1、- 1 -2017-2018 第二学期赣州市十四县（市）期中联考高一数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上. 1. 若 且 ,则 在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】 ， 在第二象限或第四象限 , 在第一、二象限或 y 轴的正半轴， 在第二象限故选：B2. 向量 ，若 ，则 的值为（ ）A. B. 2 C. D. - 【答案】A【解析】向量 ， ， ，故选：A3. 在 中， ， ，则三角形的解的个数是（ ）A. 0 个 B. 1 个 C.
2、 2 个 D. 不确定【答案】B【解析】在 中， ， ，三角形的解的个数是 1，故选：B4. 下列命题正确的是( )A. 单位向量都相等B. 若 与 共线， 与 共线，则 与 共线C. 若 ，则- 2 -D. 若 与 都是单位向量，则【答案】C【解析】A 选项，单位向量模相等，但方向不一定相同，故 A 错；B 选项，因为零向量与任意向量共线，故 B 错；C 选项，对等式 两边平方，易得 ，故 C 正确；D 选项， 与 夹角为 60时， ，故 D 错误.故选：C5. 已知函数 图像可以由函数 如何平移得到（ ）A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移【答案】D【解析】将函数
3、 的图象向右平移 得到故选：D点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.6. 已知等差数列 中的前 项和 ，若 ,则 （ ）A. 145 B. C. 161 D. 【答案】C【解析】设等差数列a n的公差为 d， ，2（a 1+9d）=a 1+7d+7，化为：a1+11d=7=a12则 S23= =23a12=161故选：C7. 在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则这个三角形一定是（ ）A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】
4、 ，由正弦定理可得 sinB=2sinCcosA，所以 sin（A+C）=2sinCcosA，可得 sin（AC）=0- 3 -又AC，AC=0故ABC 的形状是等腰三角形，故选：C8. 九章算术之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题， 张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布） ，第一天织 5 尺布，现在一月（按 30 天计） ，共织 390 尺布” ，则从第 2 天起每天比前一天多织（ ）尺布。A. B. C. D. 【答案】D.则由题意知 ，解得 d= 故选：D9. 在 中， ， ， ，则 在 方向上的投影是（ ）
5、A. 4 B. 3 C. -4 D. -3【答案】D【解析】ABC 中，| + |=| |， +2 + = 2 + ， =0， ；又 AB=4，AC=3， 在 方向上的投影是| |cos ， =| |cos（ACB）=| |cosACB=3；如图所示- 4 -故选：D10. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， ，则 （ ）A. B. C. 或 D. 【答案】B【解析】角 A 是ABC 的内角A=60由正弦定理可得： ，又故选：B11. 已知向量 若向量 与 的夹角为锐角，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，若 与 的夹角为锐角 ，则有 cos0，即 0，且
6、与- 5 -不共线由 0，得 3 20，解得 ，当 与 共线时，有 =，所以 的取值范围是故选： 点睛：本题是一道易错题， 与 的夹角为锐角 并不等价于数量积 0，注意共线同向数量积为正，共线反向数量积为负.12. 已知点 是 的重心，内角 所对的边长分别为 ,且 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】点 O 是ABC 的重心， ，又2a = ，可设 2a=x，b=x， c=x（x0） ，a= ，b=x，c= （x0） ，cosC= = = ，sinC= ,同理可得： ，故选： 点睛：设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则（1） 为 的外心 .（2） 为 的重心 .（
7、3） 为 的垂心 .- 6 -（4） 为 的内心 .二、填空题：本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 已知 ，则 的值_.【答案】【解析】故答案为：点睛：利用 sin2 cos 2 1 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 tan 可以实现角的弦切互化；应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ，sin cos ，sin cos这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二14. 设 的内角 所对边的长分别为 .若 ， ，则_【答案】【解析】 ，由正弦定理，可得 2a=3c，a=b+c=2a，b=cosB= =故答案为：15. 在数列 中
8、, ，若 则 的值为_.【答案】【解析】a n+1= ，a 1= ，a 2=2 = ，a 3= 1= ，a 4=2 = ，a 5=2 =- 7 -，a n+4=an则 =a54= 故答案为： 16. 已知 且 ，若 成立，则 的取值范围是 _.【答案】【解析】建立平面直角坐标系，设 ， ， ，由题意可知： ， 表示以 为圆心，1 为半径的圆面（包括边界）上的动点与原点连线段的长度，易知最大 ，最小为故答案为：三. 解答题：本大题共 6 个小题.共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知 ， 的夹角为 ，且| |，求：(1) ；(2) .【答案】 （1） ；（2） .【解
9、析】试题分析：（1）由数量积的定义可得 ，从而易得 的值；（2）由向量的平方即模的平方即可得到 的值.试题解析：（1） .- 8 -(2) .点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ab| a|b|cos ；二是坐标公式ab x1x2 y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.18. 在 中，角 所对的边分别为 、 、 ，且 ， .(1)若 ，求 的值；(2)若 的面积 ，求 、 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由同角关系可得： ，再由正弦定理
10、可得 的值；（2）由面积公式可得 c5,结合余弦定理可得 b.试题解析：(1)因为 cos B 0，0 B，所以 sin B 由正弦定理得 ，所以 sin A sin B .(2)因为 S ABC acsin B c4，所以 c5, 由余弦定理得 b2 a2 c22 accos B2 25 2225 17，所以 b . 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施
11、边角之间的互化.第三步：求结果.19. 已知在等差数列 中, , 是它的前 项和, .- 9 -(1)求 ；（2）这个数列的前多少项的和最大,并求出这个最大值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据 S10=S22，由等差数列的前 n 项和的公式可知，从第 11 项到第22 项的和等于 0，根据等差数列的前 n 项和的公式表示出第 11 项到第 22 项的和，然后利用等差数列的通项公式化简后得到首项和公差的关系式，把首项的值代入即可求出公差，利用首项和公差写出等差数列的前 n 项和的公式即可；（2）根据（1）写出的前 n 项和的公式，发现 Sn与 n 成的是二次函数关系，利
12、用二次函数取最大值的方法即可求出 Sn的最大值及此时 n 的值试题解析：（1） , ,又 ,即 ,故 .又 , . （2） 由（1）利用二次函数图像性质，故当 时, 有最大值, 的最大值是 256.20. 已知函数 的图像与 轴相邻的交点距离为 ，并且过点 .(1)求函数 的解析式 ； (2)设函数 ，求 在区间 上的最大值和最小值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据题意可得周期 T=，即可求出 的值，把点 代入得 的值；（2）根据二倍角公式和两角和差的正弦公式，可得 g（x）= ，再根据正弦函数的图象和性质即可求出最值- 10 -试题解析：（1）由已知函数 的周期 ,
13、 ，把点 代入得 ， .（2）， ， 在区间上的最大值为 2，最小值为 .21. 某地拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域 ，其中三角形区域 为主题活动区，其中 ， ， ， 为游客通道（不考虑宽度） ，且，通道 围成三角形区域 为游客休闲中心，供游客休息.(1)求 的长度；(2)求 面积的最大值.【答案】 （1） ；（2） .试题解析：(1)在 中， ，由正弦定理知，- 11 -得(2)在 中，设 ,由正弦定理知得，当 时， 取得最大值 .22. 在 中，角 的对边分别为 ，向量（ ，,满足 .（1）求角 的大小；（2）设 ， 有最大值为 ，求 的值. 【答案】 （1） ；（2） 或 .【解
14、析】试题分析：（1）由条件 |可得， ，代入得（ac）sinA+（b+c） （sinCsinB）=0，根据正弦定理，可化为 a（ac）+（b+c） （cb）=0，结合余弦定理 a2+c2b 2=2acosB，代入可求角 的大小；（2）先求 = + ,结合 0A ，及二次函数的知识求解.试题解析：（1）由条件 = ，两边平方得 ，又=（sinA,b+c）, =（ac,sinCsinB）,代入得（ac）sinA（b+c） （sinCsinB）0，根据正弦定理，可化为 a（ac）+（b+c） （cb）=0,即 ， - 12 -又由余弦定理 2acosB,所以 cosB ，B . （2）m=（sin（C+ ）, ）,n=（2,kcos2A） （ ）, =2sin（C+ ）+ cos2A=2sin（C+B）+ kcos2A=2ksinA+k - =-k +2sinA+ =-+ ,而 0A ,sinA（0,1, 时， 取最大值为 . 时，当 时取得最大值， 解得. 时，开口向上，对称轴小于 0 当 取最大值 （舍去） ，综上所述， 或 .
