1、1专题 03 导数一基础题组1.【浙江省“七彩阳光”联盟 2019 届高三期初联考】设 为正数， ，若 在区间不大于 0，则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】求导得到函数 在区间 递增，只要满足 就可以算出结果【详解】【点睛】运用导数求得函数的单调性，然后满足题意列出不等式即可算出结果，本题较为基础.2.【浙江省“七彩阳光”联盟 2019 届高三期初联考】已知函数 ，则函数 的最小的极值点为_；若将 的极值点从小到大排列形成的数列记为 ，则数列 的通项公式为_.【答案】 或【解析】【分析】2求导后令导函数等于零求出最小极值点，结合三角函数的零点分类求出数列 的通项公
2、式【详解】，或 ，显然数列 的 ，当 为偶数时，当 为奇数时，综上所述，【点睛】本题考查了含有三角函数的极值问题，运用导数求导后结合三角函数的周期性求出极值，按照要求分类讨论出极值点的通项，还是需要探究出其规律。3.【浙江省杭州市第二中学 2018 届高三 6 月热身考】如图，可导函数 在点 处的切线为，设 ，则下列说法正确的是（ ）A 是 的极大值点B 是 的极小值点C 不是 的极值点D 是 的极值点【答案】B【解析】分析：从图像看，在 上， 为增函数，在 上， 是减函数，故可判断为 的极小值点3点睛：函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则
3、是：“在 的附近的任意 ，有 （ ） ” 另外如果 在 附近可导且 的左右两侧导数的符号发生变化，则 必为函数的极值点4. 【浙江省“七彩阳光”联盟 2019 届高三期初联考】函数 的图象大致是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】利用导数法分析函数的单调性，再结合函数的零点个数，排除错误答案即可【详 解】【点睛】4本题主要考查了函数的图像，依据函数求出零点，运用导数判断其单调性和极值，从而得到答案5. 【浙江省杭州市学军中学 2018 年 5 月高三模拟】已知不等式 对任意实数 恒成立，则 的最大值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：先转化为 ，再转化为 ，再求 g(x
4、)的最大值得解. 详解：原不等式可以化为 ，设 f(x)= ,所以 ，所以只有 a+40，才能有 恒成立.此时,设 g(x)=所以所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，考查利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是原不等式可以化为，求 ,其二是设 g(x)= 求 g(x)的最大值.6. 【腾远 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 （ ）5A 有极大值，没有最大值 B 没有极大值，没有最大值 C 有极大值，有最大值 D 没有极大值，有最大
5、值【答案】A【解析】分析：根据导函数点图象，得出当 时，函数 先增后减；当 时，函数 先减后增，即可得到结论.详解：由题意，函数 的图象可知，当 时，函数 先增后减；当 时，函数 先减后增，所以函数 有极大值，没有最大值，故选 A. 7. 【浙江省杭州市 2018 届高三第二次高考科目检测】已知 a0 且 a1，则函数 f (x)( x a)2lnx（ ）A 有极大值，无极小值 B 有极小值，无极大值C 既有极大值，又有极小值 D 既无极大值，又无极小值【答案】C【解析】分析：对函数求导，令 ，得 或 ，根据函数的图象可得方程有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到函数既有极大值，又有极小值
6、.详解：由题意， ，由 ，得 或，由方程 ，结合函数图象，作出 和 的图象，结合图象得 和 的图象有交点，方程 有解，由此根据函数的单调性6和极值的关系得到：函数 既有极大值，又有极小值具有极大值，也有极小值，故选 C.8. 【浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试】已知函数 （ ）在上为增函数，则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题函数 为增函数，则在 上恒成立，则，设 则令 得到 ，可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则， 即 的取值范围是 ，选 A9. 【浙江省金华市浦江县 2018 年高考适应性考试】已知函数 ，则（ ）A 当 时， 在 单调递减 B
7、当 时， 在 单调递减C 当 时， 在 单调递增 D 当 时， 在 单调递增【答案】D【解析】分析：求导 然后分析函数单调性根据 a，b 取值情况，重点分析 最值即可得出原函数的单调情况，从而得出结论10. 【浙江省台州中学 2018 届高三模拟】当 时， ，则下列大小关系正确的是（ ）7A B C D 【答案】D【解析】分析：由 得到 ，要比较 与 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出 与 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到 与 的大小，从而求得最后的结果.详解：根据 得到 ，而 ，所以根据对数函数的单调性可
8、知 时， ，从而可得 ，函数 单调递增，所以 ，而 ，所以有 ，故选 D. 二能力题组1. 【浙江省“七彩阳光”联盟 2019 届高三期初联考】已知函数（1）判断 的单调性；（2）若函数 存在极值，求这些极值的和的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】求导后分类讨论 的取值范围来确定函数单调性存在极值即 在 上有解，即方程 在 上有解，然后讨论求出结果【详解】8（2）对函数 求导得 . 因为 存在极值，所以 在上有解，即方程 在 上有解，即 .显然当 时， 无极值，不合题意，所以方程 必有两个不等正根. 设方程 的两个不等正根分别为 ，则 ，由题意知 ，由 得 ，即这些极值的
9、和的取值范围为 【点睛】本题考查了含有参量的函数单调性和极值问题，求导后对其分类讨论是解答此类问题的关键，在分类过程中，一定要理清题意和思路，按部就班求出分类后的结果，一定要熟练掌握这类题目的解答方法。2.【浙江省杭州市第二中学 2018 届高三 6 月热身考】已知函数 .（）求曲线 在点 处的切线方程；（）求证： .【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】分析：（）先求 ，再求切线的斜率 即可得到曲线在 处的切线.（）要证 ，只要 ，而 ，故应考虑 在上的零点，又 ，此方程在 仅有一个根 且为 的最小值点，所以待证 成立，可估算 ，故 成立.详解：（）所以 ，则切线方程为 .9点睛：解决
10、曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.函数不等式的证明，可归结为函数的最值来处理，有时最小值点难以计算时，须估算最小值点的范围.3. 【浙江省教育绿色评价联盟 2018 届高三 5 月适应性考试】设函数 ，（1）求 的导函数；（2）求 在 上的取值范围【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）利用初等函数求导公式以及导数的求导法则可得， ；（2）求出 ，在 上，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间,根据单调性可得 在 上的取值范围详解：（1） 10点睛：求函数 极值及最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2)
11、 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 在 处取极小值. （5） 如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.4. 【浙江省杭州市第二中学 2018 届高三仿真考】设函数 ， ，（）求曲线 在点（1,0）处的切线方程；（）求函数 在区间 上的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】分析：(1)先断定 在曲线 上，从而需要求 ，令 ，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的
12、方程；(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.详解：（）当 ， . ，当 ， ， 所以切线方程为 .11点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.5. 【浙江省杭州市学军中学 2018 年 5 月高三模拟】已知函数 ，其中 .（）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围；（）若函数 在区间 上有极大值 ，求 的值.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）先求导，再分离参数转化为 在 上有解，再
13、求 a 的取值范围.(2)先对 a 分类讨论求函数 在区间 上极大值 ，得 ，再求 和 a 的值. 详解：（1）= 在 上有解，所以 在 上有解，12设 g(x)=所以函数 g(x)在（1，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数.所以点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值、极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的难点求得极大值 ，得 （*）后，如何求 的值.这里又利用了构造函数和求导解答. 136. 【2018 年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知函数 21fxx.（1）求 fx的导函数；（2）求 的定义域及值域.【答案】 （1） 2
14、21xfx；（2） 0,【解析】分析：（1）根据复合函数以及幂函数的求导公式进行运算；（2）根据根式的性质以及二次函数的值域求出函数的定义域，对函数求导，判断出单调性求出函数的极大值，即函数的最大值，再由根式的性质得出函数的值域详解：（1）对 fx求导得： 21xf22 2411xx.14点睛：利用导数解答函数最值或值域的一般步骤：第一步：先求出函数 fx的定义域；第 二步：利用0fx或 fx求单调区间；第三步：解 0fx得两个根 12,；第四步：比较两根同区间端点的大小；第五步：求极值；第六步：比较极值同端点值的大小7. 【腾远 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知函
15、数 .（1）求函数 的单调区间；（2）若 ，对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】分析：（1）由题意求得 ，令 得 或 ，分类讨论即可求解 函数的单调区间；15（2）由（1）知，当 时，函数 的单调性，求得函数的极大值与极小值，又由要对任意的恒成立，结合图象得 ，即可求解.（2）因为 ，则 .且由（1）知，当 时，函数 在 上单调递增，在 单调递减，所以函数 的极大值与极小值分别为 .若要对任意的 恒成立，结合图象可知只需满足 即可，解得 .点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算
16、能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.8. 【浙江省金华十校 2018 年 4 月高考模拟】已知函数 ， .（）讨论 的单调性；（）记 在 上最大值为 ，若 ，求实数 的取值范围.【答案】 （）见解析；（） .【解析】试题分析：（）求导可得： ，分类讨论：当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 的递增区间有 ， ，递减区间有 .（）由（）知：当 时， ；16当 即 时， ；
17、当 时，分类讨论有：当 时， ， ；当 时， ， .据此可得若 ，则实数 的取值范围为 .（）由（）知：当 时，函数 在 上单调递增，此时 ；当 即 时， ， 在 单调递减， ， ， ，即 ；当 时， ，而 在 ， 递增，在 上递减， .由 ，得 ，令 ，则 ， ，即 ， ， .当 时， ， ；17当 时， ， .综合得：若 ，则实数 的取值范围为 .9. 【浙江省金丽衢十二校 2018 届高三第二次联考】已知函数 f（x）=a xxlna（a0 且 a1） （）求函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（）求函数 f（x）单调区间；（）若对任意 x1，x 2R，有|f（sinx 1
18、）f（sinx 2）|e2（e 是自然对数的底数） ，求实数 a 的取值范围【答案】 （1）y=1（2）在0，+）递增，在（，0递减；（3） 【解析】分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程， （2）根据 a 与 1 大小分类讨论 导函数符号，再根据导函数符号确定单调区间， （3）先将恒成立问题转化为对应函数最值，再根据单调性确定函数最值，通过构造函数解不等式，可得实数 a 的取值范围详解：（）当 a1 时，令 f（x）0，解得：x0，令 f（x）0，解得：x0，当 0a1 时，令 f（x）0，解得：x0，令 f（x）0，解得：x0，故对a0，且 a1，f（
19、x）在 0，+）递增，在（ ，0递减；（）记 f（x）在 x1，1上的最大值是 M，最小值是 m，要使对任意 x1，x 2R，有|f（sinx 1）f（sinx 2）|e2，只需 Mme2 即可，根据 f（x）的单调性可知，m=f（0）=1，M 为 f（1） ，f（1）的最大值，f（1）= +lna，f（1）=alna，f（1）f（1）= a+2lna，令 g（x）= x+2lnx，g（x）= 0，故 g（x）在（0，+）递减，又g（1）=0，18a1 时，g（a）g（1）=0，即 f（1）f（1） ，此时 M=alna，要使 Mme2，即有 alna1e2，再令 h（x）=xlnx，由 h（
20、x）= 可知 h（x）在（1，+）递增，不等式 alnae1 可化为 h（a）h（e） ，解得：1ae，当 0a1 时，g（a）g（1）=0，即 f（1）f（1） ，此时 M= +lna，要使 Mme2 ，即有 +lna1e2，再令 l（x）= +lnx，由 l（x）= ，可知 l（x）在（0，1）递减，不等式 +lnae1 可化为 l（a）l（ ） ，解得： a1，综上，a 的范围是 ，1）（1，e10. 【浙江省诸暨市 2018 届高三 5 月适应性】已知函数 ， ，.（1）当 时，求函数 的极值；（2）若 ，且函数 与 在 处的切线重合，求证： 恒成立.【答案】 （1）见解析；（2）见解
21、析.【解析】【分析】（1）求出函数的导 数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）代入 的值，求出切线方程，一方面先证： ，另一方面： 恒成立，令 ，根据函数的单调性证明即可【详解】（1）令 在 ， 上单调递减，在 上单调递增19极大值 ， 极小值11. 【浙江省诸暨市 2018 届高三 5 月适应性】已知 ，关于 的方程 恰有三个不等实根，且函数 的最小值是 ，则 _【答 案】5【解析】【分析】由条件可得直线 与 相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得 的方程，再由函数 的单调性，可得 的最小值，化简变形即可得到 的关系式，可得所求值【详解】关于 的方程
22、恰有三个不等实根，可得直线 与 相切相切，设切点为 ， ，则 ，20消去 ，可得 设 与 轴的两个交点的横坐标为： ，即有函数 ，当 时， 取得最小值是 ，即有 可得 即为 ，化为 ，可得 或 ，由 ，可得 ，即 故答案为：512. 【浙江省宁波市 2018 届高三 5 月模拟】已知函数 ，其中 为实常数（）若 是 的极大值点，求 的极小值；（）若不等式 对任意 ， 恒成立，求 的最小值【答案】 （）极小值 （） .【解析】分析：（）先根据 是 的极大值点求出 ,再利用导数求 的极小值. （）先分离参数得到 ，再分类讨论求 即得 b 的最小值. 详解：（） ， 因为 由 ，得 ，所以 , 此时
23、 则 所以 在 上为减函数，在 上为增函数 21所以 为极小值点，极小值 13. 【浙江省上虞市 2018 届高三第二次(5 月)调测】设 是函数 的一个极值点.（1）求 与 之间的关系式，并求当 时，函数 的单调区间： （2）设 ， .若存在 使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）由题意可得 ， 结合题意可得 . 当时， ，利用导函数研究函数的单调性可得 在 上单调递增，在 和 单调递减. （2）结合(1)的结论可知 在 上单调递增，在 单调递减，则 ，； 而 . 据此可得 ，求解不等式可得.详解：（1） ， 22由题意知 ，解得 . 当 ，则 ，
24、故令 得： ，于是 在 上单调递增，在 和 单调递减. （2）由（1）得： ，令 得： （ ） ，所以 在 上单调递增，在 单调递减，于是 ， ； 另一方面 在 上单调递增， . 根据题意，只要 ，解得 ，所以 .14. 【浙江省嘉兴市 2018 届高三 4 月模拟】已知函数 （）求函数 在 处的切线方程；（）证明： 仅有唯一的极小值点.【答案】 （） ；（）证明见解析.【解析】试题分析：（1）对函数进 行求导，求出 和 ，利用直线的点斜式可得切线方程；（2）令 ，对其求导得 与 0 的关系，继而得 与 0 的关系，结合以及 在 上单调递增可得结论.2315. 【浙江省杭州市 2018 届高三
25、第二次高考科目检测】已知函数 f(x)（）求函数 f(x)的导函数 f ( x)；（）证明： f(x) （e 为自然对数的底数） 【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】分析：（）由题意，根据函数导数的计算公式、法则进行运算，从而问题可得解；（）由题意，可将不等式的证明转化为求函数的单调性、最值的问题，通过研究函数的单调性，求出函数的最值，再根据最值点的范围，从而问题可得解.详解：（I） 16. 【浙江省绍兴市 2018 届高三 3 月模拟】已知函数 .（）当 时，判断 的单调性；（）当 时，恒有 ，求 的取值范围.【答案】(1) 在 上单调递增(2) 【解析】试题分析：（1）第（）问利用导数
26、求导，研究函数的单调性. (2)对 进行分类讨论，探究每一种情况是否满足 .试题解析：（）当 时， ， .故 在 上单调递增.（）由于 ，即 ，解得 .当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，符合24题意.当 时， ， ，存在 ，使得 ，故 在 单调递减， 在 单调递增.因为 ，所以 ，.由单调性知 .符合题意.当 时， ， ，在 上递减，在 上递增，且 .符合题意.当 时， ， ， ，对称轴 .故 在 内有两个不同的实根 ， ，设 ，则 在 单调递减， 在 单调递增， 在 单调递减.必有 ，不符合 题意.综合，所以 的取值范围是 .17. 【浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试
27、】设函数 （）当 ( 为自然对数的底数)时，求 的极小值；（）若对任意正实数 a、 b（ ） ，不等式 2fafb恒成立，求 的取值范围【答案】() fx取极小值为 2fe；() 18m.【解析】试题分析：（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数 的极小值；（）构造函数 2gxfx，可知 g为 0,上为减函数.25所以 210mgx对任意 ,x恒成立，可求 m 的取值范围试题解析;（） e时， 21exf， 所以 fx在 ,上单调递减，在 ,上单调递增，故当 e时， f取极小值为 fe。（）不妨设 ab，则有 2aba，即 2fafb，构造函数 2gxfx，所
28、以 g，所以 gx为 0,上为减函数.所以 10m对任意 ,恒成立即 2ax8. 18. 【浙江省金华市浦江县 2018 年高考适应性考试】已知函数（）求函数 在点 处的切线方程；（）求证：【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】分析：（1）求切线方程先求导 ，然后代入切点横坐标的出切线斜率即可求得切线方程；（2）分析函数单调性求出函数最值即可. （）所以 则切线方程为19. 【浙江省余姚中学 2018 届高三选考科目模拟卷（二） 】已知函数 26（1）当 时，试求曲线 在点 处的切线；（2）试讨论函数 的单调区间【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】将 代入，求导后求出切线方程
29、求导后对参量 进行分类讨论，然后结合定义域给出单调区间【详解】（）当 时，函数定义域为 ，切线为20. 【浙江省余姚中学 2018 届高三选考科目模拟考试（一） 】已知函数 （1）当 时，试求曲线 在点 处的切线；（2）试讨论函数 的单调区间【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】27将 代入，求导后求出切线方程求导后对参量 进行分类讨论，然后结合定义域给出单调区间【详解】（）当 时，函数定义域为 ，切线为（）当 时，函数定义域为 ， 在 上单调递增当 时， 恒成立，函数定义域为 ，又 在 单调递增， 单调递减， 单调递增当 时，函数定义域为 ， 在 单调递增， 单调递减，单调递增当 时， 设 的两个根为 且 ，由韦达定理易知两根均为正根，且 ，所以函数的定义域为 ，又对称轴 ，且，在 单调递增， 单调递减， 单调递增21. 【浙江省台州中学 2018 届高三模拟】已知函数 ，（1）求曲线 在点 处的切线方程；（2）当 时，求证： .【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)求出原函数的导函数，求出函数 ，再求出 的值，由直线方程的点斜式写出切线方程并化简，即可得结果.(2)将不等式进行化简，移项，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，最后证得结果.28
