1、1专题三 几何图形的折叠与动点问题类型一 与特殊图形有关(2018河南)如图,MAN90,点 C 在边 AM 上,AC4,点 B 为边 AN 上一动点,连接 BC,ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称,点 D,E 分别为 AC,BC 的中点,连接 DE 并延长交 AB 所在直线于点 F,连接 AE.当AEF 为直角三角形时,AB 的长为_【分析】 当AEF 为直角三角形时,存在两种情况:AEF90,AFE90进行讨论【自主解答】 当AEF 为直角三角形时,存在两种情况:当AEF90时,如解图,ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称,ACAC4,ACBACB.点 D,E 分别为 AC,
2、BC 的中点,D、E 是ABC 的中位线,DEAB,CDEMAN90,CDEAEF,ACAE,ACBAEC,ACBAEC,ACAE4.在 RtACB 中,E 是斜边 BC 的中点,BC2AE8,由勾股定理,得 AB2BC 2AC 2,AB 482 42;当AFE90时,如解图,ADFADFB90.ABF90,ABC 与3ABC 关于 BC 所在直线对称,ABCCBA45,ABC 是等腰直角三角形,ABAC4;综上所述,AB 的长为 4 或 4.3图图1如图,四边形 ABCD 是菱形,AB2,ABC30,点 E 是射线 DA 上一动点,把CDE 沿 CE 折叠,其中点 D 的对应点为 D,连接
3、DB. 若使DBC 为等边三角形,则 DE_. 22如图,在 RtABC 中,ACB90,AB5,AC4,E、F 分别为 AB、AC 上的点,沿直线 EF 将B折叠,使点 B 恰好落在 AC 上的 D 处当ADE 恰好为直角三角形时,BE 的长为_3(2017河南)如图,在 RtABC 中,A90,ABAC,BC 1,点 M,N 分别是边 BC,AB 上2的动点,沿 MN 所在的直线折叠B,使点 B 的对应点 B始终落在边 AC 上若MBC 为直角三角形,则 BM 的长为_4(2018新乡一模)菱形 ABCD 的边长是 4,DAB60,点 M、N 分别在边 AD、AB 上,且 MNAC,垂足为
4、 P,把AMN 沿 MN 折叠得到AMN.若ADC 恰为等腰三角形,则 AP 的长为_5(2017三门峡一模)如图,在 RtABC 中,ACB90,AB5,AC3,点 D 是 BC 上一动点,连接AD,将ACD 沿 AD 折叠,点 C 落在点 C,连接 CD 交 AB 于点 E,连接 BC.当BCD 是直角三角形时,DE 的长为_6(2018盘锦)如图,已知 RtABC 中,B90,A60,AC2 4,点 M、N 分别在线段3AC、AB 上将ANM 沿直线 MN 折叠,使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上,当DCM 为直角三角形时,折痕 MN 的长为_37(2018乌鲁木齐)如图,在
5、 RtABC 中,C90,BC2 ,AC2,点 D 是 BC 的中点,点 E 是3边 AB 上一动点,沿 DE 所在直线把BDE 翻折到BDE 的位置,BD 交 AB 于点 F,若ABF 为直角三角形,则 AE 的长为_8(2017洛阳一模)在菱形 ABCD 中,AB5,AC8,点 P 是对角线 AC 上的一个动点,过点 P 作 EF 垂直 AC 交 AD 于点 E,交 AB 于点 F,将AEF 折叠,使点 A 落在点 A处,当ACD 为等腰三角形时,AP的长为_9(2018濮阳一模)如图,在 RtABC 中,C90,AC3,BC4,点 D,E 为 AC,BC 上两个动点若将C 沿 DE 折叠
6、,点 C 的对应点 C恰好落在 AB 上,且ADC恰好为直角三角形,则此时 CD 的长为_类型二 点的位置不确定(2016河南)如图,已知 ADBC,ABBC,AB3,点 E 为射线 BC 上一个动点,连接 AE,将ABE沿 AE 折叠,点 B 落在点 B处,过点 B作 AD 的垂线,分别交 AD,BC 于点 M,N.当点 B为线段 MN 的三等分点时,BE 的长为_【分析】 根据勾股定理,可得 EB,根据相似三角形的性质,可得 EN 的长,根据勾股定理,可得答案【自主解答】 由翻折的性质,得 ABAB,BEBE.当 MB2,BN1 时,设 ENx,得 BE.由BENABM, ,即 ,x 2
7、,BEBE ;x2 1ENB M B EAB x2 x2 13 45 45 1 3 55当 MB1,BN2 时,设 ENx,得 BE ,BENABM, ,即 x2 22ENB M B EAB x1,解得 x2 ,BEBE ,故答案为: 或 .x2 43 12 12 4 3 22 3 22 3 5541如图,正方形 ABCD 的边长为 9,将正方形折叠,使 D 点落在 BC 边上的点 E 处,折痕为 GH.若点 E 是BC 的三等分点,则线段 CH 的长是_2(2018林州一模)在矩形 ABCD 中,AB4,BC9,点 E 是 AD 边上一动点,将边 AB 沿 BE 折叠,点 A的对应点为 A.
8、若点 A到矩形较长两对边的距离之比为 13,则 AE 的长为_3(2015河南)如图,矩形 ABCD 中,AD5,AB7,点 E 为 DC 上一个动点,把ADE 沿 AE 折叠,当点D 的对应点 D落在ABC 的平分线上时,DE 的长为_4(2017商丘模拟)如图,在矩形 ABCD 中,AD5,AB8,点 E 为射线 DC 上一个动点,把ADE 沿直线 AE 折叠,当点 D 的对应点 F 刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时,则 DE 的长为_5如图,在矩形 ABCD 中,BC6,CD8,点 P 是 AB 上(不含端点 A,B)任意一点,把PBC 沿 PC 折叠,当点 B 的对应点 B落在矩形
9、 ABCD 对角线上时,BP_6(2018河南模拟)如图,ABC 中,AB ,AC5,tan A2,D 是 BC 中点,点 P 是 AC 上一个动5点,将BPD 沿 PD 折叠,折叠后的三角形与PBC 的重合部分面积恰好等于BPD 面积的一半,则 AP 的长为_7在矩形 ABCD 中,AB6,BC12,点 E 在边 BC 上,且 BE2CE,将矩形沿过点 E 的直线折叠,点C,D 的对应点分别为 C,D,折痕与边 AD 交于点 F,当点 B,C,D恰好在同一直线上时,AF 的长为_5类型三 根据图形折叠探究最值问题如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB2,AD3,点 E 是 AB 的中点,点 F
10、 是 AD 边上的一个动点,将AEF 沿 EF 所在直线翻折,得到AEF,则 AC 的长的最小值是_【分析】 以点 E 为圆心,AE 长度为半径作圆,连接 CE.当点 A在线段 CE 上时,AC 的长取最小值,根据折叠的性质可知 AE1,在 RtBCE 中利用勾股定理可求出 CE 的长度,用 CEAE 即可求出结论例 3 题解图【自主解答】 以点 E 为圆心,AE 长度为半径作圆,连接 CE,当点 A在线段 CE 上时,AC 的长取最小值,如解图所示根据折叠可知:AEAE AB1.在 RtBCE 中,BE AB1,BC3,B90,12 12CE ,AC 的最小值CEAE 1.故答案为 1.BE
11、2 BC2 10 10 101(2019原创)如图,在边长为 10 的等边三角形ABC 中,D 是 AB 边上的动点,E 是 AC 边的中点,将ADE 沿 DE 翻折得到ADE,连接 BA,则 BA的最小值是_2在矩形 ABCD 中,AD12,E 是 AB 边上的点,AE5,点 P 在 AD 边上,将AEP 沿 EP 折叠,使得点 A落在点 A的位置,如图,当 A与点 D 的距离最短时,APD 的面积为_3如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,E 为 AB 边的中点,F 是 BC 边上的动点,将EBF 沿 EF 所在直线折叠得到EBF,连接 BD.则当 BD 取得最小值时,tanBEF
12、的值为_64(2017河南模拟)如图,在 RtABC 中,ACB90,AC4,BC6,点 D 是边 BC 的中点,点 E 是边 AB 上的任意一点(点 E 不与点 B 重合),沿 DE 翻折DBE 使点 B 落在点 F 处,连接 AF,则线段 AF 的长取最小值时,BF 的长为_参考答案类型一针对训练1. 1 或 2 2 【解析】(1)当点 E 在边 AD 上时,过点 E 作 EFCD 于 F,如解图,设 CFx,3 3第 1 题解图ABC30,BCD150.BCD是等边三角形,DCD90.由折叠可知,ECDDCE45,EFCFx,在直角三角形 DEF 中,D30,DE2x,DF x,CDCF
13、DFx x2,解得 x x1,DE2x2 2.3 3 3 3(2)当 E 在 DA 的延长线上时,如解图.7第 1 题解图过点 B 作 BFDA 于点 F,根据折叠可知,EDCD30,又三角形 BDC 是等边三角形,DE 垂直平分 BC,ADBC.DEAD,ABC30BAF30,又AB2,AF .令3DE 与 BC 的交点为 G,则易知 EFBG BC1,AE 1,DE 1,综上所述,DE 的长度12 3 3为 1 或 2 2.3 32. 或 【解析】在 RtABC 中,C90,AB5,AC4,BC3.沿直线 EF 将B 折叠,使点158 157B 恰好落在 BC 上的 D 处,当ADE 恰好
14、为直角三角形时,根据折叠的性质:BEDE,设 BEx,则DEx,AE5x,当ADE90时,则 DEBC, , ,解得 x ;当DECB AEAB x3 5 x5 158AED90时,则AEDACB, , ,解得 x ,故所求 BE 的长度为: 或 .DEBC AEAC x3 5 x4 157 158 1573. 或 1 【解析】如解图,当BMC90,B与 A 重合,M 是 BC 的中点,BM BC12 2 12 12 12 ;如解图,当MBC90,A90,ABAC,C45,CMB是等腰直角212三角形,CM MB.沿 MN 所在的直线折叠B,使点 B 的对应点为2B,BMBM,CM BM.BC
15、 1,CMBM BMBM 1,BM1,综上所述,2 2 2 2若MBC 为直角三角形,则 BM 的长为 或 1.12 2 12图图第 3 题解图4. 或 2 2 【解析】如解图,当 ADAC 时,ADCACD30,43 3 3AAD60.又CAD30,ADA90,在 RtADA中,AA ,由折叠可得 AP AA ;ADcos 30 432 83 3 12 43 38图图第 4 题解图如解图,当 CDCA4 时,连接 BD 交 AC 于 O,则 RtCOD 中,COCDcos 304 2 ,AC4 ,AAACAC4 4,由折叠可得 AP AA2 2;故答案32 3 3 3 12 3为 或 2 2
16、.43 3 35 . 或 【解析】如解图所示,点 E 与点 C重合时在 RtABC 中,BC 4.由翻折的32 34 AB2 AC2性质可知;AEAC3、DCDE,则 EB2.设 DCEDx,则 BD4x.在 RtDBE 中,DE 2BE 2DB 2,即 x22 2(4x) 2.解得 x .DE .32 32图图第 5 题解图如解图所示:EDB90时由翻折的性质可知:ACAC,CACD90.CACDCDC90,四边形 ACDC为矩形又ACAC,四边形 ACDC为正方形CDAC3.DBBCDC431.DEAC,BDEBCA. ,即 .解得DEAC DBCB 14 ED3 14DE .点 D 在
17、CB 上运动,DBC90,故DBC不可能为直角故答案为: 或 .34 32 346. 或 【解析】分两种情况:如解图,当CDM90,CDM 是直角三角形,在 Rt2 3 43 6ABC 中,B90,A60,AC2 4,C30,AB AC 2,由折叠可得,312 3MDNA60,BDN30,9BN DN AN,BN AB ,AN2BN ,DNB60,ANMDNM60,12 12 13 3 23 2 33 43ANM60,ANMN .如解图,当CMD90时,CDM 是直角三角形,由题可得2 3 43CDM60,AMDN60,BDN60,BND30,BD DN AN,BN BD,又12 12 3AB
18、 2,AN2,BN ,过 N 作 NHAM 于 H,则ANH30,AH AN1,HN ,由3 312 3折叠可得AMNDMN45,MNH 是等腰直角三角形,HMHN ,MN ,故答案为3 6或 .2 3 43 6图图第 6 题解图73 或 【解析】C90,BC2 ,AC2,tan B ,B30,145 3 ACBC 22 3 33AB2AC4.点 D 是 BC 的中点,沿 DE 所在直线把BDE 翻折到BDE 的位置,BD 交 AB 于点F,DBDC ,EBEB,DBEB30.设 AEx,则 BE4x,EB4x,当3AFB90时,在 RtBDF 中,cos B ,BF cos 30 ,EF (
19、4x)x .在BFBD 3 32 32 52RtBEF 中,EBF30,EB2EF,则 4x2(x ),解得 x3,此时 AE 为 3;52第 7 题解图当FBA90时,作 EHAB于 H,连接 AD,如解图,DCDB,ADAD,RtADBRtADC,ABAC2.ABEABFEBF9030120,EBH60.在 Rt10EHB中,BH BE (4x),EH BH (4x),在 RtAEH 中,12 12 3 32EH 2AH 2AE 2, (4x) 2 (4x)2 2x 2,解得 x ,此时 AE 为 .综上所述,AE 的长为 334 12 145 145或 .1458. 或 【解析】四边形
20、ABCD 是菱形,32 3916ABBCCDAD5,DACBAC.EFAA,EPAFPA90,EAPAEP90,FAPAFP90,AEPAFP,AEAF.AEF 是由AEF 翻折,AEEA,AFFA,AEEAAFFA,四边形 AEAF 是菱形,APPA.当 CDCA时,AAACCA3,AP AA .当 ACAD 时,ACDADCDAC,12 32ACDDAC, ,AC ,AA8 ,AP AA ,故答案为 或 .A CAD DCAC 258 258 398 12 3916 32 39169. 或 【解析】如解图,当ADC90时,ADCC,127 43第 9 题解图DCCB,ADCACB.又AC3
21、,BC4, ,设 CDCDx,则 AD3x,ADDC 34 ,解得 x ,经检验:x 是所列方程的解,CD ;如解图,当DCA90时,3 xx 34 127 127 127DCB90,第 9 题解图由折叠可得,CDCE90,CB 与 CE 重合,由CACD90,AA,可得ADCABC,在 RtABC 中,AB5, ,设 CDCDx,则 AD3x, ,解ADC D ABCB 54 3 xx 54得 x ,CD .综上所述,CD 的长为 或 .43 43 127 43类型二针对训练1114 或 【解析】设 CHx,则 DHEH9x,当 BEEC21 时,BC9,CE BC3.在 Rt52 13EC
22、H 中,EH 2EC 2CH 2,即(9x) 23 2x 2,解得 x4,即 CH4.当 BEEC12 时,CE BC6.在23RtECH 中,EH 2EC 2CH 2,即(9x) 26 2x 2,解得:x ,即 CH .故 CH 的长为 4 或 .52 52 522. 或 【解析】如解图,过点 A作 AMAD 于 M 交 BC 于 N,则四边形 ABNM 是矩形,4 77 4 155ABMN4.若点 A到矩形较长两对边的距离之比为 13,AM1,AN3 或AM3,AN1.当 AM1,AN3 时,在 RtBAN 中,BN ,AMBN .42 32 7 7由AEMBAN, , ,EM ,AE ;
23、当 AM3,AN1EMA N A MBN EM3 17 3 77 4 77时,同理可得 AE .4 155,第 2 题解图) 第 3 题解图3. 或 【解析】如解图,连接 BD,过 D作 MNAB,交 AB 于点 M,CD 于点 N,作 DPBC 交 BC 于52 53点 P.点 D 的对应点 D落在ABC 的平分线上,MDPD.设 MDx,则PDBMx,AMABBM7x,又由折叠图形可得 ADAD5,x 2(7x) 225,解得 x3或 4,即 MD3 或 4.在 RtEND中,设 EDa,当 MD3 时,AM734,DN532,EN4a,a 22 2(4a) 2,解得 a ,即 DE ;当
24、 MD4 时,52 52AM743,DN541,EN3a,a 21 2(3a) 2,解得 a ,即 DE .综上所述,DE 的长53 53为 或 .52 534. 或 10 【解析】分两种情况:如解图,当点 F 在矩形内部时,点 F 在 AB 的垂直平分线 MN 上,52AN4.AFAD5,由勾股定理得 FN3,FM2.设 DE 为 x,则 EM4x,FEx,在EMF 中,由勾股定理,得 x2(4x) 22 2,x ,即 DE 的长为 ;52 5212图图第 4 题解图如解图,当点 F 在矩形外部时,同的方法可得 FN3,FM8,设 DE 为 y,则EMy4,FEy,在EMF 中,由勾股定理,
25、得 y2(y4) 28 2,y10,即 DE 的长为 10.综上所述,点 F 刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时,DE 的长为 或 10.5253 或 【解析】点 A 落在矩形对角线 BD 上,如解图,在矩形 ABCD 中,92AB8,BC6ABC90,ACBD,ACBD 10.根据折叠的性质,得62 82PCBB,PBDBCP,BCPABD, ,即 ,解得 BP ;点 A 落在矩形对角BPAD BCAB BP6 68 92线 AC 上,如解图,根据折叠的性质,得 BPBP,BPBC90,ABA90,APBACB, ,即 ,解得 BP3,故答案为:3 或 .B PBC APAC BP6 8
26、BP10 92图图第 5 题解图62 或 5 【解析】分两种情况:当点 B在 AC 的下方时,如解图,D 是 BC 中点,S 5BPDS PDC ,S PDF SBPD ,S PDF SPDC .F 是 PC 的中点,DF 是BPC 的中位线,12 12DFBP,BPDPDF,由折叠得:BPDBPD,BPDPDF,PBBD,即13PBBD,过 B 作 BEAC 于 E,在 RtABE 中,tan A 2,AB ,AE1,BE2,EC514,由勾股定理,得BEAE 5BC 2 ,D 为 BC 的中点,BD ,PBBD ,在 RtBPE 中,BE2 EC2 22 42 5 5 5PE1,APAEP
27、E112;图图第 6 题解图当点 B在 AC 的上方时,如解图,连接 BC,同理得:F 是 DC 的中点,F 是 PB的中点,DFFC,PFFB,四边形 DPCB是平行四边形,PCBDBD ,AP5 ,综上所述,5 5AP 的长为 2 或 5 .5782 或 82 【解析】由折叠的性质得,ECDC90,CECE.点3 3B、C、D在同一直线上,BCE90,BC12,BE2CE,BE8,CECE4,在 RtBCE 中, 2,CBE30.当点 C在 BC 的上方时,如解图,过 E 作 EGAD 于 G,延长BEC EEC交 AD 于 H,则四边形 ABEG 是矩形,EGAB6,AGBE8,CBE3
28、0,BCE90,BEC60,由折叠的性质得,CEFCEF60.ADBC,HFECEF60,EFH 是等边三角形,在 RtEFG 中,EG6,GF2 ,AF82 ;当点 C在 BC 的下方时,3 3如解图,过 F 作 FGAD 于 G,DF 交 BE 于 H,同可得,四边形 ABGF 是矩形,EFH 是等边三角形,AFBG,FGAB6,FEH60,在 RtEFG 中,GE2 .BE8,BG82 ,AF823 3.3图图第 7 题解图14类型三针对训练15 5 【解析】如解图,连接 BE.3第 1 题解图ABBCAC10,C60.ABBC,E 是 AC 的中点,BEAC.BE 5 .AC10,E
29、是 AC 边的中点,AE5.由翻折的性质可BC2 EC2 102 52 3知 AEAE5.BAAEBE,当点 B、A、E 在一条直线上时,BA有最小值,最小值BEAE5 5.32. 【解析】连接 DE,DE 13,将AEP 沿 FP 折叠,使得点 A 落在点 A的位置,403 52 122EAEA5,ADDEEA第 2 题解图(当且仅当 A点在 DE 上时,取等号),当 A与点 D 的距离最短时,A点在 DE 上,DA1358,设 PAx,则 PAx,PD12x,在 RtDPA中,x 28 2(12x) 2,解得 x,APD 的面积 8 .103 12 103 4033. 【解析】在 RtAD
30、E 中,DE 2 ,当 B在 ED 上时,BD 最小,在 ED 上截取1 52 22 42 5EBEB2,连接 BF,FD,则 BDEDEB2 2,设 BFx,则 BFx,CF4x,在5RtBFD 和 RtFCD 中,利用勾股定理,可得 DB 2BF 2DF 2CF 2DC 2,即(2 2)52x 2(4x) 24 2,解得 x 1,RtBEF 中,tanBEF .5BFBE 1 52第 3 题解图4. 【解析】由题意得:DFDB,12 5515第 4 题解图点 F 在以 D 为圆心,BD 为半径的圆上,作D; 连接 AD 交D 于点 F,此时 AF 值最小,点 D 是边 BC的中点,CDBD3;而 AC4,由勾股定理得:AD 2AC 2CD 2,AD5,而FD3,FA532,即线段 AF 长的最小值是 2,连接 BF,过 F 作 FHBC 于 H,ACB90,FHAC,DFHDAC, ,即 ,HF ,DH ,BH ,BFDFAD DHCD HFAC 35 DH3 HF4 125 95 245 .BH2 HF212 55