1、1课时训练(二十三) 矩形、菱形、正方形(限时:50 分钟)|夯实基础 |1.2018日照 如图 K23-1,在四边形 ABCD中,对角线 AC,BD相交于点 O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形 ABCD是菱形的是 ( )图 K23-1A.AB=AD B.AC=BDC.AC BD D. ABO= CBO2.2018哈尔滨 如图 K23-2,在菱形 ABCD中,对角线 AC,BD相交于点 O,BD=8,tan ABD= ,则线段 AB的长为( )34图 K23-2A. B.2 C.5 D.107 73.2018宿迁 如图 K23-3,菱形 ABCD的对角线 AC,BD相交于
2、点 O,点 E为 CD的中点,若菱形 ABCD的周长为16, BAD=60,则 OCE的面积是 ( )图 K23-32A. B.2 C.2 D.43 34.2018兰州 如图 K23-4,矩形 ABCD中, AB=3,BC=4,BE DF且 BE与 DF之间的距离为 3,则 AE的长度是 ( )图 K23-4A. B. C. D.738 78 585.2018临沂 如图 K23-5,点 E,F,G,H分别是四边形 ABCD边 AB,BC,CD,DA的中点 .则下列说法中正确的个数是 ( )图 K23-5 若 AC=BD,则四边形 EFGH为矩形; 若 AC BD,则四边形 EFGH为菱形; 若
3、四边形 EFGH是平行四边形,则 AC与 BD互相平分; 若四边形 EFGH是正方形,则 AC与 BD互相垂直且相等 .A.1 B.2 C.3 D.46.2018株洲 如图 K23-6,矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O,AC=10,P,Q分别为 AO,AD的中点,则 PQ的长度为 .图 K23-67.2018黔东南州 已知一个菱形的边长为 2,较长的对角线长为 2 ,则这个菱形的面积是 . 338.2018广州 如图 K23-7,若菱形 ABCD的顶点 A,B的坐标分别为(3,0),( -2,0),点 D在 y轴上,则点 C的坐标是 .图 K23-79.2018南通 如图 K2
4、3-8,在 ABC中, AD,CD分别平分 BAC和 ACB,AE CD,CE AD.若从三个条件:AB=AC ;AB=BC ;AC=BC 中选择一个作为已知条件,则能使四边形 ADCE为菱形的是 (填序号) . 图 K23-810.2018舟山 如图 K23-9,等边三角形 AEF的顶点 E,F在矩形 ABCD的边 BC,CD上,且 CEF=45.求证:矩形 ABCD是正方形 .图 K23-9411.2018湘西州 如图 K23-10,在矩形 ABCD中, E是 AB的中点,连接 DE,CE.图 K23-10(1)求证: ADE BCE;(2)若 AB=6,AD=4,求 CDE的周长 .51
5、2.2018南京 如图 K23-11,在四边形 ABCD中, BC=CD, C=2 BAD.O是四边形 ABCD内一点,且 OA=OB=OD.求证:图 K23-11(1) BOD= C;(2)四边形 OBCD是菱形 .|拓展提升 |13.2018自贡 如图 K23-12,在 ABC中, AC=BC=2,AB=1,将它沿 AB翻折得到 ABD,则四边形 ADBC的形状是 ;点6P,E,F分别为线段 AB,AD,DB上的任意点,则 PE+PF的最小值是 . 图 K23-1214.2018武汉 以正方形 ABCD的边 AD为边作等边三角形 ADE,则 BEC的度数是 . 15.2018玉林 如图 K
6、23-13,在 ABCD中, DCAD,四个角的平分线 AE,DE,BF,CF的交点分别是 E,F,过点 E,F分别作DC与 AB间的垂线段 MM与 NN,在 DC与 AB上的垂足分别是 M,N与 M,N,连接 EF.图 K23-13(1)求证:四边形 EFNM是矩形;(2)已知: AE=4,DE=3,DC=9,求 EF的长 .78参考答案1.B2.C 解析 由菱形性质可知 BO=DO=4, AOB=90,由 tan ABD= ,可知 AO=3,由勾股定理得 AB=5.343.A 解析 根据菱形 ABCD的周长为 16可知 AB=BC=CD=DA=4,再根据 BAD=60得: BD=4,即 B
7、O=DO=2,根据勾股定理得 CO=2 ,从而求得 S COD=2 ,根据 OE是中线得 S OCE= S COD= ,故选 A.3 312 34.C 解析 设 AE=x,则 BE= ,由 S 四边形 BEDF=3BE=3DE,所以 BE=DE.即 =4-x,解得 x= .9+x2 9+x2785.A 解析 点 E,F,G,H分别是四边形 ABCD边 AB,BC,CD,DA的中点, EH= BD=FG,EH BD FG, 四边形 EFGH是平12行四边形 .由 AC=BD可得 EH=EF, 四边形 EFGH为菱形, 错误;由 AC BD,可得 EH EF, 四边形 EFGH为矩形, 错误;由四
8、边形 EFGH是平行四边形,无法得到 AC与 BD互相平分, 错误;由四边形 EFGH是正方形,可得到 AC与 BD互相垂直且相等, 正确 .故选 A.6. 解析 四边形 ABCD是矩形, BD=AC= 10,OD= BD,OD= 5,P ,Q分别为 AO,AD的中点, PQ= OD= .52 12 12 527.2 解析 如图,在菱形 ABCD中, AB=2,AC=2 ,则 AO= , AOB=90,由勾股定理得 OB=1.则 BD=2,S 菱形 ABCD=3 3 3ACBD= 2 2=2 .12 12 3 38.(-5,4) 解析 由 A,B的坐标分别为(3,0),( -2,0)可得 AO
9、=3,AB=5.由菱形 ABCD四边相等可得 CD=AD=AB=5,在 RtAOD中,由勾股定理可得 OD= =4,所以 C(-5,4).AD2-AO29. 解析 AD ,CD分别平分 BAC和 ACB, DAC= BAC, DCA= BCA.AE CD,CE AD, 四边形 ADCE为平12 12行四边形 .要使四边形 ADCE为菱形,则需要条件 AD=CD, 需要条件 DAC= DCA. 需要条件 BAC= BCA. 需要条件AB=BC.10.证明: 四边形 ABCD是矩形, B= D= C=90. AEF是等边三角形,AE=AF , AEF= AFE=60.9又 CEF=45, CFE=
10、 CEF=45, AFD= AEB=180-45-60=75, ABE ADF(AAS),AB=AD , 矩形 ABCD是正方形 .11.解:(1)证明:在矩形 ABCD中, AD=BC, A= B=90.E 是 AB的中点, AE=BE.在 ADE与 BCE中, AD=BC, A= B,AE=BE, ADE BCE(SAS).(2)由(1)知: ADE BCE,则 DE=EC.在 Rt ADE中, AD=4,AE= AB=3,12由勾股定理知, DE= = =5,AD2+AE2 42+32 CDE的周长 =2DE+DC=2DE+AB=25+6=16.12.证明:(1) OA=OB=OD ,
11、点 A,B,D在以点 O为圆心, OA为半径的圆上 . BOD=2 BAD.又 C=2 BAD, BOD= C.(2)如图,连接 OC.OB=OD ,CB=CD,OC=OC, OBC ODC. BOC= DOC, BCO= DCO. BOD= BOC+ DOC, BCD= BCO+ DCO, BOC= BOD, BCO= BCD.12 1210又 BOD= BCD. BOC= BCO,BO=BC.又 OB=OD,BC=CD,OB=BC=CD=DO , 四边形 OBCD是菱形 .13.菱形 解析 AD=BD=AC=BC , 四边形 ADBC是菱形 .154作 E关于 AB的对称点 E,根据菱形的
12、对称性可知点 E在 AC上,连接 EF交 AB于点 P,PE+PF=PE+PF=EF ,当 EF是 AC,BD之间的距离时, EF为最小 .过点 B作 BH AC于点 H,设 AH=x,则 CH=2-x,由 AB2-AH2=BH2=BC2-CH2,得 1-x2=4-(2-x)2,解得 x= ,BH= = .PE+PF 的最小值为 .14 1-(14) 2 154 15414.30或 150 解析 分两种情况:(1)如图 ,等边三角形 ADE在正方形 ABCD内部时,连接 CE,BE,则 CDE= CDA- ADE=90-60=30,CD=DE , DCE=75, ECB=15,同理可以得到 E
13、BC=15, BEC=150.(2)如图 ,等边三角形 ADE在正方形 ABCD外部时,连接 CE,BE,则 CDE= CDA+ ADE=90+60=150,CD=DE , CED=15,同理 AEB=15, BEC= AED- CED- AEB=60-15-15=30.1115.解:(1)证明:过点 E,F分别作 AD,BC的垂线,垂足分别是 G,H. 3 =4,1 =2, EG AD,EM CD,EM AB,EG=ME ,EG=EM,EG=ME=EM= MM,12同理可证: FH=NF=NF= NN.12CD AB,MM CD,NN CD,MM=NN ,ME=NF=EG=FH.MM NN,
14、 四边形 EFNM是平行四边形,又 MM CD, 四边形 EFNM是矩形 .(2)DC AB, CDA+ DAB=180, 3 = CDA,2 = DAB,12 12 3 +2 =90. DEA=90.在 Rt DEA中, AE= 4,DE=3,AD= =5.32+42 四边形 ABCD是平行四边形, DAB= DCB,12又 2 = DAB,5 = DCB,12 12 2 =5,由(1)知 GE=NF, 在 GEA和 NFC中, 2 =5 , EGA= FNC=90,GE=NF, GEA NFC,AG=CN.在 Rt DME和 Rt DGE中,DE=DE ,ME=EG, Rt DMERt DGE,DG=DM ,DM+CN=DG+AG=AD= 5,MN=CD-DM-CN= 9-5=4. 四边形 EFNM是矩形, EF=MN= 4.
