1、1反比例函数图象与三等分角三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题,与化圆为方、倍立方体问题一起被称为古希腊三大几何问题,而如今数学上已证实了这个问题无解.该问题的完整叙述为:只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分.在尺规作图的前提下,此题无解.若将条件放宽,例如允许使用有刻度的直尺,或者配合其他曲线,可以将一给定角三等分.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法,如图:1.建立平面直角坐标系,将已知锐角AOB 的顶点与原点重合,角的一边 OB 与 x 轴正方向重合.2.在平面直角坐标系里,绘制函数 y= 的图象,图象与已知角的另一边 OA 交于点 P.13.以点 P 为
2、圆心、2OP 的长为半径作弧,交函数 y= 的图象于点 R.14.分别过点 P,R 作 x 轴和 y 轴的平行线,两线相交于点 M.5.连接 OM,得到MOB,这时,MOB= AOB.13阅读下列材料并完成相应任务:三等分任意角问题是数学史上一个著名的问题,直到 1837 年,数学家才证明了“三等分任意角”是不能用尺规完成的.在探索中,出现了不同的解决问题的方法.方法一:如图(1),四边形 ABCD 是矩形,借助几何画板的度量功能,在 DA 的延长线上取一点 F,并连接 CF,在 CF 上取一点 G,使ACG=AGC,GAF=F,CF 与 AB 交于点 E,此时ECB= ACB.13方法二:图
3、(2)是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法:将给定的锐角AOB 置于平面直角坐标系中,边 OB 在 x 轴上,边 OA 与函数 y= 的图象交于点 P,以点 P1为圆心,2OP 的长为半径作弧,交图象于点 R,过点 P 作 x 轴的平行线,过点 R 作 y 轴的平行线,两直线相交于点 M,连接 OM 得到MOB,过点 P 作 PHx 轴于点 H,过点 R 作 RQPH 于点 Q,则MOB= AOB.13(1)在“方法一”中,若ACF=40,GF=4,求 BC 的长;(2)完成“方法二”的证明.图(1) 图(2)参考答案反比例函数图象与三等分角2(1)ACG=AGC,GAF=F,
4、AC=AG=GF=4.ACF=40,ECB= ACB,13ACB=60,BC=ACcosACB=4 =2.12(2)证明:设 P(a, ),R(b, ),则 M(b, ),Q(a, ),1 1 1 1设直线 OM 的解析式为 y=kx,则 k= ,1直线 OM 的解析式为 y= x.1点 Q 的坐标是(a, ),满足直线 OM 的解析式,1点 Q 在直线 OM 上.由题易知四边形 PMRQ 是矩形,连接 RP,交 QM 于点 S,如图,则 PS=MS.又PR=2OP,OP= PS=MS,POS=PSO,MPS=PMS.又PSO 是PSM 的外角,PSO=2PMS.PMx 轴,PMO=MOB,POS=2MOB,MOB= AOB.13
