1、1课时训练(二十一) 相似三角形的应用 |夯实基础|1.2018长春 孙子算经是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1 丈 =10 尺,1 尺 =10 寸),则竹竿的长为 ( )图 K21-1A.五丈 B.四丈五尺C.一丈 D.五尺2.2017兰州 如图 K21-2,小明为了测量一凉亭的高度 AB(顶端 A 到水平地面 BD 的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶 BC 等高的台阶
2、DE(DE=BC=0.5 米, A,B,C 三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点 G 处,测得 CG=15米,然后沿直线 CG 后退到点 E 处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端 A,测得 EG=3 米,小明身高 EF=1.6 米,则凉亭的高度 AB 约为( )图 K21-22A.8.5 米 B.9 米C.9.5 米 D.10 米3.2017绵阳 为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端 E,标记好脚掌中心位置为 B,测得脚掌中心位置 B 到镜面中心 C 的距离
3、是 50 cm,镜面中心 C 距离旗杆底部 D 的距离为 4 m,如图 K21-3 所示 .已知小丽同学的身高是 1.54 m,眼睛位置 A 距离小丽头顶的距离是 4 cm,则旗杆 DE 的高度等于 ( )图 K21-3A.10 m B.12 mC.12.4 m D.12.32 m4.2018潍坊 在平面直角坐标系中,点 P(m,n)是线段 AB 上一点,以原点 O 为位似中心把 AOB 放大到原来的两倍,则点 P 的对应点的坐标为 ( )A.(2m,2n)B.(2m,2n)或( -2m,-2n)C.( m, n)12 12D.( m, n)或( - m,- n)12 12 12 125.如图
4、 K21-4,以点 O 为支点的杠杆,在 A 端用竖直向上的拉力将重为 G 的物体匀速拉起,当杠杆 OA 水平时,拉力为F,当杠杆被拉至 OA1时,拉力为 F1,过点 B1作 B1C OA,过点 A1作 A1D OA,垂足分别为 C,D.给出下列四个结论:OB1C OA1D; OAOC=OBOD; OCG=ODF1;F=F 1.其中正确结论有 ( )3图 K21-4A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个6.如图 K21-5,数学活动小组为了测量学校旗杆 AB 的高度,使用长为 2 m 的竹竿作为测量工具,移动竹竿,使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面 O 处重合,测得 OD=4 m,
5、BD=14 m,则旗杆 AB 的高为 m. 图 K21-57.2018岳阳 九章算术是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为 5 步,股(长直角边)长为 12 步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是 步 . 图 K21-68.2017凉山州 如图 K21-7,若要在宽 AD 为 20 米的城南大道两边安装路灯,路灯的灯臂 BC 长 2 米,且与灯柱AB 成 120角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线 CO 与灯臂 BC 垂直,当灯罩的轴线 CO 通过公路路面的中心线时照明效果最好,此时
6、路灯的灯柱 AB 高应该设计为多少米?(结果保留根号)图 K21-749.课本中有一道作业题:如图 K21-8,有一块三角形余料 ABC,它的边 BC=120 mm,高 AD=80 mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB,AC 上 .问加工成的正方形零件的边长为多少?小颖解得此题的答案为 48 mm.小颖善于反思,她又提出了如下的问题 .(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图,此时这个矩形零件的两条边长分别是多少?(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但
7、这个矩形的面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长 .图 K21-85|拓展提升|10.2018宁波 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形 .(1)已知 ABC 是比例三角形, AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的 AC 的长;(2)如图 K21-9,在四边形 ABCD 中, AD BC,对角线 BD 平分 ABC, BAC= ADC,求证: ABC 是比例三角形;(3)如图,在(2)的条件下,当 ADC=90时,求 的值 .图 K21-96参考答案1.B2.A 解析 由题意得 AGC= FGE, ACG= FEG=90, FEG ACG
8、, = , = , 1.6153 AC=8, AB=AC+BC=8+0.5=8.5(米) .故选 A.3.B 解析 由题意可得, AB=1.5 m,BC=0.5 m,DC=4 m.易得 ABC EDC,则 = ,即 = ,解得 DE=12 m.1.50.54故选 B.4.B 解析 当放大后的 AOB与 AOB 在原点 O 同侧时,点 P 对应点的坐标为(2 m,2n);当放大后的 AOB与 AOB在原点 O 两侧时,点 P 对应点的坐标为( -2m,-2n),故选 B.5.D6.9 解析 由题意可知, CD=2 m, COD AOB,OB=OD+BD=18(m), = ,即 AB= = =9(
9、m). 21847. 解析 如图,四边形 CDEF 是正方形, CD=ED=CF.设 ED=x,则 CD=x,AD=12-6017x. DE CF, ADE= C, AED= B, ADE ACB, = , = , x= . 512-12 60177如图,四边形 DGFE 是正方形,过 C 作 CP AB 于 P,交 DG 于 Q,设 ED=y,S ABC= ACBC= ABCP,则 125=13CP,CP= ,同12 12 6013理得: CDG CAB, = , = ,y= ,该直角三角形能容纳的正方形边长最大是 步,故答案为: . 136013-6013 7802296017 6017
10、60178.解:如图,延长 OC,AB 交于点 P. ABC=120, PBC=60. OCB= A=90, P=30. AD=20 米, OA= AD=10 米 .12 BC=2 米,在 Rt CPB 中, PC=BCtan 60=2 (米),3PB=2BC=4 米 . P= P, PCB= A, PCB PAO, = , PA= = =10 (米), 23102 3 AB=PA-PB=(10 -4)米 .3故路灯的灯柱 AB 高应该设计为(10 -4)米 .389.解:(1)四边形 PNMQ 是矩形, PN QM, APN ABC, = .设 PQ=ED=x,则 PN=2x,AE=80-x
11、, = ,解得 x= ,2x= ,212080-80 2407 4807即矩形零件的两边长分别是 mm 和 mm.2407 4807(2)四边形 PNMQ 是矩形, PN QM, APN ABC, = .设 PQ=ED=x,则 = , 12080-80即 PN= 120= .80-80 3(80-)2 S 矩形 PNMQ=PNPQ= x=- x2+120x=- (x-40)2+2400,3(80-)2 32 32当 x=40 时, S 矩形 PNMQ有最大值 2400,此时 PN= =60(mm).3(80-40)2这个矩形的面积达到最大值时矩形零件的两条边长分别为 40 mm 和 60 mm
12、.10.解:(1) 或 或 .43 92 6(2)证明: AD BC, ACB= CAD.又 BAC= ADC, ABC DCA, = ,即 CA2=BCAD. AD BC, ADB= CBD. BD 平分 ABC, ABD= CBD,9 ADB= ABD, AB=AD, CA2=BCAB, ABC 是比例三角形 .(3)如图所示,过点 A 作 AH BD 于点 H. AB=AD, BH= BD.12 AD BC, ADC=90, BCD=90, BHA= BCD=90. ABH= DBC, ABH DBC, = , ABBC=BDBH, ABBC= BD2.12又 ABBC=AC2, BD2=AC2, = .12 2
