1、1专题三 5 大数学思想方法第四节 方程思想与函数思想类型十五 方程思想在实际生活中的应用(2018台湾中考)某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同阿郁原先想购买 3 盒方形礼盒和 7 盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足 240 元，如果改成购买 7 盒方形礼盒和 3 盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下 240 元若阿郁最后购买 10 盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？( )A360 B480C600 D720【分析】设每盒方形礼盒 x 元，每盒圆形礼盒 y 元，根据阿郁身上的钱数不变列出方程，再根据阿郁最后购买 10 盒方形礼盒求解即可【自主解答】
2、17(2018新疆中考)某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支则该商店第一次购进的铅笔，每支54的进价是_元类型十六 方程思想在几何中的应用(2018湖南湘潭中考)如图，AB 是以 O 为圆心的半圆的直径，半径 COAO，点 M 是 上的动点，AB 且不与点 A，C，B 重合，直线 AM 交直线 OC 于点 D，连结 OM 与 CM.(1)若半圆的半径为 10.当AOM60时，求 DM 的长；当 AM12 时，求 DM 的长(2)探究：在点 M 运动的过程中，DMC 的大小是否为定
3、值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由2【分析】(1)当AOM60时，AMO 是等边三角形，从而可知MOD30，D30，所以DMOM10；过点 M 作 MFOA 于点 F，设 AFx，OF10x，利用勾股定理即可求出 x 的值易证明AMFADO，从而可知 AD 的长度，进而可求出 MD 的长度(2)根据点 M 的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案【自主解答】数与形的组合历来都是公认的求解数学问题的理想方法，它会使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可以用方程来解决要根据两边相等、勾股定理、相似三角形中的比例线段、题目中本
4、身具有的等量关系等建立方程，从而达到解决问题的目的18(2018山东潍坊中考)如图，点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点，连结 AM，作 DEAM 于点 E，BFAM于点 F，连结 BE.(1)求证：AEBF；3(2)已知 AF2，四边形 ABED 的面积为 24，求EBF 的正弦值类型十七 方程思想在函数中的应用(2018广西桂林中考)如图，已知抛物线 yax 2bx6(a0)与 x 轴交于点 A(3，0)和点B(1，0)，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线 y 的函数表达式及点 C 的坐标；(2)点 M 为坐标平面内一点，若 MAMBMC，求点 M 的坐标；(3)在抛物线上是否存
5、在点 E，使 4tanABE11 tanACB？若存在，求出满足条件的所有点 E 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)根据待定系数法，可得函数表达式；(2)根据线段垂直平分线的性质，可得 M 在线段 AB 和线段 AC 的垂直平分线上，根据勾股定理，可得答案；(3)根据相似三角形的判定与性质，可得 F 点坐标，根据解方程组，可得 D 点坐标，根据正切值，可得tanABE2，根据待定系数法，可得 BM，根据解方程组，可得 E 点坐标；根据正切值，可得关于 m4的方程，根据解方程，可得答案【自主解答】方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题
6、方法此类问题常见的形式有用待定系数法确定函数关系式，求两个函数图象的交点等19(2018湖南湘潭中考)如图，点 M 在函数 y (x0)的图象上，过点 M 分别作 x 轴和 y 轴的平行线3x交函数 y (x0)的图象于点 B，C.1x(1)若点 M 的坐标为(1，3)求 B，C 两点的坐标；求直线 BC 的表达式；(2)求BMC 的面积5类型十八 函数思想在实际生活中的应用(2018浙江舟山中考)小红帮弟弟荡秋千(如图 1)，秋千离地面的高度 h(m)与摆动时间 t(s)之间的关系如图 2 所示(1)根据函数的定义，请判断变量 h 是否为关于 t 的函数？(2)结合图象回答：当 t0.7 s
7、 时，h 的值是多少？并说明它的实际意义；秋千摆动第一个来回需多少时间？【分析】(1)根据函数的定义判断即可；(2)通过观察图象求解即可【自主解答】6数学源于生活，又用于生活，生活中我们常把实际问题转化为数学问题来解决，往往需要找出其中的等量关系来建立函数关系，求出问题的答案，如用一次函数、反比例函数、二次函数等知识来解决生活中遇到的问题20(2016浙江衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长 50 m)，中间用两道墙隔开(如图)已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为_ m2.类型十九 函数思想在数与式中的应用(
8、2018山东临沂中考)一列自然数 0，1，2，3，100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数则下列结论正确的是( )A原数与对应新数的差不可能等于零B原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C当原数与对应新数的差等于 21 时，原数等于 30D当原数取 50 时，原数与对应新数的差最大【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解【自主解答】7借助函数的知识解决有关方程、不等式及其他数与式的问题，往往需要我们先构造函数，再利用函数的图象和性质进行求解，常能够使得问题更加简单、直观21(2018贵州毕节中考)已知关于 x 的一元二次方程 x2xm10 有两个不相等
9、的实数根，则实数m 的取值范围是_22(2018江苏连云港中考)已知 A(4，y 1)，B(1，y 2)是反比例函数 y 图象上的两个点，则 y1与 y2的大小关系为_4x类型二十 函数思想在几何中的应用(2018湖北黄冈中考)如图，在直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴正半轴上，点 B，C在第一象限，C120，边长 OA8.点 M 从原点 O 出发沿 x 轴正半轴以每秒 1 个单位长的速度作匀速运动，点 N 从 A 出发沿边 ABBCCO 以每秒 2 个单位长的速度作匀速运动，过点 M 作直线 MP 垂直于 x轴并交折线 OCB 于 P，交对角线 OB 于 Q，点
10、M 和点 N 同时出发，分别沿各自路线运动，点 N 运动到原点O 时，M 和 N 两点同时停止运动(1)当 t2 时，求线段 PQ 的长；(2)求 t 为何值时，点 P 与 N 重合；(3)设APN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围8【分析】(1)解直角三角形求出 PM，QM 即可解决问题；(2)根据点 P，N 的路程之和24，构建方程即可解决问题；(3)分四种情形考虑问题即可解决问题；【自主解答】函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态的研究，从变量的运动变化，联系和发展的角度
11、拓宽解题思路23(2018四川绵阳中考)如图，已知ABC 的顶点坐标分别为 A(3，0)，B(0，4)，C(3，0)动点M，N 同时从 A 点出发，M 沿 AC，N 沿折线 ABC，均以每秒 1 个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点 C 时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为 t 秒连结 MN.(1)求直线 BC 的表达式；(2)移动过程中，将AMN 沿直线 MN 翻折，点 A 恰好落在 BC 边上点 D 处，求此时 t 值及点 D 的坐标；(3)当点 M，N 移动时，记ABC 在直线 MN 右侧部分的面积为 S，求 S 关于时间 t 的函数关系式9参考答案类型十五【例 15】 设每
12、盒方形礼盒 x 元，每盒圆形礼盒 y 元，则阿郁身上的钱有(3x7y240)元或(7x3y240)元由题意可得 3x7y2407x3y240，化简整理得 yx120.若阿郁最后购买 10 盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下：(7x3y240)10x3(yx)2403120240600(元)故选 C.变式训练174 类型十六【例 16】 (1)当AOM60时，OMOA，AMO 是等边三角形，AMOA60，MOD30，D30，DMOM10.如图，过点 M 作 MFOA 于点 F.设 AFx，OF10x.AM12，OAOM10，由勾股定理可知 122x 210 2(10x) 2，x ，AF .365 3
13、65MFOD，AMFADO，10 ， ，AMAD AFOA 12AD 36510AD ，MDADAM .503 143(2)如图，当点 M 位于 之间时，连结 BC.AC C 是 的中点，B45.AB 四边形 AMCB 是圆内接四边形，此时CMDB45.如图，当点 M 位于 之间时，连结 BC.BC 由圆周角定理可知CMDB45.综上所述，CMD45.变式训练18(1)证明：四边形 ABCD 为正方形，BAAD，BAD90.DEAM 于点 E，BFAM 于点 F，AFB90，DEA90.ABFBAF90，EADBAF90，ABFEAD.在ABF 和DAE 中， BFA AED， ABF DAE
14、，AB DA， )11ABFDAE(AAS)，BFAE.(2)解：设 AEx，则 BFx，DEAF2.四边形 ABED 的面积为 24， xx x224，12 12解得 x16，x 28(舍去)，EFx24.在 RtBEF 中，BE 2 ，42 62 13sinEBF .EFBE 42 13 2 1313类型十七【例 17】 (1)将 A，B 的坐标代入函数表达式得解得9a 3b 6 0，a b 6 0， ) a 2，b 4， )抛物线 y 的函数表达式 y2x 24x6.当 x0 时，y6，即 C(0，6)(2)由 MAMBMC 得 M 点在 AB 的垂直平分线上，M 在 AC 的垂直平分线
15、上，设 M(1，x)，由 MAMC 得(12) 2x 2(x6) 2(10) 2，解得 x ，114若 MAMBMC，点 M 的坐标为(1， )114(3)如图，过点 A 作 DAAC 交 y 轴于点 F，交 CB 的延长线于点 D，过点 A 作 AMx 轴，连结 BM 交抛物线于点 E.ACOCAO90，DAOCAO90，ACOAFO90，DAOACO，CAOAFO，12AOFCOA， ，AO 2OCOF.AOOF COAOOA3，OC6，OF ，326 32F(0， )32A(3，0)，F(0， )，32直线 AF 的表达式为 y x .12 32B(1，0)，C(0，6)，直线 BC 的
16、表达式为 y6x6. 解得y 12x 32，y 6x 6， ) x 1511，y 2411， )D( ， )，AD ，AC3 ，1511 2411 2411 5 5tanACB .24 5113 5 8114tanABE11tanACB，tanABE2.AB4，tanABE2，AM8，M(3，8)B(1，0)，(3，8)，直线 BM 的表达式为 y2x2.联立 BM 与抛物线得 y 2x 2，y 2x2 4x 6， )解得 x2 或 x1(舍去)，y6，E(2，6)如图，当点 E 在 x 轴下方时，过点 E 作 EGAB，连结 BE.13设点 E(m，2m 24m6)，tanABE 2，CEB
17、G 2m2 4m 6 m 1m4 或 m1(舍去)，可得 E(4，10)综上所述，E 点坐标为(2，6)，(4，10)变式训练19解：(1)点 M 的坐标为(1，3)，且 B，C 在函数 y (x0)的图象上，1x点 C 横坐标为 1，纵坐标为 1，点 B 纵坐标为 3，横坐标为 ，13点 C 坐标为(1，1)，点 B 坐标为( ，3)13设直线 BC 的表达式为 ykxb，把 B，C 点坐标代入得解得1 k b ，3 13k b ， ) k 3，b 4， )直线 BC 的表达式为 y3x4.(2)设点 M 坐标为(a，b)点 M 在函数 y (x0)的图象上，3xab3.由(1)得点 C 坐
18、标为(a， )，B 点坐标为( ，b)，1a 1bBMa ，1b ab 1bMCb ，1a ab 1aS BMC .12 ab 1b ab 1a 12 （ ab 1） 2ab 2314类型十八【例 18】 (1)由图象可知，对于每一个摆动时间 t，h 都有唯一确定的值与其对应，变量 h 是关于 t 的函数(2)由函数图象可知，当 t0.7 s 时，h0.5 m，它的实际意义是秋千摆动 0.7 s 时，离地面的高度是 0.5 m.由图象可知，秋千摆动第一个来回需 2.8 s.变式训练20144类型十九【例 19】 设原数为 a，则新数为 a2，设新数与原数的差为 y，则 ya a2 a2a.11
19、00 1100 1100易得当 a0 时，y0，则 A 错误 0，1100当 a 时，y 有最大值b2a 12（ 1100）B 错误，D 正确当 y21 时， a2a21，1100解得 a130，a 270，则 C 错误故选 D.变式训练21m 22.y 1y 2 54类型二十【例 20】 (1)当 t2 时，OM2.在 RtOPM 中，POM60，PMOMtan 602 .3在 RtOMQ 中，QOM30，QMOMtan 30 ，2 33PQCNQM2 .32 33 4 33(2)由题意，8(t4)2t24，解得 t .203(3)当 0t4 时，S 2t4 4 t.12 3 315当 4t
20、 时，S 8(t4)(2t8)4 40 6 t.203 12 3 3 3当 t8 时，S (t4)(2t8)84 6 t40 .203 12 3 3 3当 8t12 时，SS 菱形 ABCOS AON S ABP S PNC 32 (242t)4 8(t4)4312 3 12 (t4) (2t16) t212 t56 .312 32 32 3 3变式训练23解：(1)设直线 BC 的表达式为 ykxb，则 解得b 4， 3k b 0， ) k 43，b 4， )直线 BC 的表达式为 y x4.43(2)如图 1 中，连结 AD 交 MN 于点 O.由题意四边形 AMDN 是菱形，M(3t，0)，N(3 t， t)，35 45O(3 t， t)，D(3 t， t)45 25 85 45点 D 在 BC 上， t (3 t)4，45 43 85解得 t ，3011t s 时，点 A 恰好落在 BC 边上点 D 处，此时 D( ， )3011 1511 2411(3)如图 2 中，当 0t5 时，ABC 在直线 MN 右侧部分是AMN，S t t t2.12 45 25如图 3 中，当 5t6 时，ABC 在直线 MN 右侧部分是四边形 ABNM.16S 64 (6t)4 (t5) t2 t12.12 12 45 25 325
