1、- 1 -南昌十中 2017-2018 学年度下学期期末考试试卷高二数学试题(文科)一、单选题（本大题共 12 小题，每题 5 分）1. 设集合 ， ，则 （ ）A. 1，2 B. 2，3 C. 1，3 D. 1，2，3【答案】B【解析】分析：将集合 中的元素一一代入 验证，即可求解详解：易知 ，则 点睛：本题考查指数不等式、集合的交集运算等知识，意在考查学生的基本运算能力2. 设 ，是虚数单位，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 z= z 的虚部为-3，选 D.3. 某单位为了了解用电量 y 度与气温 x 之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作
2、了对照表:由表中数据得线性回归方程 =bx+a 中 b=-2,预测当气温为-4 时,用电量度数为( )A. 68 B. 67 C. 65 D. 64【答案】A【解析】分析：先利用线性回归方程过样本点的中心求出线性回归方程，再代入进行求解详解：由题意，得 ，又因为 ，- 2 -所以 ，解得 ，即线性回归方程为 ，令 ，得 ，即当气温为 时，用电量度数为 68 度点睛：本题考查线性回归方程等知识，意在考查学生的数学应用能力和基本运算能力4. 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )A. B. C. D.
3、 【答案】B【解析】试题分析：由题意 故选 D考点：古典概型，互斥事件的概率【名师点睛】对含“至少” 、 “至多”等的概率问题，可以用分类加法原理求事件数，用古典概型概率公式求解，也可以从反面入手本题直接做就是 ，从反面入手就是“至少有 1 个黑球”的反面“没有黑球” ，没有黑球概率为 ，因此至少有有一个黑球的概率为 视频5. 下列命题为真命题的是( )A. 若 为真命题，则 为真命题B. “ ”是“ ”的充分不必要条件C. 命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”D. 命题 p： ， ，则 ： ，【答案】B【解析】试题分析：A 项中 为真命题则 至少 1 个为真， 为真命题需 都为真；B
4、- 3 -项中由 可得 成立，反之不正确，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件；C 项命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”；D 项命题 p： ， ，则 ： ，考点：四种命题及否定点评：命题：若 则 成立，则 是 的充分条件， 是 的必要条件，命题的否定需要将条件和结论分别否定，特称命题 的否定是全称命题6. 条件 p:|x+1|2,条件 q:x2,则 是 的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：先通过解绝对值不等式得到 的充要条件，再利用集合间的关系判定详解：由 ，得或 ，即 或 ，即 ，因为 ，所以 是 的必要
5、不充分条件点睛：充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：定义法：若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件；构造命题法：“若 ，则 ”为真命题，则 是 的充分条件， 是 的必要条件；数集转化法： ， ，若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件7. ， 是两个平面， ， 是两条直线，则下列命题中错误的是（ ）A. 如果 ， ， ，那么B. 如果 ， ，那么C. 如果 ， ， ，那么D. 如果 ， ， ，那么【答案】D【解析】分析：利用空间中的平行或垂直的有关定理进行一一验证详解：若 ， ，则 或 ，- 4 -又 ，所以 ，即选项 A 正确；若 ， ，则 ，即选项 B 正确；若 ， ， ，则
6、 ，即选项 C 正确；若 ， ，则 或 ，又 ，则 的位置不确定；故选 C点睛：本题考查空间中平行关系、垂直关系的转化等知识，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理理能力8. 若， ， ，满足 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先利用指数函数的单调性确定 的取值范围，再通过对数函数的单调性确定 的范围，进而比较三个数的大小详解：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力9. 执行右画的程序框图,如果输入的 x-1,4,则输出的 y 属于( )- 5 -A. -2,5 B. -2,3
7、) C. -3,5) D. -3,5【答案】D【解析】分析：先正确理解该程序框图的功能，再利用分段函数的值域进行求解详解：易知该程序框图的功能是求 的值域，而当 时， ，当 ， ，即 的值域为 ，即 点睛：本题考查程序框图、分段函数的值域等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力- 6 -10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】几何体如图,表面积为.选 C.点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多
8、面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用11. 函数 在区间 上的图象大致为（ ）A. B. - 7 -C. D. 【答案】D【解析】分析：利用函数在 内的零点个数排除选项 A、B，再利用 的符号排除选 C详解：因为 ，且 ，所以排除选项 A、B；因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以排除选项 C，故选 D点睛：已知函数的解析式判定其图象时，往往从以下方面（左右看定义域、上下看值域、对称性看奇偶性、单调性、周期性、特殊点对应的函数值等）进行验证，一般采用排除法进行验证12. 若 是函数 的一个极值点，则当 时， 的最小值为（ ）
9、A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：求导，利用 求得 ，再利用导数的符号变化确定函数在 的单调性和极值，与端点函数值进行比较确定最小值详解：因为 ，所以 ，由题意，得 ，解得 ，即 ，- 8 -所以 在 单调递增，在区间 上单调递减，又 ，所以 的最小值为 点睛：1.已知函数 在 取得极值求有关参数时，不仅要重视 ，还要注意验证在 两侧的符号不同；2.利用导数求函数在某闭区间上的最值的一般步骤是：求导；通过研究导数在该区间上的符号变化确定函数的单调性和极值；比较极值和端点函数值，确定函数的最值二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分）13. 已知函数 f(x)的图象关于原点对称
10、,且周期为 4,若 f(-1)=2,则 _【答案】【解析】分析：先利用函数的周期性将 转化为求 ，再利用函数的奇偶性进行求解详解：由题意，得 ，且 ，又因为 ，所以 点睛：本题考查函数的奇偶性、周期性等知识，意在考查学生的数学转化能力和基本计算能力14. 已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为_【答案】5【解析】分析：作出可行域，利用图象平移确定最优解，再联立方程进行求解详解：将 化为 ，- 9 -作出可行域和目标函数基准直线 （如图所示） ，当直线 向左上方平移时，直线 在 轴上的截距 增大，即减少，由图象得当直线 过点 时，取得最小值，联立 ，得 ，即 点睛：本题考查简单的线性规划问题，意在
11、考查学生的数形结合思想和基本计算能力15. 在区间1,9上随机取一个数 x,则事件“log 2(x-3)0”发生的概率为_.【答案】【解析】分析：先通过对数函数的单调性确定对数不等式的解集，再利用几何概型的概率公式进行求解详解：由 ，得 ，又 ，所以 ，由几何概型的概率公式，得所求概率为 点睛：本题考查对数函数的单调性、几何概型的概率公式等知识，意在考查学生的基本计算能力和数学应用能力16. 在三棱锥 中， ， ， ， ， 且三棱锥- 10 -的体积为 ，则该三棱锥的外接球半径是_【答案】3【解析】分析：先利用直角三角形的外心为斜边的中点确定该三棱锥的外接球的球心，再利用分割法和三棱锥的体积进
12、行求解详解：取 的中点 ，连接 ，因为 ， ， ， ，所以 ，且 ，所以 平面 ，且 是外接球的直径，设 ,所以 为正三角形，则 ,则 ，解得 点睛：（1）处理多面体和球的组合问题，往往确定外接球或内切球的球心位置是解题的关键；（2）在求三棱锥的体积时，往往根据题意合理选择顶点或找出某条棱的垂面，利用等体积法或分割法进行求解，如本题中的 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分）17. 已知函数 .- 11 -（1）讨论 的单调性；（2）求 的极值【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调性；（2）利用（1）中的单调性确定极值详解：（
13、1） ，令 ，得 或(2)点睛：本题考查导数与函数的单调性、导数与函数的极值等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力18. 下表是一个容量为 20 的样本数据分组后的频率分布表：分组频数 4 2 6 8（1）请估计样本的平均数；（2）以频率估计概率，若样本的容量为 2000，求在分组 中的频数；（3）若从数据在分组 与分组 的样本中随机抽取 2 个，求恰有 1 个样本落在分组 的概率【答案】 （1）15.7；（2）600；（3）【解析】分析：（1）利用频率分布表求出数据的平均数；（2）利用频数、频率的关系进行求解；（3）列举出基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解详解：（1）依题意，
14、整理表格数据如下：数据频数 4 2 6 8- 12 -频率故所求平均数为 （2）依题意，所求频数为 （3）记 中的样本为 A，B，C，D， 中的样本为 a，b，则随机抽取 2 个，所有的情况为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，D)，(B，a)，(B，b)，(C，D)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，(a，b)，共 15 个其中满足条件的为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，共 8 个，故所求概率 点睛：本题考查频率分布表、样本的数字特征、古典概型的概率公式等知识，意在考查学生
15、的数学应用能力和基本计算能力19. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,E,M 分别是 AD,PD 的中点,PEBE,PA=PD=AD=2,AB= .(1)求证:PB平面 MAC.(2)求证:平面 MAC平面 PBE.【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）利用三角形的中位线性质得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）利用等边三角形的“三线合一”证得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理进行证明详解：(1)连接 BD 交线段 AC 于点 N,连接 MN,则 N 为线段 BD 中点.
16、点 M 为线段 PD 中点, MN PB.又 MN平面 MAC,PB平面 MAC, PB平面 MAC.(2) PA=PD=AD=2,三角形 PAD 为等边三角形.又 E 为 AD 中点, PE AD.又 PE BE,BE AD=E,- 13 - PE平面 ABCD.又 AC平面 ABCD, AC PE. AD=2,AB= ,四边形 ABCD 是矩形, E 是 AD 中点, ABE DAC, ABE= DAC, AC BE. PE BE=E, AC平面 PBE. AC平面 MAC,平面 MAC平面 PBE.点睛：本题考查空间中平行关系的转化、垂直关系的转化等知识，意在学生的空间想象能力和逻辑思维
17、能力20. 已知函数 f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)求不等式 f(x)3 的解集;(2)若存在实数 x 满足 f(x)-a 2+a+7,求实数 a 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）利用零点分段讨论法进行求解；（2）将不等式有解问题转化为求函数的最小值问题，再通过解一元二次不等式进行求解详解：(1)f(x)=| x-1|+|x-2|=当 x1 时,得-2 x+33,解得 x0,当 1x2 时,得 13,所以 x ,当 x2 时,得 2x-33,解得 x3.综上可知,不等式 f(x)3 的解集为(-,03,+).(2)由| x-1|+|x-2|( x-1)-(x
18、-2)|=1,依题意得- a2+a+71,即 a2-a-60,解得-2 a3,故 a 的取值范围是-2,3.点睛：求 或 的值域或最值，主要有三种方法：利用零点分段讨论法将其转化为分段函数；利用绝对值的几何意义进行求解（数形结合思想） ；利用三角不等式“ ”进行求解21. 三棱柱 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点- 14 -（1）求证：直线 平面 ；（2）若三棱柱 的体积为 ，求三棱锥 的体积【答案】 （1）证明见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）连 交 于点 ，连 ，可证得四边形 为平行四边形，故得 ，根据线面平行的判定可得直线 平面 （2）利用转化的方法求解，结合题意可得，由于
19、平面 ，故得，从而可得 ，所以 试题解析：（1）连 交 于点 ，连 则 ，且 ，又 ，且 ，且 ，四边形 为平行四边形， ，- 15 -又 平面 ， 平面 ， 平面 （2）由题意得 ， 平面 ， ， ， 22. 已知函数 ，（1）求函数 的图象在点 处的切线方程；（2）若函数 ，求函数 在 上的最大值【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，讨论导函数的零点与所给区间 的关系，确定函数在该区间上的单调性，进而求出最值详解：（1）依题意， ，故 因为 ，故所求切线方程为 （2）依题意， ，令 得 ，所以当 时，即 时， 时， 恒成立， 单调递增， 最大值为 ；当 时，即 时， 时， 恒成立， 单调递减， 最大值为 ；当 时，即 时， 时， ， 单调递减；时， ， 单调递增当 时， 最大值为 或 - 16 -， ，当 时， ， 当 时， ， 综上可得：当 时， 当 时， 点睛：（1）利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意区分“曲线在某点的切线”和“过某点的切线” ；（2）本题两次用到分类讨论思想，一是讨论导函数的零点 与所给区间 的关系，目的在于判定函数在给定区间上的单调性，二是讨论 的大小，目的在于确定函数的最大值
