1、- 1 -永年二中高三理科数学 10 月月考试题一、选择题，本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数 3i( )（A） 2i （B） 2i （C） 12i （D） 12i 2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )（A） y （B） y x （C） y2 x （D） y xe x1 x21x 12x3已知 na为等比数列， 472a， 568a，则 10a（ ）（A） 7 （B） （C） （D） 4 “已知 命题 p：cos ，命题 q： ”，则命题 p 是命题 q 的( )12 3（A）充分不必要条件 （B）必要不充
2、分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件5函数 ()fx在 ,)单调递减，且为奇函数若 (1)f，则满足211的 的取值范围是( )（A） , （B） 1, （C） 0,4 （D） 1,36已知函数 f(x)Error!则函数 y f(1 x)的大致图象是( )7设 D 为 ABC 所在平面内一点 3BCD，则( )（A） 143A(B) 143ABC（C）(D) 8若 ，则 ( )tan42cosin(A) 1 (B) (C) (D) 85642516259已知 ， ， ，则( )432a34b132c（A） （B） （C） （D）abcbcacab- 2 -10函数 ()cos)f
3、x的部分图像如图所示，则 ()fx的单调递减区间为( )(A) 13,4kkZ (B) (2)(C) ,kk (D) 13()4Z11. 若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ）2x21()xfxae()fx（A） （B） （C） （D）11335e12. 已知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最CPAB()PABC小值是（ ）（A） （B） （C） （D）23431二填空 题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13已知 a0 且曲线 y 、 x a 与 y0 所围成的封闭区域的面积为 a2，则 a_.x14设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1
4、)时， f(x)Error!则f _.(32)15已知向量 ,ab夹角为 45，且 1,0ab；则 _b16、已知函数 f(x)( x22 x2)e x， xR，e 为自然对数的底数。若方程 f(x)m 有两个不同的实数根，则实数 m 的取值范围为_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且(2 b c)cos A acos C.(1)求角 A 的大小； (2)若 a3， b2 c，求 ABC 的面积- 3 -18已知函数 f(x) Asin(x )xR， 、 A0,0b0)经
5、过点 A(0，1)，且离心率为 .x2a2 y2b2 22(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P， Q(均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.22已知函数 f(x)( x1)ln x a(x1).(1)当 a4 时，求曲线 y f(x)在(1, f(1)处的切线方程；(2)当 x(1，)时， f(x)0，求 a 的取值范围永年二中高三理科数学月考试题一、选择题，本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一- 5 -项是符合题目要求的。C1复数（A） （B） （C） （D）
6、 D2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )（A） y （B） y xError! （C） y2 xError! （D） y xe xD3已知 为等比数列， ， ，则 （ ）（A） （B） （C） （D）A 4 “已知命题 p：cos Error!，命题 q： Error!” ，则命题 p 是命题 q 的( )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件D 5函数 在 单调递减，且为奇函数若 ，则满足的 的取值范围是（A） （B） （C） （D）D6已知函数 f(x)Error!则函数 y f(1 x)的大致图象是( )A7设 D 为 ABC
7、所在平面内一点 ，则（A） (B) （C） (D) C8若 ，则 (A) 1 (B) (C) (D) B9已知 ， ， ，则- 6 -（A） （B） （C） （D）D10函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为(A) (B) (C) (D) A11. 若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ）（A） （B） （C） （D）1B12. 已知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是（ ）（A） （B） （C） （D）二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13已知 a0 且曲线 y、 x a 与 y0 所围成的封闭区域的面积为 a2，则 a_.解析：由题意 a2d
8、 xError! xError!Error!，所以 aError!. 答案：Error!1 14设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时， f(x)Error!则fError!_.15已知向量 夹角为 ，且 ；则【解析】 ；16、已知函数 f(x)( x22 x2)e x， xR，e 为自然对数的底数。若方程 f(x)m 有两个不同的实数根，则实数 m 的取值范围为_.【解析】 f( x)(2 x2)e x( x22 x2)e x( x24 x)ex，令 f( x)0，解得x14 或x20， x 0; 此时 f(x) 单调递增40 时， f( x)0; 此时 f(x)
9、 单调递增，故当 x， f(x)0， x， f(x)- 7 -大致图象为如图，“方程 f(x) m 有两个不同的实数根”转化为函数 f(x)的图象与y m 的图象有两个不同的交点，故实数 m 的取值范围为(2,06e 4 。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且(2 b c)cos A acos C.(1)求角 A 的大小； (2)若 a3， b2 c，求 ABC 的面积解 (1)根据正弦定理，由(2 b c)cos A acos C，得 2sin Bcos Asin Aco
10、s Csin Ccos A，即 2sin Bcos Asin( A C)，所以 2sin Bcos Asin B，因为 00,00.- 8 -由已知，有Error!消去 d，整理得 q42 q280.又因为 q0，解得 q2，所以 d2.所以数列 an的通项公式为 an2 n1 ， nN*；数列 bn的通项公式为bn2 n1， nN*.(2)由(1)有 cn(2 n1)2 n1 ，设 cn的前 n 项和为 Sn，则Sn12 032 152 2(2 n3)2 n2 (2 n1)2 n1 ，2Sn12 132 252 3(2 n3)2 n1 (2 n1)2 n，上述两式错位相减，得 Sn12 22
11、 32 n(2 n1)2 n2 n1 3(2 n1)2 n(2 n3)2n3，所以， Sn(2 n3)2 n3， nN*.20、如图所示，在多面体 A1B1D1DCBA 中，四边形 AA1B1B， ADD1A1， ABCD 均为正方形， E 为B1D1的中点，过 A1， D， E 的平面交 CD1于 F.(1)证明： EF B1C；(2)求二面角 E A1D B1的余弦值解：(1)证明：由正方形的性质可知 A1B1ABDC，且 A1B1 AB DC，所以四边形 A1B1CD为平行四边形，从而 B1CA1D，又 A1D面 A1DE， B1C面 A1DE，于是 B1C 面 A1DE.又 B1C面B
12、1CD1，面 A1DE面 B1CD1 EF，所以 EFB1C.(2)因为四边形 AA1B1B， ADD1A1， ABCD 均为正方形，所以 AA1AB， AA1AD， ABAD 且AA1 AB AD，以 A 为原点，分别以Error!， Error!，Error!为 x 轴， y 轴和 z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标 A(0,0,0)， B(1,0,0)， D(0，1,0)， A1(0,0,1)，B1(1,0,1)， D1(0,1,1)，而 E 点为 B1D1的中点，所以 E 点的坐标为(0.5,0.5,1)设面 A1DE 的法向量 n1( r1， s1， t1)，
13、而该面上向量Error!(0.5,0.5,0)，Error!(0,1，1)，由 n1Error!， n1 Error!得Error!(1,1,1)为其一组解，所以可取n1(1,1,1)设面 A1B1CD 的法向量 n2( r2， s2， t2)，而该面上向量Error!(1,0,0)，Error!(0,1，1)，由此同理可得 n2(0,1,1)所以结合图形知二面角 E A1D B1的余弦值为Error!Error!Error!.21如图，椭圆 E：Error!Error!1( ab0)经过点 A(0，1)，且离心率为Error!.(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为 k
14、的直线与椭圆 E 交于不同的两点P， Q(均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.解：(1)由题设知Error!Error!， b1，结合 a2 b2 c2，解得 a.所以椭圆的方程为Error! y21.(2)证明：设直线 PQ 的方程为 y k(x1)1( k2)，代入Error! y21，得(12 k2)x24 k(k1) x2 k(k2)0.由已知 0.- 9 -设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， x1x20，则 x1 x2Error!， x1x2Error!.从而直线 AP， AQ 的斜率之和 kAP kAQError!Error!Error!Err
15、or!2 k(2 k)Error!2 k(2 k)Error!2 k(2 k)Error!2 k2( k1)2.22已知函数 f(x)( x1)ln x a(x1).(1)当 a4 时，求曲线 y f(x)在(1, f(1)处的切线方程；(2)当 x(1，)时， f(x)0，求 a 的取值范围解析 (1) f(x)的定义域为(0，)当 a4 时， f(x)( x1)ln x4( x1)，f ( x)ln xError!3, f (1)2, f(1)0.曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程为 2x y20.(2)当 x(1，)时， f(x)0 等价于 lnxError!0.设 g(x)ln xError!，则 g( x)Error!Error!Error!， g(1)0.()当 a2， x(1，)时， x22(1 a)x1 x22 x10，故 g( x)0， g(x)在(1，)上单调递增，因此 g(x)0；()当 a2 时，令 g( x)0 得 x1 a1， x2 a1.由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1， x2)时， g( x)0， g(x)在(1， x2)上单调递减，此时 g(x)g(1)0.综上， a 的取值范围是(，2
