1、1微专题五 以特殊三角形为背景的计算与证明姓名：_ 班级：_ 用时：_分钟1如图，在 RtABC 中，ACB90，BAC30，E 为 AB边的中点，以 BE为边作等边BDE，连结AD，CD.(1)求证：ADECDB；(2)若 BC ，在 AC边上找一点 H，使得 BHEH 最小，并求出这个最小值32如图，在等边ABC 中，点 D，E，F 分别同时从点 A，B，C 出发，以相同的速度在 AB，BC，CA 上运动，连结 DE，EF，DF.(1)证明：DEF 是等边三角形；(2)在运动过程中，当CEF 是直角三角形时，试求 的值S DEFS ABC23从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与
2、对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线(1)如图 1，在ABC 中，CD 为角平分线，A40，B60，求证：CD 为ABC 的完美分割线；(2)在ABC 中，A48，CD 是ABC 的完美分割线，且ACD 为等腰三角形，求ACB 的度数；(3)如图 2，在ABC 中，AC2，BC ，CD 是ABC 的完美分割线，且ACD 是以 CD为底边的等腰三2角形，求完美分割线 CD的长34如图，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，BACDAE90，点 P为射线 BD
3、，CE 的交点(1)求证：BDCE；(2)若 AB2，AD1，把ADE 绕点 A旋转，当EAC90时，求 PB的长45如图，直角ABC 中，A 为直角，AB6，AC8.点 P，Q，R 分别在 AB，BC，CA 边上同时开始作匀速运动，2 秒后三个点同时停止运动，点 P由点 A出发以每秒 3个单位的速度向点 B运动，点 Q由点 B出发以每秒 5个单位的速度向点 C运动，点 R由点 C出发以每秒 4个单位的速度向点 A运动，在运动过程中：(1)求证：APR，BPQ，CQR 的面积相等；(2)求PQR 面积的最小值；(3)用 t(秒)(0t2)表示运动时间，是否存在 t，使PQR90？若存在，请直接
4、写出 t的值；若不存在，请说明理由56问题：(1)如图 1，在 RtABC 中，ABAC，D 为 BC边上一点(不与点 B，C 重合)，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 90得到 AE，连结 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为_；探索：(2)如图 2，在 RtABC 与 RtADE 中，ABAC，ADAE，将ADE 绕点 A旋转，使点 D落在 BC边上，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：(3)如图 3，在四边形 ABCD中，ABCACBADC45.若 BD9，CD3，求 AD的长6参考答案1(1)证明：在 RtABC 中，BAC30，E
5、为 AB边的中点，BCEA，ABC60.DEB 为等边三角形，DBDE，DEBDBE60，DEA120，DBC120，DEADBC，ADECDB.(2)解：如图，作点 E关于直线 AC对称点 E，连结 BE交 AC于点 H，连结 EH，AE，则点 H即为符合条件的点由作图可知，EHHE，AEAE，EACBAC30，EAE60，EAE为等边三角形，EEEA AB，AEB90.12在 RtABC 中，BAC30，BC ，3AB2 ，AEAE ，3 3BE 3，AB2 AE 2 （ 2 3） 2 （ 3） 2BHEH 的最小值为 3.2(1)证明：ABC 是等边三角形，ABC60，ABBCCA.AD
6、BECF，BDCEAF.在ADF，BED 和CFE 中， AD BE CF， A B C，AF BD CE， )ADFBEDCFE，FDDEEF，7DEF 是等边三角形(2)解：ABC 和DEF 是等边三角形，DEFABC.当 DEBC 时(EFBC 时，同理)，BDE30，BE BD，即 BE BC，12 13CE BC.23EFECsin 60 BC BC，23 32 33 ( )2( )2 .S DEFS ABC EFBC 33 133(1)证明：A40，B60，ACB80，ABC 不是等腰三角形CD 平分ACB，ACDBCD ACB40，12ACDA40，ACD 为等腰三角形DCBA4
7、0，CBDABC，BCDBAC，CD 是ABC 的完美分割线(2)解：当 ADCD 时，如图，则ACDA48.BDCBCA，BCDA48，ACBACDBCD96.当 ADAC 时，如图，则ACDADC 66.180 482BDCBCA，BCDA48，8ACBACDBCD114.当 ACCD 时，如图，则ADCA48.BDCBCA，BCDA48.ADCBCD48与ADCBCD 矛盾，ACCD 不成立综上所述，ACB96或 114.(3)解：由已知得 ADAC2.BCDBAC， .BCBA BDBC CDAC设 BDx(x0)，则( )2x(x2)，2解得 x 1(负值舍去)，3 ，CDAC BD
8、BC 3 12CD 2 .3 12 6 24(1)证明：ABC 和ADE 是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE，DABEAC，ADBAEC，BDCE.(2)解：如图，当点 E在 AB上时，BEABAE1.EAC90，CE .AE2 AC2 5同(1)可证ADBAEC，DBAECA.PEBAEC，PEBAEC， ， ，PB .PBAC BECE PB2 15 2 55如图，当点 E在 BA延长线上时，BE3.9EAC90，CE .AE2 AC2 5同(1)可证ADBAEC，DBAECA.BEPCEA，PEBAEC， ， ，PB .PBAC BECE PB2 35 6 55综上所
9、述，PB 的长为 或 .2 55 6 555(1)证明：在 RtABC 中，AB6，AC8，BC10，sinB ，sinC .ACBC 810 45 35如图，过点 Q作 QEAB 于点 E，作 QDAC 于点 D.在 RtBQE 中，BQ5t，sinB ，QE4t.QEBQ 45在 RtCDQ 中，CQBCBQ105t，QDCQsinC (105t)3(2t)，35QEBQsinB5t 4t.45由运动知 AP3t，CR4t，BPABAP63t3(2t)，ARACCR84t4(2t)，S APR APAR 3t4(2t)6t(2t)，12 12SBPQ BPQE 3(2t)4t6t(2t)，
10、12 12SCQR CRQD 4t3(2t)6t(2t)，12 12S APR S BPQ S CQR ，10APR，BPQ，CQR 的面积相等(2)解：由(1)知，S APR S BPQ S CQR 6t(2t)AB6，AC8，S PQR S ABC (S APR S BPQ S CQR ) 6836t(2t)2418(2tt 2)1218(t1) 26.0t2，当 t1 时，S PQR 最小 6.(3)解：存在由(1)知 QE4t，QD3(2t)，AP3t，CR4t，AR4(2t)，BPABAP63t3(2t)，ARACCR84t4(2t)A90，四边形 AEQD是矩形，AEDQ3(2t)
11、，ADQE4t，DR|ADAR|4t4(2t)|4(2t2)|，PE|APAE|3t3(2t)|3(2t2)|.DQE90，PQR90，DQREQP，tanDQRtanEQP.在 RtDQR 中，tanDQR ，DRDQ 4|2t 2|3（ 2 t）在 RtEQP 中，tanEQP ，PEQE 3|2t 2|4t ，4|2t 2|3（ 2 t） 3|2t 2|4tt 或 1.18256解：(1) BCDCEC(2)BD2CD 22AD 2，理由如下：如图，连结 CE.11BACBADDAC90，DAECAEDAC90，BADCAE.在BAD 与CAE 中， AB AC， BAD CAE，AD AE， )BADCAE，BDCE，ACEB，DCE90，CE 2CD 2ED 2.在 RtADE 中，AD 2AE 2ED 2，ADAE，BD 2CD 2ED 2，ED AD，2BD 2CD 22AD 2.(3)如图，作 AEAD，使 AEAD，连结 CE，DE.BACCADDAECAD，即BADCAE.在BAD 与CAE 中，AB AC， BAD CAE，AD AE， )BADCAE(SAS)，BDCE9.ADC45，EDA45，EDC90，DE 6 .CE2 CD2 2DAE90，ADAE DE6.22
