1、1专题三 几何图形的折叠与动点问题类型一 与特殊图形有关(2018河南)如图，MAN90，点 C 在边 AM 上，AC4，点 B 为边 AN 上一动点，连接 BC，ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，连接 DE 并延长交 AB 所在直线于点 F，连接 AE.当AEF 为直角三角形时，AB 的长为_【分析】 当AEF 为直角三角形时，存在两种情况：AEF90，AFE90进行讨论【自主解答】 当AEF 为直角三角形时，存在两种情况：当AEF90时，如解图，ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称，ACAC4，ACBACB.点 D，E 分别为 AC，
2、BC 的中点，D、E 是ABC 的中位线，DEAB，CDEMAN90，CDEAEF，ACAE，ACBAEC，ACBAEC，ACAE4.在 RtACB 中，E 是斜边 BC 的中点，BC2AE8，由勾股定理，得 AB2BC 2AC 2，AB 482 42；当AFE90时，如解图，ADFADFB90.ABF90，ABC 与3ABC 关于 BC 所在直线对称，ABCCBA45，ABC 是等腰直角三角形，ABAC4；综上所述，AB 的长为 4 或 4.3图图1如图，四边形 ABCD 是菱形，AB2，ABC30，点 E 是射线 DA 上一动点，把CDE 沿 CE 折叠，其中点 D 的对应点为 D，连接
3、DB. 若使DBC 为等边三角形，则 DE_. 22如图，在 RtABC 中，ACB90，AB5，AC4，E、F 分别为 AB、AC 上的点，沿直线 EF 将B折叠，使点 B 恰好落在 AC 上的 D 处当ADE 恰好为直角三角形时，BE 的长为_3(2017河南)如图，在 RtABC 中，A90，ABAC，BC 1，点 M，N 分别是边 BC，AB 上2的动点，沿 MN 所在的直线折叠B，使点 B 的对应点 B始终落在边 AC 上若MBC 为直角三角形，则 BM 的长为_4(2018新乡一模)菱形 ABCD 的边长是 4，DAB60，点 M、N 分别在边 AD、AB 上，且 MNAC，垂足为
4、 P，把AMN 沿 MN 折叠得到AMN.若ADC 恰为等腰三角形，则 AP 的长为_5(2017三门峡一模)如图，在 RtABC 中，ACB90，AB5，AC3，点 D 是 BC 上一动点，连接AD，将ACD 沿 AD 折叠，点 C 落在点 C，连接 CD 交 AB 于点 E，连接 BC.当BCD 是直角三角形时，DE 的长为_6(2018盘锦)如图，已知 RtABC 中，B90，A60，AC2 4，点 M、N 分别在线段3AC、AB 上将ANM 沿直线 MN 折叠，使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上，当DCM 为直角三角形时，折痕 MN 的长为_37(2018乌鲁木齐)如图，在
5、 RtABC 中，C90，BC2 ，AC2，点 D 是 BC 的中点，点 E 是3边 AB 上一动点，沿 DE 所在直线把BDE 翻折到BDE 的位置，BD 交 AB 于点 F，若ABF 为直角三角形，则 AE 的长为_8(2017洛阳一模)在菱形 ABCD 中，AB5，AC8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，过点 P 作 EF 垂直 AC 交 AD 于点 E，交 AB 于点 F，将AEF 折叠，使点 A 落在点 A处，当ACD 为等腰三角形时，AP的长为_9(2018濮阳一模)如图，在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，点 D，E 为 AC，BC 上两个动点若将C 沿 DE 折叠
6、，点 C 的对应点 C恰好落在 AB 上，且ADC恰好为直角三角形，则此时 CD 的长为_类型二 点的位置不确定(2016河南)如图，已知 ADBC，ABBC，AB3，点 E 为射线 BC 上一个动点，连接 AE，将ABE沿 AE 折叠，点 B 落在点 B处，过点 B作 AD 的垂线，分别交 AD，BC 于点 M，N.当点 B为线段 MN 的三等分点时，BE 的长为_【分析】 根据勾股定理，可得 EB，根据相似三角形的性质，可得 EN 的长，根据勾股定理，可得答案【自主解答】 由翻折的性质，得 ABAB，BEBE.当 MB2，BN1 时，设 ENx，得 BE.由BENABM， ，即 ，x 2
7、，BEBE ；x2 1ENB M B EAB x2 x2 13 45 45 1 3 55当 MB1，BN2 时，设 ENx，得 BE ，BENABM， ，即 x2 22ENB M B EAB x1，解得 x2 ，BEBE ，故答案为： 或 .x2 43 12 12 4 3 22 3 22 3 5541如图，正方形 ABCD 的边长为 9，将正方形折叠，使 D 点落在 BC 边上的点 E 处，折痕为 GH.若点 E 是BC 的三等分点，则线段 CH 的长是_2(2018林州一模)在矩形 ABCD 中，AB4，BC9，点 E 是 AD 边上一动点，将边 AB 沿 BE 折叠，点 A的对应点为 A.
8、若点 A到矩形较长两对边的距离之比为 13，则 AE 的长为_3(2015河南)如图，矩形 ABCD 中，AD5，AB7，点 E 为 DC 上一个动点，把ADE 沿 AE 折叠，当点D 的对应点 D落在ABC 的平分线上时，DE 的长为_4(2017商丘模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AD5，AB8，点 E 为射线 DC 上一个动点，把ADE 沿直线 AE 折叠，当点 D 的对应点 F 刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时，则 DE 的长为_5如图，在矩形 ABCD 中，BC6，CD8，点 P 是 AB 上(不含端点 A，B)任意一点，把PBC 沿 PC 折叠，当点 B 的对应点 B落在矩形
9、 ABCD 对角线上时，BP_6(2018河南模拟)如图，ABC 中，AB ，AC5，tan A2，D 是 BC 中点，点 P 是 AC 上一个动5点，将BPD 沿 PD 折叠，折叠后的三角形与PBC 的重合部分面积恰好等于BPD 面积的一半，则 AP 的长为_7在矩形 ABCD 中，AB6，BC12，点 E 在边 BC 上，且 BE2CE，将矩形沿过点 E 的直线折叠，点C，D 的对应点分别为 C，D，折痕与边 AD 交于点 F，当点 B，C，D恰好在同一直线上时，AF 的长为_5类型三 根据图形折叠探究最值问题如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB2，AD3，点 E 是 AB 的中点，点 F
10、 是 AD 边上的一个动点，将AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到AEF，则 AC 的长的最小值是_【分析】 以点 E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接 CE.当点 A在线段 CE 上时，AC 的长取最小值，根据折叠的性质可知 AE1，在 RtBCE 中利用勾股定理可求出 CE 的长度，用 CEAE 即可求出结论例 3 题解图【自主解答】 以点 E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接 CE，当点 A在线段 CE 上时，AC 的长取最小值，如解图所示根据折叠可知：AEAE AB1.在 RtBCE 中，BE AB1，BC3，B90，12 12CE ，AC 的最小值CEAE 1.故答案为 1.BE
11、2 BC2 10 10 101(2019原创)如图，在边长为 10 的等边三角形ABC 中，D 是 AB 边上的动点，E 是 AC 边的中点，将ADE 沿 DE 翻折得到ADE，连接 BA，则 BA的最小值是_2在矩形 ABCD 中，AD12，E 是 AB 边上的点，AE5，点 P 在 AD 边上，将AEP 沿 EP 折叠，使得点 A落在点 A的位置，如图，当 A与点 D 的距离最短时，APD 的面积为_3如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 为 AB 边的中点，F 是 BC 边上的动点，将EBF 沿 EF 所在直线折叠得到EBF，连接 BD.则当 BD 取得最小值时，tanBEF
12、的值为_64(2017河南模拟)如图，在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC6，点 D 是边 BC 的中点，点 E 是边 AB 上的任意一点(点 E 不与点 B 重合)，沿 DE 翻折DBE 使点 B 落在点 F 处，连接 AF，则线段 AF 的长取最小值时，BF 的长为_参考答案类型一针对训练1. 1 或 2 2 【解析】(1)当点 E 在边 AD 上时，过点 E 作 EFCD 于 F，如解图，设 CFx，3 3第 1 题解图ABC30，BCD150.BCD是等边三角形，DCD90.由折叠可知，ECDDCE45，EFCFx，在直角三角形 DEF 中，D30，DE2x，DF x，CDCF
13、DFx x2，解得 x x1，DE2x2 2.3 3 3 3(2)当 E 在 DA 的延长线上时，如解图.7第 1 题解图过点 B 作 BFDA 于点 F，根据折叠可知，EDCD30，又三角形 BDC 是等边三角形，DE 垂直平分 BC，ADBC.DEAD，ABC30BAF30，又AB2，AF .令3DE 与 BC 的交点为 G，则易知 EFBG BC1，AE 1，DE 1，综上所述，DE 的长度12 3 3为 1 或 2 2.3 32. 或 【解析】在 RtABC 中，C90，AB5，AC4，BC3.沿直线 EF 将B 折叠，使点158 157B 恰好落在 BC 上的 D 处，当ADE 恰好
14、为直角三角形时，根据折叠的性质：BEDE，设 BEx，则DEx，AE5x，当ADE90时，则 DEBC， ， ，解得 x ；当DECB AEAB x3 5 x5 158AED90时，则AEDACB， ， ，解得 x ，故所求 BE 的长度为： 或 .DEBC AEAC x3 5 x4 157 158 1573. 或 1 【解析】如解图，当BMC90，B与 A 重合，M 是 BC 的中点，BM BC12 2 12 12 12 ；如解图，当MBC90，A90，ABAC，C45，CMB是等腰直角212三角形，CM MB.沿 MN 所在的直线折叠B，使点 B 的对应点为2B，BMBM，CM BM.BC
15、 1，CMBM BMBM 1，BM1，综上所述，2 2 2 2若MBC 为直角三角形，则 BM 的长为 或 1.12 2 12图图第 3 题解图4. 或 2 2 【解析】如解图，当 ADAC 时，ADCACD30，43 3 3AAD60.又CAD30，ADA90，在 RtADA中，AA ，由折叠可得 AP AA ；ADcos 30 432 83 3 12 43 38图图第 4 题解图如解图，当 CDCA4 时，连接 BD 交 AC 于 O，则 RtCOD 中，COCDcos 304 2 ，AC4 ，AAACAC4 4，由折叠可得 AP AA2 2；故答案32 3 3 3 12 3为 或 2 2
16、.43 3 35 . 或 【解析】如解图所示，点 E 与点 C重合时在 RtABC 中，BC 4.由翻折的32 34 AB2 AC2性质可知；AEAC3、DCDE，则 EB2.设 DCEDx，则 BD4x.在 RtDBE 中，DE 2BE 2DB 2，即 x22 2(4x) 2.解得 x .DE .32 32图图第 5 题解图如解图所示：EDB90时由翻折的性质可知：ACAC，CACD90.CACDCDC90，四边形 ACDC为矩形又ACAC，四边形 ACDC为正方形CDAC3.DBBCDC431.DEAC，BDEBCA. ，即 .解得DEAC DBCB 14 ED3 14DE .点 D 在
17、CB 上运动，DBC90，故DBC不可能为直角故答案为： 或 .34 32 346. 或 【解析】分两种情况：如解图，当CDM90，CDM 是直角三角形，在 Rt2 3 43 6ABC 中，B90，A60，AC2 4，C30，AB AC 2，由折叠可得，312 3MDNA60，BDN30，9BN DN AN，BN AB ，AN2BN ，DNB60，ANMDNM60，12 12 13 3 23 2 33 43ANM60，ANMN .如解图，当CMD90时，CDM 是直角三角形，由题可得2 3 43CDM60，AMDN60，BDN60，BND30，BD DN AN，BN BD，又12 12 3AB
18、 2，AN2，BN ，过 N 作 NHAM 于 H，则ANH30，AH AN1，HN ，由3 312 3折叠可得AMNDMN45，MNH 是等腰直角三角形，HMHN ，MN ，故答案为3 6或 .2 3 43 6图图第 6 题解图73 或 【解析】C90，BC2 ，AC2，tan B ，B30，145 3 ACBC 22 3 33AB2AC4.点 D 是 BC 的中点，沿 DE 所在直线把BDE 翻折到BDE 的位置，BD 交 AB 于点F，DBDC ，EBEB，DBEB30.设 AEx，则 BE4x，EB4x，当3AFB90时，在 RtBDF 中，cos B ，BF cos 30 ，EF (
19、4x)x .在BFBD 3 32 32 52RtBEF 中，EBF30，EB2EF，则 4x2(x )，解得 x3，此时 AE 为 3；52第 7 题解图当FBA90时，作 EHAB于 H，连接 AD，如解图，DCDB，ADAD，RtADBRtADC，ABAC2.ABEABFEBF9030120，EBH60.在 Rt10EHB中，BH BE (4x)，EH BH (4x)，在 RtAEH 中，12 12 3 32EH 2AH 2AE 2， (4x) 2 (4x)2 2x 2，解得 x ，此时 AE 为 .综上所述，AE 的长为 334 12 145 145或 .1458. 或 【解析】四边形
20、ABCD 是菱形，32 3916ABBCCDAD5，DACBAC.EFAA，EPAFPA90，EAPAEP90，FAPAFP90，AEPAFP，AEAF.AEF 是由AEF 翻折，AEEA，AFFA，AEEAAFFA，四边形 AEAF 是菱形，APPA.当 CDCA时，AAACCA3，AP AA .当 ACAD 时，ACDADCDAC，12 32ACDDAC， ，AC ，AA8 ，AP AA ，故答案为 或 .A CAD DCAC 258 258 398 12 3916 32 39169. 或 【解析】如解图，当ADC90时，ADCC，127 43第 9 题解图DCCB，ADCACB.又AC3
21、，BC4， ，设 CDCDx，则 AD3x，ADDC 34 ，解得 x ，经检验：x 是所列方程的解，CD ；如解图，当DCA90时，3 xx 34 127 127 127DCB90，第 9 题解图由折叠可得，CDCE90，CB 与 CE 重合，由CACD90，AA，可得ADCABC，在 RtABC 中，AB5， ，设 CDCDx，则 AD3x， ，解ADC D ABCB 54 3 xx 54得 x ，CD .综上所述，CD 的长为 或 .43 43 127 43类型二针对训练1114 或 【解析】设 CHx，则 DHEH9x，当 BEEC21 时，BC9，CE BC3.在 Rt52 13EC
22、H 中，EH 2EC 2CH 2，即(9x) 23 2x 2，解得 x4，即 CH4.当 BEEC12 时，CE BC6.在23RtECH 中，EH 2EC 2CH 2，即(9x) 26 2x 2，解得：x ，即 CH .故 CH 的长为 4 或 .52 52 522. 或 【解析】如解图，过点 A作 AMAD 于 M 交 BC 于 N，则四边形 ABNM 是矩形，4 77 4 155ABMN4.若点 A到矩形较长两对边的距离之比为 13，AM1，AN3 或AM3，AN1.当 AM1，AN3 时，在 RtBAN 中，BN ，AMBN .42 32 7 7由AEMBAN， ， ，EM ，AE ；
23、当 AM3，AN1EMA N A MBN EM3 17 3 77 4 77时，同理可得 AE .4 155,第 2 题解图) 第 3 题解图3. 或 【解析】如解图，连接 BD，过 D作 MNAB，交 AB 于点 M，CD 于点 N，作 DPBC 交 BC 于52 53点 P.点 D 的对应点 D落在ABC 的平分线上，MDPD.设 MDx，则PDBMx，AMABBM7x，又由折叠图形可得 ADAD5，x 2(7x) 225，解得 x3或 4，即 MD3 或 4.在 RtEND中，设 EDa，当 MD3 时，AM734，DN532，EN4a，a 22 2(4a) 2，解得 a ，即 DE ；当
24、 MD4 时，52 52AM743，DN541，EN3a，a 21 2(3a) 2，解得 a ，即 DE .综上所述，DE 的长53 53为 或 .52 534. 或 10 【解析】分两种情况：如解图，当点 F 在矩形内部时，点 F 在 AB 的垂直平分线 MN 上，52AN4.AFAD5，由勾股定理得 FN3，FM2.设 DE 为 x，则 EM4x，FEx，在EMF 中，由勾股定理，得 x2(4x) 22 2，x ，即 DE 的长为 ；52 5212图图第 4 题解图如解图，当点 F 在矩形外部时，同的方法可得 FN3，FM8，设 DE 为 y，则EMy4，FEy，在EMF 中，由勾股定理，
25、得 y2(y4) 28 2，y10，即 DE 的长为 10.综上所述，点 F 刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时，DE 的长为 或 10.5253 或 【解析】点 A 落在矩形对角线 BD 上，如解图，在矩形 ABCD 中，92AB8，BC6ABC90，ACBD，ACBD 10.根据折叠的性质，得62 82PCBB，PBDBCP，BCPABD， ，即 ，解得 BP ；点 A 落在矩形对角BPAD BCAB BP6 68 92线 AC 上，如解图，根据折叠的性质，得 BPBP，BPBC90，ABA90，APBACB， ，即 ，解得 BP3，故答案为：3 或 .B PBC APAC BP6 8
26、BP10 92图图第 5 题解图62 或 5 【解析】分两种情况：当点 B在 AC 的下方时，如解图，D 是 BC 中点，S 5BPDS PDC ，S PDF SBPD ，S PDF SPDC .F 是 PC 的中点，DF 是BPC 的中位线，12 12DFBP，BPDPDF，由折叠得：BPDBPD，BPDPDF，PBBD，即13PBBD，过 B 作 BEAC 于 E，在 RtABE 中，tan A 2，AB ，AE1，BE2，EC514，由勾股定理，得BEAE 5BC 2 ，D 为 BC 的中点，BD ，PBBD ，在 RtBPE 中，BE2 EC2 22 42 5 5 5PE1，APAEP
27、E112；图图第 6 题解图当点 B在 AC 的上方时，如解图，连接 BC，同理得：F 是 DC 的中点，F 是 PB的中点，DFFC，PFFB，四边形 DPCB是平行四边形，PCBDBD ，AP5 ，综上所述，5 5AP 的长为 2 或 5 .5782 或 82 【解析】由折叠的性质得，ECDC90，CECE.点3 3B、C、D在同一直线上，BCE90，BC12，BE2CE，BE8，CECE4，在 RtBCE 中， 2，CBE30.当点 C在 BC 的上方时，如解图，过 E 作 EGAD 于 G，延长BEC EEC交 AD 于 H，则四边形 ABEG 是矩形，EGAB6，AGBE8，CBE3
28、0，BCE90，BEC60，由折叠的性质得，CEFCEF60.ADBC，HFECEF60，EFH 是等边三角形，在 RtEFG 中，EG6，GF2 ，AF82 ；当点 C在 BC 的下方时，3 3如解图，过 F 作 FGAD 于 G，DF 交 BE 于 H，同可得，四边形 ABGF 是矩形，EFH 是等边三角形，AFBG，FGAB6，FEH60，在 RtEFG 中，GE2 .BE8，BG82 ，AF823 3.3图图第 7 题解图14类型三针对训练15 5 【解析】如解图，连接 BE.3第 1 题解图ABBCAC10，C60.ABBC，E 是 AC 的中点，BEAC.BE 5 .AC10，E
29、是 AC 边的中点，AE5.由翻折的性质可BC2 EC2 102 52 3知 AEAE5.BAAEBE，当点 B、A、E 在一条直线上时，BA有最小值，最小值BEAE5 5.32. 【解析】连接 DE，DE 13，将AEP 沿 FP 折叠，使得点 A 落在点 A的位置，403 52 122EAEA5，ADDEEA第 2 题解图(当且仅当 A点在 DE 上时，取等号)，当 A与点 D 的距离最短时，A点在 DE 上，DA1358，设 PAx，则 PAx，PD12x，在 RtDPA中，x 28 2(12x) 2，解得 x，APD 的面积 8 .103 12 103 4033. 【解析】在 RtAD
30、E 中，DE 2 ，当 B在 ED 上时，BD 最小，在 ED 上截取1 52 22 42 5EBEB2，连接 BF，FD，则 BDEDEB2 2，设 BFx，则 BFx，CF4x，在5RtBFD 和 RtFCD 中，利用勾股定理，可得 DB 2BF 2DF 2CF 2DC 2，即(2 2)52x 2(4x) 24 2，解得 x 1，RtBEF 中，tanBEF .5BFBE 1 52第 3 题解图4. 【解析】由题意得：DFDB，12 5515第 4 题解图点 F 在以 D 为圆心，BD 为半径的圆上，作D; 连接 AD 交D 于点 F，此时 AF 值最小，点 D 是边 BC的中点，CDBD3；而 AC4，由勾股定理得：AD 2AC 2CD 2，AD5，而FD3，FA532，即线段 AF 长的最小值是 2，连接 BF，过 F 作 FHBC 于 H，ACB90，FHAC，DFHDAC， ，即 ，HF ，DH ，BH ，BFDFAD DHCD HFAC 35 DH3 HF4 125 95 245 .BH2 HF212 55
