1、1方法技巧专题(十) 最短距离训练【方法解读】探究平面内最短路径的原理主要有以下两种:一是“垂线段最短”,二是“两点之间,线段最短” .立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题 .求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段 .1.矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图 F10-1,点 B 的坐标为(3,4), D 是 OA 的中点,点 E 在 AB 上,当 CDE 的周长最小时,点 E 的坐标为 ( )图 F10-1A.(3,1) B. (3, )43C.(3, ) D.(3,2)532.2018宜宾 在 ABC 中,若 O 为 BC
2、边的中点,则必有: AB2+AC2=2AO2+2BO2成立 .依据以上结论,解决如下问题:如图F10-2,在矩形 DEFG 中,已知 DE=4,EF=3,点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动,则 PF2+PG2的最小值为 ( )2图 F10-2A. B.10192C.34 D.103.2017天津 如图 F10-3,在 ABC 中, AB=AC,AD,CE 是 ABC 的两条中线, P 是 AD 上的一个动点,则下列线段的长等于 BP+EP 最小值的是 ( )图 F10-3A.BC B.CE C.AD D.AC4.2017莱芜 如图 F10-4,菱形 ABCD 的边长为 6, ABC=120
3、,M 是 BC 边的一个三等分点, P 是对角线 AC 上的动点,当 PB+PM 的值最小时, PM 的长是 ( )图 F10-4A. B. C. D.72 273 355 2645.2017乌鲁木齐 如图 F10-5,点 A(a,3),B(b,1)都在双曲线 y= 上,点 C,D 分别是 x 轴、 y 轴上的动点,则四边形3ABCD 周长的最小值为 ( )图 F10-53A.5 B.62 2C.2 +2 D.810 2 26.2018泰安 如图 F10-6, M 的半径为 2,圆心 M 的坐标为(3,4),点 P 是 M 上的任意一点, PA PB,且 PA,PB 与 x轴分别交于 A,B
4、两点,若点 A,B 关于原点 O 对称,则 AB 的最小值为 ( )图 F10-6A.3 B.4C.6 D.87.2018滨州 如图 F10-7, AOB=60,点 P 是 AOB 内的定点且 OP= ,若点 M,N 分别是射线 OA,OB 上异于点 O 的3动点,则 PMN 周长的最小值是 ( )图 F10-7A. B.362 332C.6 D.38.2018遵义 如图 F10-8,抛物线 y=x2+2x-3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 P 是抛物线对称轴上任意一点,若点 D,E,F 分别是 BC,BP,PC 的中点,连结 DE,DF,则 DE+DF 的最小值为
5、. 4图 F10-89.2018黑龙江龙东 如图 F10-9,已知正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 是 AB 边上一动点,连结 CE.过点 B 作 BG CE 于点 G.点 P 是 AB 边上另一动点,则 PD+PG 的最小值为 . 图 F10-910.2018广安改编 如图 F10-10,已知抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y= x+3 相交于 A,B 两点,交 x 轴于 C,D 两点,连结12 12AC,BC,已知 A(0,3),C(-3,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴 l 上找一点 M,使 |MB-MD|的值最大,并求出这个最大值 .图 F10-105
6、11.2018广州 如图 F10-11,在四边形 ABCD 中, B= C=90,ABCD,AD=AB+CD.(1)利用尺规作 ADC 的平分线 DE,交 BC 于点 E,连结 AE(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,证明: AE DE;若 CD=2,AB=4,点 M,N 分别是 AE,AB 上的动点,求 BM+MN 的最小值 .图 F10-11 6参考答案1.B 解析 如图,作点 D 关于直线 AB 的对称点 H,连结 CH 与 AB 的交点为 E,此时 CDE 的周长最小 . D( ,0),A(3,0),32 H( ,0),92可求得直线 CH 的解析式为 y=- x+4.
7、89当 x=3 时, y= , 点 E 的坐标为(3, ).故选 B.43 432.D 解析 取 GF 的中点 O,连结 PO,则根据材料可知 PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+222=8+2OP2,若使 PF2+PG2的值最小,则必须 OP 的值最小,所以 PO 垂直于 GF 时 PO 的值最小,此时 PO=1,所以 PF2+PG2的最小值为 10.故选 D.3.B 解析 连结 PC.由 AB=AC,可得 ABC 是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点 B 与点 C 关于直线 AD 对称, BP=CP,因此 BP+EP 的最小值为 CE.故选 B.4.A 解析 如图
8、,连结 BD,DM,BD 交 AC 于点 O,DM 交 AC 于点 P,则此时 PB+PM 的值最小 .过点 D 作 DF BC 于点 F,过点M 作 ME BD 交 AC 于点 E. ABC=120, BCD=60.又 DC=BC, BCD 是等边三角形 . BF=CF= BC=3.127 MF=CF-CM=3-2=1,DF= BF=3 .3 3 DM= =2 .(33)2+12 7 ME BD, CEM COB. = = = .2613又 OB=OD, = .13 ME BD, PEM POD. = = , PM= DM= 2 = .13 14 14 7 72故选 A.5.B 解析 点 A
9、(a,3),B(b,1)都在双曲线 y= 上, a=1,b=3, A(1,3),B(3,1),则 AB= = =2 .3 (1-3)2+(3-1)2 8 2作点 A 关于 y 轴的对称点 A1,作点 B 关于 x 轴的对称点 B1,连结 A1B1,交 y 轴于点 D,交 x 轴于点 C,则 A1(-1,3),B1(3,-1),A1B1= = =4 ,根据轴对称的性质,四边形 ABCD 周长的最小值是 AB+A1B1=2 +4 =6 .故选 B.(-1-3)2+3-(-1)2 32 2 2 2 26.C 解析 连结 OP, PA PB, APB=90. AO=BO, AB=2PO.若要使 AB
10、取得最小值,则 PO 需取得最小值,如图,连结 OM,交 M 于点 P,当点 P 位于点 P位置时, OP取得最小值,过点 M 作 MQ x 轴于点 Q,则 OQ=3,MQ=4, OM=5.又 MP=2, OP=3, AB=2OP=6.故选 C.87.D 解析 如图,分别以 OA,OB 为对称轴作点 P 的对称点 P1,P2,连结 P1P2,OP1,OP2,P1P2分别交射线 OA,OB 于点 M,N,则此时 PMN 的周长有最小值, PMN 周长等于 =PM+PN+MN=P1M+P2N+MN,根据轴对称的性质可知,OP1=OP2=OP= , P1OP2=120, OP1M=30,过点 O 作
11、 MN 的垂线段,垂足为 Q,在 OP1Q 中,可知 P1Q= ,所以332P1P2=2P1Q=3,故 PMN 周长的最小值为 3.故选 D. 8. 解析 因为点 D,E,F 分别是 BC,BP,PC 的中点,所以 DE,DF 是 PBC 的中位线,所以 DE= PC,DF= PB,所以322 12 12DE+DF= (PC+PB),即求 PC+PB 的最小值 .因为 B,C 为定点, P 为对称轴上一动点,点 A,B 关于对称轴对称,所以连结 AC,与12对称轴的交点就是点 P 的位置, PC+PB 的最小值等于 AC 的长度,由抛物线的解析式可得, A(-3,0),C(0,-3),AC=3
12、 ,所2以 DE+DF= (PC+PB)= .12 3229.2 -2 解析 由问题“ PD+PG 的最小值”考虑到“最短路径问题”,由于点 D 为定点,因此考虑作点 D 关于 AB 轴13对称的点 M,如图,连结 PM,GM,则 MP=DP.根据两点之间线段最短,当 M,P,G 三点不在同一条直线上时, PM+PGMG,即DP+PGMG;当 M,P,G 三点在同一条直线上时, PM+PG=MG,即 DP+PG=MG,因此,当 PD+PG 取最小值时, M,P,G 三点在同一条直线上,此时 DP+PG=MG.进一步得到:当 MG 取得最小值时, DP+PG 随之取得最小值 .下面分析 MG 何
13、时取得最小值 .注意到问题与点 G 有关,点 G 是 BCG 的直角顶点, BCG 的斜边为定值,因此,其斜边的一半也为定值,因此取 BC 中点 N,连结 GN,则GN 的长为 2.连结 MN,结合定点 M,可知 MN 也为定值 .再分析点 G,无论点 E 怎样变化,点 G 始终在以 N 为圆心, NG 长为半径的圆上 .根据三角形两边之差小于第三边,可知,当点 M,G,N 不在同一直线上时, MGMN-GN,进一步可知,当点 G 在线段MN 上时, MG=MN-GN,此时 MG 最小,最小值为 MN-GN.如图,易知 MN 的长,进一步可得结果 .9如图,作点 D 关于 AB 轴对称的点 M
14、,取 BC 中点 N,连结 MN,交 AB 于点 P,以 BC 为直径画圆,交 MN 于点 G,则 DP=MP, DP+PG=MP+PG=MG=MN-GN.作 NQ AD 于 Q,则 MN= =2 , MN-GN=2 -2, PD+PG 的最小值为 2 -2.2+2 13 13 1310.解:(1)抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A(0,3),C(-3,0), 解得12 =3,12(-3)2-3+=0. =52,=3.抛物线的解析式为 y= x2+ x+3.12 52(2)根据二次函数图象的对称性可知 MD=MC,要求 |MB-MD|的值最大,就是使 |MB-MC|的值最大,由三角形两边
15、之差小于第三边,得当点 B,C,M 在同一条直线上时, |MB-MD|的值最大 .由一次函数和二次函数的图象交于 A,B 两点,得x2+ x+3= x+3,解得 x=-4 或 x=0.当 x=-4 时, y=1,即点 B(-4,1).12 52 12点 C(-3,0), BC= = ,(-4+3)2+(1-0)2 2 |MB-MD|的最大值为 .211.解:(1)如图:10(2)证明:如图,延长 DE,AB 相交于点 F. ABC= C=90, ABC+ C=180. AB CD. CDE= F. DE 平分 ADC, ADE= CDE. ADE= F. AD=AF=AB+BF.又 AD=AB
16、+CD, AB+BF=AB+CD. BF=CD.在 CED 和 BEF 中, =,=,=, CED BEF. DE=EF.又 AD=AF, AE DE.如图,作 DH 垂直 AB 于点 H,作点 N 关于 AE 的对称点 N,连结 MN,则 MN=MN. BM+MN=BM+MN.由可得 AE 平分 DAB,点 N在 AD 上 .当点 B,M,N共线且 BN AD 时, BM+MN有最小值,即 BM+MN 有最小值 .在 Rt ADH 中,11AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得, DH= = =4 .2-2 32 2 DHA= BNA=90, DAH= BAN, DAH BAN, = , = .4246 BN= . BM+MN 的最小值为 .823 823
