1、1107 分项练 5 平面向量1设 D， E 为正三角形 ABC 中 BC 边上的两个三等分点，且 BC2，则 等于( )AD AE A. B. C. D.49 89 269 263答案 C解析 如图， | | |2， ， 60，AB AC AB AC D， E 是边 BC 的两个三等分点， AD AE (AB 13BC ) (AC 13CB ) (23AB 13AC ) (13AB 23AC ) | |2 | |229AB 59AB AC 29AC 4 22 4 .故选 C.29 59 12 29 2692设 P 是 ABC 所在平面上的一点，若|2 |2，则 的最小值为( )AP BP C
2、P PA PB PA PC A. B1 C D112 122答案 C解析 由|2 |2，AP BP CP 可得| | |2.AP PB AP PC AB AC 设 BC 的中点为 D，即| |1.AD 点 P 是 ABC 所在平面上的任意一点， O 为 AD 中点 PA PB PA PC ( )PA PB PC 2 PA PD 2( )( )PO OA PO OD 2( )( )2( 2 2)PO OA PO OA PO OA 2 2 .PO 12 12当且仅当| |0，即点 P 与点 O 重合时， 取最小值 .故选 C.PO PA PB PA PC 123(2018浙江教育绿色评价联盟适应性
3、考试)在锐角 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 a2， c3 b，则 的取值范围为( )BA BC A. B.(163， 16) (83， 8)C. D.(365， 8) (185， 4)答案 D解析 由 ABC 为锐角三角形可知Error!解得 |MB|，| AH|HC|AM|MB|， I3I1，同理得 I3I2， I2I1， I3I2I1，故选 A.711已知平面向量 a， b 的夹角为 ，且满足| a|2，| b|1，则 3ab_，| a2 b|_.答案 1 2 3解析 | a|2，| b|1，向量 a 与 b 的夹角为 ， 3 ab| a|b|cos
4、1， 3由此可得 2 a24 ab4 b22 24141 212，(a 2b)| a2 b| 2 .(a 2b)2 312已知圆的半径为 1， A， B， C， D 为该圆上四个点，且 ，则 ABC 面积的最大AB AC AD 值为_答案 1解析 如图所示，由 知， ABDC 为平行四边形，AB AC AD 又 A， B， C， D 四点共圆， ABDC 为矩形，即 BC 为圆的直径，S ABAC AD2，12 12 AB2 AC22 14当 AD 是圆的直径时， ABC 的面积最大当 AB AC 时， ABC 的面积取得最大值为 41.1413已知平面向量 a， b，满足| a|2，| a
5、b|2| a b|，则| b|的最小值为_，最大值为_答案 623解析 方法一 由| a b|2| a b|，得( a b)24( a b)2，展开整理得 3a23 b210 ab0，设向量 a， b 的夹角为 ，上式即为123| b|220| b|cos 0，8得 cos 1，12 3|b|220|b|即 3|b|220| b|120，解得 | b|6，23故| b|的最小值为 ，最大值为 6.23方法二 由| a| b| a b|2| a b|2(| a| b|)，得2(2| b|)2| b|2(2| b|)，此式显然成立，同理| a| b| a b|2| a b|2| a| b|，即 2
6、|2| b|2| b|，得2| b|42| b|2| b|，解得 | b|6，23故| b|的最小值为 ，最大值为 6.2314(2018绍兴柯桥区质检)设 e1， e2为单位向量，单位向量 e xe1 ye2， x， yR，若|x|的最大值为 ，则 e1， e2的夹角为_2答案 或 4 34解析 记 e1与 e2的夹角为 ，由 e， e1， e2均为单位向量，且 e xe1 ye2，得关于 y 的二次方程 x22 xycos y21 有解，则 (2 xcos )24( x21)0，解得x2 2，由 0，知，故 sin ， e1与 e2的夹角为 或 .1sin2 22 4 3415已知 ABC
7、 和点 M，满足 0，若存在实数 m，使得 m 成立，则点MA MB MC AB AC AM M 是 ABC 的_，实数 m_.答案 重心 3解析 由 0 知，点 M 为 ABC 的重心设点 D 为底边 BC 的中点，则MA MB MC ( ) ( )，所以有 3 ，故 m3.AM 23AD 23 12AB AC 13AB AC AB AC AM 16(2018温州适应性测试)已知向量 a， b 满足| a| b| ab2，向量x a(1 )b，向量 y ma nb，其中 ， m， nR.若( y x)(a b)6，则 m2 n2的最小值为_答案 2解析 因为| a| b| ab2，则不妨设
8、a( ，1)， b( ，1)，3 3则 x( ，2 1)， y( (m n)， m n)，3 3则( y x)(a b)( (m n) ， m n(2 1)(2 ，0)6( m n)66，3 3 39解得 m n2，则 m2 n2 2，m n22当且仅当 m n1 时，等号成立，所以 m2 n2的最小值为 2.17(2018浙江省高三“五校联考”)点 G 是 ABC 的重心，过点 G 作直线与 AB， AC 两边分别交于 M， N 两点，且 x ， y .若 x ，则 y_，若 S AMN S ABC，AM AB AN AC 12 23则 x y_.答案 1 2解析 因为点 G 为 ABC 的
9、重心，即点 G 为 ABC 的三条中线的交点，则当 x 时，点 M 为12AB 的中点，则直线 MN 即为 ABC 的一条中线所在的直线，所以点 N 与点 C 重合，则 ，即 y1.AN AC 因为点 G 为 ABC 的重心，所以 ( )，AG 13AB AC 则 ( ) x ， y ( )MG AG AM 13AB AC AB (13 x)AB 13AC GN AN AG AC 13AB AC ，(y13)AC 13AB 由 与 共线，得存在唯一实数 使得MG GN ，(13 x)AB 13AC (y 13)AC 13AB 则Error! 化简得 x y3 xy，又因为 S AMN S ABC，23所以 x| |y| |sin BAC12 AB AC | | |sin BAC，23 12AB AC 解得 xy ，则 x y3 xy2.23
