2 y32 3，2xy令 t，则 t22 t3，2xy又 t0，解得 t3，则 xy ，92当且仅当 x2 y3 时， xy 有最小值 .92由 2xy x2 y3，得 y ，x 32x 1 12 2x 1因为 y0，所以 x10，8则 x y x x1 2 ，12 2x 1 2x 1 32 2 32当且仅当 x1 ，即 x1 时， x y 取得最小值 2 .2x 1 2 2 3217设实数 x0， y0 且满足 x y k，则使不等式 2恒成立的 k 的最大(x1x)(y 1y) (k2 2k)值为_答案 2 2 5解 析 不 妨 设 x y， 令 m ， x m t， y m t,0 tm， 所 以 不 等 式 2k2 (x 1x)(y 1y) (k2 2k)恒成立 2恒成立 t2 恒成立(m t1m t)(m t 1m t) (m 1m) m4 4m2 1m2 ( t2)min.m4 4m2 1m2因为 0 tm，所以( t2)min0，所以 0，m4 4m2 1m2所以 m22 ，所以 k2 m2 ，5 2 5所以 k 的最大值为 2 .2 5
